Диссертация (1136178), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Çäåñü óæå ïðîÿâëÿþòñÿ âñåãëàâíûå àíàëèòè÷åñêèå òðóäíîñòè[40]. Íàñ èíòåðåñóåò àñèìïòîòè-G = G(ξ, η), êîòîðûå ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþòòàêæå ïðè ξ → −∞. Òàêèå ðåøåíèÿ ìîæíî ðàñ-êà ðåøåíèé (0.45)ïðè|η| → ∞,àñìàòðèâàòü êàê íîâûå, òðåáóþùèå îòäåëüíîãî èçó÷åíèÿ ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè, â ÷åì-òî àíàëîãè÷íûå ôóíêöèè Ýéðè. Íèæå íàéäåíûèõ àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ ïðèξ → ±∞( ñì. òåîðåìû 4.4. è4.5.).  ÷àñòíîñòè, ïðèξ → +∞,η = O(ξ 1/6 (ln ξ)2/3 )(0.48)àñèìïòîòèêà ýéðè-ïîëÿðîíà èìååò âèäG = B cos S + I sin S,B è I àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (4.21)(4.24)sin-àìïëèòóä, à ôàçà S = S(ξ) èìååò ðàçëîæåíèåãäåè(0.49)äëÿcos-pp2S(ξ) = ξ 3/2 − A−1 ξ(2ln ξ − 4) + 2A0 ξ + 3ρk 2/3 ξ 1/6 − kπ 2 A−1 ln ξ+328√9 3 πρk 5/3 A2−1++ √ [(ln ξ)2 + 4 ln ξ + 8]−+δ −2/31/61/310 ξ18k ξξh 1 k 2 π 2 i A−12 1√ (2ln ξ + 4) − (D − A0 ) √ + O 2/3 , ξ → +∞.− A0 +2ξξξσ(0.50)Ôîðìóëû äëÿ âõîäÿùèõ â (0.50) êîíñòàíò ïðèâåäåíû â 1 ÷åòâåðòîéãëàâû.
Ïîçæå (â 2 è 3) ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (0.45) áóäóò èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé çàäà÷è(0.1), (0.2). 2 ïîñòðîåíû âåùåñòâåííûå àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿg(x, y)ñëåäóþùåé çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ â2h1/3[65]∂ 2g n+ 2 + − V (x) − V1 (x, y 2 )−2∂x∂y ∂ 2g∞ZZL2 (R2 )g =oln[(x − x ) + (y − y ) ]g (x , y ) dx dy + λ g = 0,0 2−h0 202000−∞ZZZZ(0.51)∞g 2 (x, y) dydx = 1,(0.52)yg 2 (x, y) dydx = 0.(0.53)−∞∞−∞Çäåñüh→0 ìàëûé ïàðàìåòð, ãëàäêàÿ ôóíêöèÿïîòåíöèàëüíîé ÿìû, à ãëàäêàÿ ôóíêöèÿâèþV1 (x, 0) ≡ 0V (x)èìååò âèäV1 (x, z) óäîâëåòâîðÿåò óñëî-è ðàñòåò íà áåñêîíå÷íîñòè íå áûñòðåå ñòåïåíè.Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âû÷èñëèòü àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿg = gn (x, y, h)è íàéòè àñèìïòîòèêó ñîîòâåòñòâóþùåé ñåðèè ñîá-ñòâåííûõ çíà÷åíèéλ = λn (h)ïðèh→0ènïîðÿäêàh−1 .Àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ (0.51), ëîêàëèçîâàííûå âáëèçè îòðåçêà[ex− , xe+ ]ïðÿìîéy = 0,áóäóò ïîñòðîåíû èñïîëüçóÿ ìåòîä ñî-xe− , xe+ òî÷êèx− < x+ , óðàâíåíèÿãëàñîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé [27].
Çäåñüx− , x+ ,λ − V (x) = 0.  îáëàñòè ìåæäó xe− è xe+ àñèìïòîòèêà ñòðîèòñÿ ñïîìîùüþ âàðèàíòà ìåòîäà ÂÊÁ. Âáëèçè æå îò òî÷åê (ex− , 0), (ex+ , 0)ïîâîðîòà, ðàñïîëîæåííûå îêîëî êîðíåé29àñèìïòîòèêà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ðåøåíèÿG = G(ξ, η)ìîäåëüíîãîóðàâíåíèÿ (0.45).Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîñòðîåííûå â 2 àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿíå ÿâëÿþòñÿ ðàäèàëüíî-ñèììåòðè÷íûìè.
Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ íåñèììåòðè÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Õàðòðè äëÿ íåêîòîðûõñëó÷àåâ äàíî â [30; 39]. Êðîìå òîãî, èçó÷åíèå íåðàäèàëüíî-ñèììåòðè÷íûõ ðåøåíèé ïðîèçâîäèëîñü ñ èñïîëüçîâàíèåì ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ (ñì., íàïðèìåð,[18]).Äëÿ íàõîæäåíèÿ äèñêðåòíîé ñåðèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéλ = λn (h) çàäà÷è (0.51)(0.53) íèæå âûïèñàíî ïðàâèëîêâàíòîâàíèÿ òèïà ÁîðàÇîììåðôåëüäà (ñì. (4.301)), ñòðîãîå îáîñíîâàíèå êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò ãëàâíûé ðåçóëüòàò 2. Çàäà÷à äëÿ îïðåäåëåíèÿ âõîäÿùåé â ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ (4.301) ôóíêöèèS(x, h)(S(x, h) çàäàåò ôàçó ÂÊÁ-ðàçëîæåíèÿ) èìååò äîñòàòî÷íî ñëîæíûéâèä (ñì.
(4.290), (4.261), (4.265), (4.267)(4.269)) è ïðèâîäèò ê ãðîìîçäêèì ôîðìóëàì äëÿ ðåøåíèÿ.Íî åñëè îãðàíè÷èòüñÿ íàõîæäåíèåì ÷èñåëñòüþO(n−7/10 ), n → ∞λn (h) ëèøü ñ òî÷íî-(ãëàâíîå ïðèáëèæåíèå), òî ïðàâèëî êâàíòî-âàíèÿ óïðîùàåòñÿ è ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ äëÿ ÷èñåëλ = λn (h):1hZx+x−Z x+pk0E(x)pU (x) dx − 2/3dx+2hU (x)x−Zok02 P2 k02 P31 n k03 P1 x+ E(x)p+ 1/3dx −−+ P = πn + O(n1/3−1/30 ).848hU (x)x−(0.54)Çäåñü ÷èñëîn∈Nèìååò ïîðÿäîêh−1 ,U (x) = λ − V (x),Zx+E(x) =x−ln |x − x0 | 0pdx ,U (x0 )(0.55)(0.56)30êîýôôèöèåíòûk0 , Pj (j = 1, 2, 3)îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (4.322),(4.338), (4.370), (4.374), à êîýôôèöèåíòZk0 nP =b−2Zx+x−Zx−b+x−x+x−x+Zxdx0pU (x0 )Zdx0pU (x0 )ZPèìååò âèäx+dx0pdx−(x − x0 ) U (x0 )v.p.x−x+v.p.x− odx0pdx ,(x − x0 ) U (x0 )(0.57)ãäå2/3b∓ = ± U (x∓ )A−10Ôóíêöèÿk04/3 .± U 0 (x∓ )(0.58)A−1 = A−1 (ek) â (0.58), õàðàêòåðèçóþùàÿ âëèÿíèå ðåøåíèéìîäåëüíîãî óðàâíåíèÿ (0.45) íà ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ, îïðåäåëåíàôîðìóëîé (4.103).Äàëåå ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿâL2 (R3 )2[41]ε ∆ψ(x) +αZ− a|x| +R3|ψ(x0 )|2 0dx + Λ ψ(x) = 0,|x − x0 |x ∈ R3 ,(0.59)kψkL2 = 1,ãäå∆ îïåðàòîð Ëàïëàñà,ε>0 ìàëûé ïàðàìåòð,(0.60)a, α ïîëî-æèòåëüíûå êîíñòàíòû. 3 äëÿ çàäà÷è (0.59), (0.60) íà îñíîâå ïîëó÷åííûõ â 2 ðåçóëüòàòîâ ïîñòðîåíà ñåðèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéΛ = Λn,m (ε), n → ∞, m → ∞ è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ∞ôóíêöèé ψ = ψn,m , íîñèòåëÿìè êîòîðûõ ïî mod O(ε ) ÿâëÿþòñÿïëîñêèå äèñêèD = {(z, ρ, ϕ) : z = 0, ρ− ≤ ρ ≤ ρ+ }.(0.61)(z, ρ, ϕ) öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû â R3 , ÷èñëà ρ− (ε),ρ+ (ε), 0 < ρ− < ρ+ (òî÷êè ïîâîðîòà) îïðåäåëÿþòñÿ â ïðîöåññå íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòèêè.
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ôóíêöèè ψn,m çàâåäîìî íåÇäåñü31ÿâëÿþòñÿ ðàäèàëüíî-ñèììåòðè÷íûìè. Õîòÿ ïîäîáíûå ëîêàëèçîâàííûå â äèñêàõ ðåøåíèÿ õîðîøî èçâåñòíû â ëèíåéíûõ çàäà÷àõ, äëÿóðàâíåíèÿ Õàðòðè èõ ïîñòðîåíèå ÿâëÿåòñÿ ñåðüåçíîé ïðîáëåìîé.Àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ çàäà÷è (0.59), (0.60) ïîñòðîåíû âñëó÷àå, êîãäà ÷èñëîΛâåëèêî è èìååò ïîðÿäîêω=ε−αω ,ãäå2> 0.4 + 5αÈìåííî â ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à (0.59), (0.60) ïðèâîäèò ê ðàññìîòðåííîìó â 1 ìîäåëüíîìó óðàâíåíèþ (0.45) (ýéðè-âåðñèÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ ïîëÿðîíà), ñîäåðæàùåìó îäíîâðåìåííî êàê ëèíåéíîå ñëàãàå-ξG, òàê è èíòåãðàëüíóþ íåëèíåéíîñòü òèïà Õàðòðè. Èçó÷àåìàÿ3 çîíà Λ ÿâëÿåòñÿ ïîãðàíè÷íîé ìåæäó ñèëüíî íåëèíåéíîé çîíîéìîåâ( ãäå âíåøíèé ïîòåíöèàë íå âëèÿåò íà ìîäåëüíóþ çàäà÷ó) è çîíîéñëàáîé íåëèíåéíîñòè ( ãäå âîîáùå íå áóäåò âêëàäà íåëèíåéíîñòè âìîäåëüíóþ çàäà÷ó).Ðåøåíèå (0.59) áóäåì èñêàòü â âèäåpνψ = eiM ϕ/ε p(ρ, z)/ 2πρ.Çäåñüν=(0.62)6 + 6α> 0,4 + 5α(0.63)M = M (ε) èìååò ïîðÿäîê 1.
 ñèëó 2π -ïåðèîäè÷íîñòè ðåøåíèÿνïî ϕ êîíñòàíòà M äîëæíà èìåòü âèä M = mε , ãäå m öåëîå.Ïîýòîìó ïðè ε → 0 ÷èñëî m òàêæå âåëèêî.−ωαÏóñòü Λ = λε, ãäå λ(ε) èìååò ïîðÿäîê 1. Òîãäà ïîñëå ïîäàñòàíîâêè (0.62) â (0.59), (0.60) è çàìåíûx = ρεω ,y = zεω ,g = pε−ω ,ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó äëÿ ôóíêöèèh = εν ,g:n ∂2∂2 M 2h222 α/22+− 2 − a(x + y ) + λ + 2 +h∂x2 ∂y 2x4x(0.64)321/3∞Z ∞Z+h020000oW (x, x , y, y )g (x , y ) dy dx g(x, y) = 0,0∞Z ∞g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 = 1.(0.66)−∞0W âûðàæàåòñÿðîäà K(κ) [4]:Çäåñü ÿäðî0(0.65)−∞Zïåðâîãî0÷åðåç ïîëíûé ýëëèïòè÷åñêèé èíòåãðàë20√2 ρρ0K p,W (ρ, ρ , z, z ) = pπ (z − z 0 )2 + (ρ + ρ0 )2(z − z 0 )2 + (ρ + ρ0 )2(0.67)h → 0. Íàêîíåö, ïî ñîîáðàæåíèÿì ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè y = 0 äîïîëíèì (0.65), (0.66) óñëîâèåìZ0∞Z ∞y 0 g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 = 0.(0.68)−∞ îáëàñòè ìåæäó òî÷êàìè ïîâîðîòàxe− , xe+äëÿ ïîñòðîåíèÿàñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (0.65) èñïîëüçóåòñÿ âàðèàíòìåòîäà ÂÊÁ.
Âáëèçè æå îò òî÷åê(ex− , 0), (ex+ , 0) àñèìïòîòèêà âûðà-æàåòñÿ ÷åðåç ðåøåíèÿ ìîäåëüíîãî óðàâíåíèÿ. Èìåííî â òîì ñëó÷àå,êîãäà â (0.65) ïåðåä íåëèíåéíîñòüþ ñòîèò ìíîæèòåëüh1/3 ,ìîäåëü-íûì ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå (0.45).Çàôèêñèðóåì ÷èñëîM.Äëÿ íàõîæäåíèÿ äèñêðåòíîé ñåðèèàñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé çàäà÷è (0.65), (0.66), (0.68)λ = λn (h)çàïèñàí àíàëîã ïðàâèëà êâàíòîâàíèÿ òèïà ÁîðàÇîì-ìåðôåëüäà (ñì. (4.301)).
 ýòî ïðàâèëî âîéäåò îïðåäåëÿþùàÿ ôàçóÂÊÁ-ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèÿS(x, h), çàäà÷à äëÿ êîòîðîé èìååò äîñòà-òî÷íî ñëîæíûé âèä (ñì. (4.432), (4.437)(4.440), (4.447)).Åå ðåøåíèå òàêæå ïðèâîäèò ê âåñüìà ãðîìîçäêèì ôîðìóëàì.Îãðàíè÷èìñÿ íàõîæäåíèåìλn (h) = O(1)O(n−7/10 )èìååò ïîðÿäîêïðèh → 0,ãäånëèøü ñ òî÷íîñòüþh−1( ãëàâíîå ïðèáëèæå-íèå).
Òîãäà ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ (4.301) óïðîñòèòñÿ è ïðèâåäåò ê33áîëåå ïðîñòîìó óðàâíåíèþ1hx+Zx−ZZ x+p1 n k03 P1 x+ Ω(x) dxk0Ω(x) dxpp+−U (x) dx + 2/382hU (x) h1/3U (x)x−x−ok02 P2 k02 P3−−+ P = πn + O(h−1/3+1/30 ), h → 0.(0.69)480äëÿ ÷èñåë λ = λn (h). Îíî ïîëó÷àåòñÿ èç (0.54) ïîñëå çàìåíû ln |x−x |íà 2√xx0 1K.−π(x + x0 )x + x0( Áîëåå òî÷íî, ôóíêöèè2, 3),PU (x), Ω(x),à òàêæå êîíñòàíòûk0 , Pj(j=1,îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (0.55), (4.457), (4.322), (4.466)(4.469).) Îòìåòèì, ÷òî (0.69) óæå ó÷èòûâàåò âëèÿíèå ðåøåíèé ìîäåëüíîãî óðàâíåíèÿ (0.45) íà ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ, à, çíà÷èò, è íàñïåêòð çàäà÷è.Íàó÷íàÿ íîâèçíà. íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè ðàçðàáîòàíû ñóùåñòâåííî íîâûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ðÿäà ïðîáëåì, ñòîÿâøèõ â òåîðèè êâàçèêëàññè÷åñêîãîïðèáëèæåíèÿ.
Äëÿ óðàâíåíèé ñ ðåçîíàíñíîé ãëàâíîé ÷àñòüþ âáëèçèãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ è óðàâíåíèé ñ íåëèíåéíîñòüþ òèïàÕàðòðè, â òîì ÷èñëå êóëîíîâñêîãî òèïà, íàéäåíû íåèçâåñòíûå ðàíååôîðìóëû äëÿ àñèìïòîòèêè ñïåêòðà â âûñøèõ ïðèáëèæåíèÿõ è àíçàöû äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé, ëîêàëèçîâàííûõâáëèçè ìàëîìåðíûõ ïîäìíîãîîáðàçèé.Ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó.1. Ïðåäëîæåí îáùèé ìåòîä íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòèêè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âáëèçè ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ðåçîíàíñíîéãëàâíîé ÷àñòüþ, îñíîâàííûé íà íîâîì èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèèïîëèíîìîâ.2. Íàéäåíû àñèìïòîòèêè ñïåêòðàëüíûõ ñåðèé äëÿ âîçìóùåííîãî ðåçîíàíñíîãî îñöèëëÿòîðà âáëèçè âåðõíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ è äëÿ àòîìà âîäîðîäà â ìàãíèòíîì ïîëå âáëèçè íèæ-34íèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ.
Ïîñòðîåíû ñîîòâåòñòâóþùèåàñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿàñèìïòîòèêè êâàíòîâûõ ñðåäíèõ.3. Ïðåäëîæåí ìåòîä íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõçíà÷åíèé âáëèçè ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ äëÿ íåëèíåéíûõóðàâíåíèé òèïà Õàðòðè ñ ãëàäêèì ïîòåíöèàëîì ñàìîäåéñòâèÿ, â êîòîðîì äîïîëíèòåëüíî âû÷èñëÿþòñÿ àñèìïòîòèêè êâàíòîâûõ ñðåäíèõ.4. Íàéäåíû àñèìïòîòèêà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè äëÿ óðàâíåíèé òèïà Õàðòðè âáëèçèãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ â ñëó÷àå, êîãäà ïîòåíöèàë ñàìîäåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì îò êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
