Диссертация (1136178), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . ,~ → 0.(0.25)Ýòèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâà àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.Ïîìèìî íåëèíåéíîñòè èìååòñÿ åùå öåëûé ðÿä ñâîéñòâ, îòëè÷àþùèõ çàäà÷ó (0.23), (0.24) îò ðàññìîòðåííûõ ðàíåå çàäà÷. Íàïðèìåð,ïîñëå óñðåäíåíèÿ è êîãåðåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (0.23) ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå (2.15), èìåþùåå èððåãóëÿðíûå îñîáûå òî÷êè. Îíî íå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì êëàññà Ôóêñà, êàê áûëî äëÿóðàâíåíèé (1.38), (1.248).Äàëåå â 2 íàéäåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è (0.23), (0.24) âáëèçè íèæíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ.Äëÿ`∈Nïîðÿäêà~−1îíè èìåþò âèäλ = λk,` = `~ + ~ + (w0 + 2`~w1 + 6`2 ~2 w2 )~2 ++(2w1 + 2`~w2 (2k + 7)))~3 + O(~4 ),k = 0, 1, 2, . .
. ,~ → 0.(0.26)Èì ñîîòâåòñòâóåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî àñèìïòîòè÷åñêèõñîáñòâåííûå ôóíêöèè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç ìíîãî÷ëåíîârΦk,` (z) =ãäåα ∈ R,`k[(z−i)`−k (z+i)k cos α+(z+i)`−k (z−i)k sin α],`2 k!(0.27)ïðèìåíåíèåì êîãåðåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.24) è äå-óñðåäíÿþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.23).Óêàæåì ðÿä îòëè÷èé, âîçíèêàþùèõ ïðè èçó÷åíèè íèæíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ. Âî ïåðâûõ, â ñëó÷àå íèæíèõ ãðàíèöâ óðàâíåíèèè (2.117) ïðîèñõîäèò ñëèÿíèå òî÷åê ïîâîðîòà è îñîáûõòî÷åêz = ±i, êîòîðîãî íå áûëî ïðè ðàññìîòðåíèè â 1 âåðõíèõ ãðà-íèö êëàñòåðîâ.
Âî âòîðûõ, ðåøåíèÿ, îòâå÷àþùèå íèæíèì ãðàíèöàìñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ, ëîêàëèçîâàíû â ìàëûõ îêðåñòíîñòÿõ ñðàçó21äâóõ òî÷åêz = ±i,à íå îäíîé, êàê áûëî â ñëó÷àå âåðõíèõ ãðàíèö.Âñëåäñòâèå ýòîãî óñëîæíÿåòñÿ ïðîöåññ ñîãëàñîâàíèÿ àñèìïòîòèê.Íàêîíåö, âî âòîðîé ãëàâå ðàññìîòðåíà çàäà÷à íà ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ äëÿ íåëèíåéíîãî îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè âZ(H0 + εL2 (R2 )W (q, q 0 ) | ψ(q 0 ) |2 dq 0 )ψ = λψ,(0.28)R2kψkL2 (R2 ) = 1,(0.29)ãäå ïîòåíöèàë ñàìîäåéñòâèÿ èìååò îòëè÷íûé îòW (|q − q 0 |2 ) âèä [72;151]W (q, q 0 ) = (q1 − q10 )2 (q2 − q20 )2 + B(q1 − q10 )(q2 − q20 ).Çäåñüε > 0B êîíñòàíòà,H0 äâóìåðíûé îñöèëëÿòîð (0.15), ìàëûå ïàðàìåòðû, ïðè÷åìïîëîæèìε ~.(0.30)~ > 0,Äëÿ îïðåäåëåííîñòèε = ~2 .Îïåðàòîð òèïà Õàðòðè ñ ïîòåíöèàëîì ñàìîäåéñòâèÿ âèäàW (q1 − q10 , q2 − q20 )W =( ñì.
ôîðìóëó (0.30)) ìîæåò âîçíèêàòü ïðè èçó-÷åíèè âçàèìîäåéñòâèé â ïëîñêèõ êâàíòîâûõ ðåøåòêàõ. Äëÿ íåãî â3 íàéäåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âáëèçè âåðõíèõãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâλ = λk,``2 ~4= `~ + ~ +(2b + 9)+4`~4 p(− (b + 6)(b + 7)(2k + 1) + 2b + 9) + O(~4 ), ~ → 0. (0.31)2−1Çäåñü k = 0, 1, 2, . . .
, ÷èñëî ` èìååò ïîðÿäîê ~ , à ïàðàìåòð b >√6 − 4 ñâÿçàí ñ âõîäÿùèì â (0.30) ïàðàìåòðîì B ñîîòíîøåíèåì+(1.31). Îòìåòèì, ÷òî ïîñëå ó÷åòà äîïîëíèòåëüíîé ïîïðàâêè îñíîâíûå ðåçóëüòàòû 2 ïåðâîé ãëàâû îêàçûâàþòñÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿçàäà÷è (0.28), (0.29), ïîñêîëüêó â ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ îïåðàòîðàòèïà Õàðòðè ñ ïîòåíöèàëîì ñàìîäåéñòâèÿ (0.30) ïîëó÷àåòñÿ îïåðàòîð, áëèçêèé ê óñðåäíåííîìó îïåðàòîðó èç 2 ïåðâîé ãëàâû.22Òðåòüÿ ãëàâà äèññåðòàöèè ñîñòîèò èç äâóõ ïàðàãðàôîâ è ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ óðàâíåíèé Õàðòðè ñ ñèíãóëÿðíûìè ïîòåíöèàëàìè ñàìîäåéñòâèÿ. Ìåòîä, èñïîëüçîâàííûé â ïåðâîé è âòîðîé ãëàâàõäèññåðòàöèè, íå ïðèìåíèì â ñëó÷àå óðàâíåíèé ñ ñèíãóëÿðíûìè ïîòåíöèàëàìè ñàìîäåéñòâèÿ.
Íèæå äëÿ îïåðàòîðà Õàðòðè âR3áóäåòèçëîæåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ íåðàäèàëüíî-ñèììåòðè÷íûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé, îñíîâàííûé íà ðåøåíèè íåëèíåéíîãîèíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3.24). Îíè ñîîòâåòñòâóþò àñèìïòîòè÷åñêèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, ðàñïîëîæåíûì âáëèçè âåðõíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ.  ñëó÷àå îïåðàòîðà Õàðòðè âR2èñ-ïîëüçóåòñÿ ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ. 1 ðàññìîòðèâàåòñÿ çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ íåëèíåéíîãî îïåðàòîðà Õàðòðè ñ êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì âL2 (R3 )1+ε(−∆ −|q|ZR3| ψ(q 0 ) |2 0dq )ψ = λψ,| q − q0 |(0.32)kψkL2 (R3 ) = 1,ãäå∆ îïåðàòîð Ëàïëàñà,Õîðîøî èçâåñòíîλ = λn (ε)ε>0 ìàëûé ïàðàìåòð.[92], ÷òî ïðèε = 0ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿçàäà÷è (0.32), (0.33) ðàâíûλn (0) = −Çäåñü(0.33)n = 1, 2, . . .1.4n2 ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî.
Äëÿ çàäà÷è (0.32),(0.33) èìåþòñÿ òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, â ÷àñòíîñòè, äëÿ íèæíåéòî÷êè ñïåêòðà, îòâå÷àþùåìó îñíîâíîìó ñîñòîÿíèþðàáîòå[39] ïðèn = 2[142;144].Âäîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ñîñòîÿíèé, íå îá-ëàäàþùèõ ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèåé, à òàêæå íàéäåíî ïÿòü âåòâåéñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, âûõîäÿùèõ èç íåâîçìóùåííîé òî÷êè ñïåêòðà.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà êâàíòîâîå ÷èñëîn, çàäàþùåå íåâîç-ìóùåííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, âåëèêî ( äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåìñ÷èòàòü, ÷òîλèìååò ïîðÿäîêε)[64; 70]. Ïóñòüp = n − m − 1,ãäå23mp = 0, 1, 2, . . . ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî.  1 äëÿ êàæäîãîíàéäåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ1(p)λn,i (ε) = − 2 + ε4nãäåln n+4πn2(p)E1,in2!+Oε ln n,n5/2n → ∞,(0.34)i = 0, . .
. , Ip , êîòîðûå ðàñïîëîæåíû âáëèçè âåðõíèõ ãðàíèö ñïåê-òðàëüíûõ êëàñòåðîâ, îáðàçóþùèõñÿ âîêðóã óðîâíåé ýíåðãèè íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà (ïðèε = 0 ).  ÷àñòíîñòè, ïðè p = 0, 1, 2 ÷èñëà(p)E1,i ïðåäñòàâèìû â âèäå(p)E1,i =Çäåñüγ ≈ 0.5714π5 ln 2 + γ −(p)σi!128 ïîñòîÿííàÿ Ýéëåðà. Ïðè.p=0(0.35)ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷åíèå(0)σ0 = 0,ïðèp=1 äâà çíà÷åíèÿ(1)σ0 = 80,ïðèp=2(0.36)(1)σ1 = 96,(0.37) øåñòü çíà÷åíèé(2)σ0 = 123 +(2)σ3 = 145 −19 (2)(2), σ1 = 142, σ2 = 144,39115(2)(2), σ4 = 145 − , σ5 = 147 + .33819Ñîîòâåòñòâóþùèå (0.34) àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ëîêàëèçîâàíû âáëèçè îêðóæíîñòèΓâR3 ,íà êîòîðîé êóëîíîâ-ñêîå ÿäðî ñàìîäåéñòâèÿ â (0.32) èìååò ëîãàðèôìè÷åñêóþ îñîáåííîñòü. Ïîýòîìó ïîïðàâêà â ôîðìóëå (0.34) ñîäåðæèò(p)λn,i (ε)ln n,à ÷èñëàðàñïîëîæåíû âáëèçè âåðõíèõ ãðàíèö êëàñòåðîâ. 1 ïîêàçàíî, ÷òî ãëàâíûé ÷ëåí àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿâáëèçè îêðóæíîñòè, ãäå ëîêàëèçîâàíî ðåøåíèå, îêàçûâàåòñÿ ðåøå-24íèåì äðóãîé êëàññè÷åñêîé çàäà÷è êâàíòîâîé ìåõàíèêè çàäà÷è îäâóìåðíîì îñöèëëÿòîðå:(p)(p)kg0,i kL2 (R2 ) = 1.Lg0,i (τ, s) = 0,(0.38)Çäåñü îïåðàòîð1L=−2 ðåçóëüòàòå, ôóíêöèÿ∂2∂2+∂s2 ∂τ 2(p)g0,is2 + τ 2+− p − 1.2(0.39)ïðåäñòàâèìà â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíà-öèè áàçèñíûõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé çàäà÷è (0.38), îòâå÷àþùèõ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþp + 1.Êîýôôèöèåíòû ýòîãî ðàçëîæåíèÿ íàõî-äÿòñÿ èç ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé îäíîâðåìåííî ñ íàõîæäåíèåì ÷èñåë(p)E1,i .
Îòìåòèì, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà âûâîäèòñÿ èç óñëîâèéðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèé äëÿ ñëåäóþùèõ ïðèáëèæåíèé.Íàêîíåö, â 2 ðàññìîòðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ íåëèíåéíîãî îïåðàòîðà Õàðòðè âZ(H − εL2 (R2 )[68]ln |q − q 0 | | ψ(q 0 ) |2 dq 0 )ψ = λψ,(0.40)R2kψkL2 (R2 ) = 1,ãäå1H=−2 äâóìåðíûé îñöèëëÿòîð,∂2∂2+∂q12 ∂q22ε>0(0.41)q12 + q22+2(0.42) ìàëûé ïàðàìåòð. Çàäà÷à (0.40),(0.41) òàêæå îòíîñèòñÿ ê êëàññó ðåçîíàíñíûõ. Êðîìå òîãî, ïîòåíöèàë ñàìîäåéñòâèÿ â (0.40) èìååò ëîãàðèôìè÷åñêóþ îñîáåííîñòü.ε = 0 ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ = λ(ε)âèä λ(0) = n + 1, n = 0, 1, . .
. . Ðàññìîò-Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïðèçàäà÷è (0.40), (0.41) èìåþòðèì ñëó÷àé, êîãäà ÷èñëîn,çàäàþùåå íåâîçìóùåííîå ñîáñòâåííîåçíà÷åíèå, âåëèêî ( äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîïîðÿäîêε−1 ).λèìååò25Äëÿ ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé âîñïîëüçóåìñÿ òåì,÷òî â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèå (0.40) äîïóñêàåò ðàçäåëåíèåïåðåìåííûõ.  2 äëÿ êàæäîãîk = 0, 1, 2, . . .íàéäåíî ñîáñòâåííîåçíà÷åíèå2εελn,k (ε) = n + 1 − ln n − √ δk + O2πnãäå ÷èñëîδ0 = 1/4, à ïðèk≥1÷èñëàδk1n2,n → ∞,(0.43)çàäàþòñÿ ôîðìóëîék−1X11j 2 (2k − 2j − 2)! 2jδk = +2j!(C(−1)k−j−1 +k)2k+14 k! 2(k − j − 1)!j=0+ ÷àñòíîñòè, ïðèδ1 =(2j + 2)!(2k − 2j − 2)! .k! 22k (j + 1)!(k − j − 1)!k = 1, 2, 3, 47,16δ2 =÷èñëà145,256δkδ3 =(0.44)ðàâíû687,1024Ýòè ÷èñëà äàæå ïðè íåáîëüøèõ çíà÷åíèÿõkδ4 =49881.65536õîðîøî ïðèáëèæàþòñÿñ ïîìîùüþ àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëûδk ∼êîòîðàÿ óæå ïðèk = 02π 3/2r1k+ ,2k → ∞,ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòüδ0ñ àáñîëþòíîé ïî-ãðåøíîñòüþ, íå ïðåâîñõîäÿùåé 0.004. 2 äîêàçàíî, ÷òî àñèìïòîòèêà (0.43) îïèñûâàåò ñïåêòð îïåðàòîðà Õàðòðè âáëèçè âåðõíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ, àñîîòâåòñòâóþùèå àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ëîêàëèçîâàíû âáëèçè îêðóæíîñòåé.Åñëè ñðàâíèòü (0.43) ñ ôîðìóëàìè (0.25), (0.26) äëÿ àñèìïòîòèêè ñïåêòðà äâóìåðíîãî îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè â ñëó÷àå ãëàäêîãî ÿäðà ñàìîäåéñòâèÿ, òî ðàñùåïëåíèå ñïåêòðà â (0.43) ïðîèñõîäèòâ ÷ëåíå áîëåå íèçêîãî ïîðÿäêà, ïðè÷åì çàâèñèìîñòü ïîïðàâêè îò26÷èñëàkâ ñëó÷àå íåãëàäêîãî ïîòåíöèàëà ñàìîäåéñòâèÿ ñòàíîâèòñÿíåëèíåéíîé.×åòâåðòàÿ ãëàâà äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíà íàõîæäåíèþ ñîñðåäîòî÷åííûõ âáëèçè ìàëîìåðíûõ ïîäìíîãîîáðàçèé àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèé Õàðòðè, äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿðåøåíèÿ ìîäåëüíîãî óðàâíåíèÿ∂ 2G ∂ 2G ++ ξ−∂ξ 2 ∂η 2∞ZZlnh (ξ − ξ 0 )2 + (η − η 0 )2 i(ξ 0 )2−∞20000G (ξ , η ) dξ dη G == 0,(0.45)ò.å.
ýéðè-âåðñèÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ ïîëÿðîíà. Ïðè ýòîì âîçíèêàþò ñóùåñòâåííûå îòëè÷èÿ îò îáû÷íûõ ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèé [51].Ïåðâîå îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïî íîðìàëè ê äèñêó àñèìïòîòè÷åñêàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ óæå íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ãàóññîâñêèì ïàêåòîì, ò.å. íå çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì îñöèëëÿòîðà êàê â îáû÷íîé ÂÊÁ-âåðñèè, à îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé ìîäåëüíîéçàäà÷è:d2 t(τ ) − πdτ 2Z∞Z0 200|τ − τ |t (τ ) dτ + ρ t(τ ) = 0,(0.46)−∞∞2Z∞t (τ ) dτ = 1,−∞Çäåñüτ t2 (τ ) dτ = 0.(0.47)−∞ρ êîíñòàíòà.
Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (0.46) îïèñûâàåòîäíîìåðíûé ïîëÿðîí.Âòîðîå îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî âáëèçè êàóñòèê (òî÷åê ïîâîðîòà) ìîäåëüíûì óðàâíåíèåì äëÿ (0.1), (0.2) ñëóæèò íå îáû÷íîåóðàâíåíèå Ýéðè, à åãî íåëèíåéíàÿ ìîäèôèêàöèÿ (0.45) ñ äîïîëíèòåëüíûì ëîãàðèôìè÷åñêèì ÿäðîì âçàèìîäåéñòâèÿ. Èìåííî ýòè äâàíåëèíåéíûõ ìîäåëüíûõ óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò õàðàêòåð óáûâàíèÿàñèìïòîòè÷åñêîé ñîáñòâåííîé ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâåííî, ëèáî ïðèóäàëåíèèè îò äèñêà ïî íîðìàëè, ëèáî â ïëîñêîñòè äèñêà ïðè óäàëåíèè îò åãî ãðàíèöû.27Íà ñàìîì äèñêå àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå â ãëàâíîì çàäàåòñÿîáû÷íûìè ÂÊÁ-ôîðìóëàìè, íî ïîïðàâêè ê ãëàâíîé ÷àñòè óæå îïðåäåëÿþòñÿ íåëèíåéíûì âçàèìîäåéñòâèåì ñ ïîëÿðîíîì ïî íîðìàëè è ñýéðè-ïîëÿðîíîì âáëèçè òî÷åê ïîâîðîòà.
 ðåçóëüòàòå, ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ, îïðåäåëÿþùåå àñèìïòîòèêó ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéλ, èìååòâèä âåñüìà äàëåêèé îò ñòàíäàðòíîãî ïðàâèëà Áîðà-Çîììåðôåëüäà,è ñîäåðæèò ðàçëîæåíèÿ ïî äðîáíûì ñòåïåíÿì ïàðàìåòðà~.Ýòè ôóíäàìåíòàëüíûå ôàêòû, äîêàçàòåëüñòâà êîòîðûõ ïðèâåäåíî â ÷åòâåðòîé ãëàâå äèññåðòàöèè, ÿâëÿþòñÿ íîâûìè äëÿ òåîðèè êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ è íå èìåþò àíàëîãà íè äëÿãëàäêîé "íåêóëîíîâñêîé"âåðñèè óðàâíåíèé Õàðòðè, íè äëÿ îáû÷íîãî ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ íàä ìàëîìåðíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì.×åòâåðòàÿ ãëàâà ñîñòîèò èç òðåõ ïàðàãðàôîâ.  1 áóäåò ðàññìîòðåíî ìîäåëüíîå óðàâíåíèå (0.45).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
