Диссертация (1136178), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . . . . . 4153.5.Çàäà÷à äëÿ ôàçû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4233.6.Ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ. Îöåíêà íåâÿçêè.Ôîðìóëèðîâêà îñíîâíîé òåîðåìû . . . . . . . . . . . . . . . . 43173.7.Ãëàâíîå ïðèáëèæåíèå ê ôàçå . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4333.8.Àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.Ãëàâíîå ïðèáëèæåíèå . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Çàêëþ÷åíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441Ñïèñîê ëèòåðàòóðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4448ÂâåäåíèåÀêòóàëüíîñòü òåìû èññëåäîâàíèÿ. òåîðèè êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ äîëãèå ãîäû ñòîÿëàâàæíàÿ ïðîáëåìà î ïîñòðîåíèè àñèìïòîòèêè ñïåêòðà è àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âáëèçè ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ,êîòîðûå îáðàçóþòñÿ ïðè âîçìóùåíèè ãëàâíîé ÷àñòè ãàìèëüòîíèàíà â ñëó÷àå ðåçîíàíñà ÷àñòîò. Ýòîé òåìå ïîñâÿùåíà ïåðâàÿ ÷àñòüðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè, ïðè÷åì, êàê äëÿ ñëó÷àÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, òàê è äëÿ ñëó÷àÿ îïåðàòîðîâ ñ íåëèíåéíûìè âîçìóùåíèÿìèòèïà Õàðòðè. Ðåøåíèå óêàçàííîé ïðîáëåìû âàæíî äëÿ ïîñòðîåíèÿïðåäñòàâëåíèé àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé øèðîêîãî êðóãà óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Âòîðàÿ ÷àñòü ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíà ïîñòðîåíèþàñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Õàðòðè ñêóëîíîâñêèì ïîòåíöèàëîì ñàìîäåéñòâèÿ, õàðàêòåðíûì äëÿ ìíîãèõôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé.
Íàëè÷èå ó ïîòåíöèàëà ñàìîäåéñòâèÿ êóëîíîâñêîé îñîáåííîñòè ïðåäñòàâëÿåò ïðèíöèïèàëüíóþ ïðîáëåìó äëÿîáû÷íîé òåîðèè êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Àêòóàëüíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ îáíàðóæåíèå ýôôåêòèâíîãî àíçàöà äëÿ àñèìïòîòèêè, â ÷àñòíîñòè, ïðè îïèñàíèè ðåøåíèé, ëîêàëèçîâàííûõ âáëèçè ìàëîìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé, ãäå íå ðàáîòàþò èçâåñòíûå ìåòîäû è äîëæíû âîçíèêíóòü íîâûå ìîäåëüíûå óðàâíåíèÿÑòåïåíü ðàçðàáîòàííîñòè òåìû.Óðàâíåíèÿìè Õàðòðè [126–129] íàçûâàþòñÿ íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà âR2è âR3 , ñîäåðæàùèå ïîìèìî îáû÷íîé ïîòåí-öèàëüíîé ÿìû åùå è ïîòåíöèàë ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ êóëîíîâñêîãî òèïà.
Òî÷íåå, ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé(−~2 ∆ + V + U )ψ = λψ,∆U = |ψ|2 ,kψkL2 = 1,(0.1)(0.2)9â êîòîðûõV ýòî ãëàäêàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà (îáåñïå÷èâàþùàÿäèñêðåòíîñòü ñïåêòðà),~ > 0 ìàëûé ïàðàìåòð, à λ è ψ èñêîìîåñîáñòâåííîå çíà÷åíèå è ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ.Ïîòåíöèàë ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿUìîæåò áûòü âûðàæåíèç (0.2) â âèäå èíòåãðàëà1U (x) = −4π1U (x) =2πZZR3|ψ(y)|2dy|x − y|ïðèln |x − y| · |ψ(y)|2 dyx ∈ R3 ,ïðèx ∈ R2 .(0.3)(0.4)R2Ïîäñòàíîâêà (0.3) èëè (0.4) â (0.1) äàåò äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿψñ èíòåãðàëüíîé íåëèíåéíîñòüþ.Íà÷èíàÿ ñ îñíîâîïîëàãàþùèõ ðàáîò Ä.Ð.
Õàðòðè (D.R. Hartree)[126–129] â òå÷åíèå ïî÷òè óæå 100 ëåò óðàâíåíèÿ Õàðòðè ïðèâëåêàþò âíèìàíèå áîëüøîãî ÷èñëà ôèçèêîâ è ìàòåìàòèêîâ. Ôóíäàìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ óðàâíåíèé òèïà Õàðòðè, áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòàõ Í.Í. Áîãîëþáîâà, Ë.Ï. Ïèòàåâñêîãî, Ñ.È. Ïåêàðà,Â.Ä. Ëàõíî, È.Â. Ñèìåíîãà, à òàêæå Å.Ï. Ãðîññà (E.P.
Gross), Å.Õ.Ëèáà (E.H. Lieb), Ï.Ë. Ëèîíñà (P.L. Lions), Á. Ñàéìîíà (B. Simon),×.À. Ñòþàðòà (C.A. Stuart) è ìíîãèõ äðóãèõ.Íàðÿäó ñ óðàâíåíèÿìè Õàðòðè ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿ òèïà Õàðòðè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿZW (x, y)|ψ(y)|2 dyU (x) =(0.5)Rnñîäåðæèò ïîòåíöèàë ñàìîäåéñòâèÿW (x, y)áîëåå îáùåãî âèäà, ÷åìêóëîíîâñêèé. Óðàâíåíèÿ òèïà Õàðòðè èãðàþò ôóíäàìåíòàëüíóþðîëü â íåêîòîðûõ êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëÿõ, à òàêæå â íåëèíåéíîé îïòèêå (ñì., íàïðèìåð, [12; 19; 28; 58;59; 107; 121; 139; 157]).Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýòèõ óðàâíåíèé ðàçâèòà îñîáåííî ãëóáîêî äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àÿ (çàäà÷à Êîøè) [80;108; 110; 111; 117; 119; 120; 131; 149; 150; 160].103; 105; 106;Âàæíûå ðåçóëüòà-òû áûëè ïîëó÷åíû òàêæå è â ñïåêòðàëüíîé òåîðèè òàêèõ óðàâíåíèé10[39;96; 101; 114; 115; 118; 124; 141; 142; 144–146; 148; 156; 158; 161;162; 165].Ìåòîäû êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðè ~ → 0 äëÿ ýòîãîòèïà íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé íà÷àëè ñèñòåìàòè÷åñêè ðàçðàáàòûâàòüñÿ â ðàáîòàõ Â.Ï.
Ìàñëîâà è Ì.Â. Êàðàñåâà [32; 50; 53]. Çàäà÷à çäåñüîêàçàëàñü íàìíîãî ñëîæíåå ïî ñðàâíåíèþ ñ ëèíåéíûì ñëó÷àåì. ðàáîòàõ [50; 53] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ê óðàâíåíèÿì ñ èíòåãðàëüíîé íåëèíåéíîñòüþ òèïà Õàðòðè ìîãóò áûòü óñïåøíî ïðèìåíåíû êâàçèêëàññè÷åñêèå ìåòîäû, ðàçðàáîòàííûå äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî èíòåãðàëüíîå ÿäðî â ïîòåíöèàëå ñàìîäåéñòâèÿ (0.5) äîñòàòî÷íî ãëàäêîå. Ñëó÷àé ñèíãóëÿðíîãî ÿäðà, âîçíèêàþùèé â ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ìîäåëÿõ, âíà÷àëå íåðàññìàòðèâàëñÿ.  òàêîì ãëàäêîì ñëó÷àå àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, ñîñðåäîòî÷åííûå â òî÷êå, äëÿ óðàâíåíèÿ Õàðòðè áûëèâïåðâûå ïîñòðîåíû â [51] è â [82]. Îíè çàäàâàëèñü ãàóññîâûìè ïàêåòàìè, êàê â îáû÷íîì ìåòîäå ÂÊÁ [51].Çàòåì â ðàáîòå [32] áûëà ïðåäïðèíÿòà ïîïûòêà òåìè æå ìåòîäàìè èçó÷èòü ñëó÷àé ñèíãóëÿðíîãî ÿäðà ñàìîäåéñòâèÿ.
À èìåííî, â [32] â ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè áûëè ïîñòðîåíû àñèìïòîòè÷åñêèåñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è (0.1), (0.2), îòâå÷àþùèå ëàãðàíæåâûì"ðàäèàëüíî-ñèììåòðè÷íûì"ïîäìíîãîîáðàçèÿìöèè êîòîðûõ íàR3Λ3 ⊂ R3x ⊕R3p , ïðîåê-ÿâëÿþòñÿ øàðîì. Òàêæå áûë ðàññìîòðåí öåëûéðÿä ïðèëîæåíèé è îáîáùåíèé ýòèõ ðåøåíèé [29; 31; 34]. Îäíîìåðíûéñëó÷àé áûë ðàçîáðàí â [91].Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå øàðà îñîáåííîñòü ÿäðà òðåõìåðíîãî êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, êîíå÷íî, äîñòàâëÿåò ñâîè òðóäíîñòè, íîíå èçìåíÿåò ñòàíäàðòíîãî âèäà ãëàâíîé ÷àñòè àñèìïòîòèêè [32]. Òîãäà æå áûëè íà÷àòû ïîïûòêè ïîñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ,îòâå÷àþùèå èçîòðîïíûì ïîäìíîãîîáðàÿìêîòîðûõ íàR3xΛ2 ⊂ R3x ⊕ R3p ,ïðîåêöèèÿâëÿþòñÿ ïëîñêèìè äèñêàìè.
Îäíàêî ñëó÷àé äèñêîâîêàçàëñÿ íàìíîãî ñëîæíåå. È îñíîâíûì ïðåïÿòñòâèåì çäåñü ñëóæèòëîãàðèôìè÷åñêèé õàðàêòåð îñîáåííîñòè ÿäðà äâóìåðíîãî êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.11 ýòîé ñâÿçè, â ðàáîòå[43] çàíîâî áûë ðàññìîòðåí ðàäèàëü-íûé ñëó÷àé øàðà, íî ñ áîëüøåé, ÷åì â [32], òî÷íîñòüþ ïî~.Îêàçà-ëîñü, ÷òî â ìëàäøèõ ÷ëåíàõ àñèìïòîòèêè óæå ïîëíîñòüþ ïðîÿâëÿåòñÿ ñèíãóëÿðíîñòü ÿäðà òðåõìåðíîãî êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, èýòî ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîìó èçìåíåíèþ, íàïðèìåð, ïðàâèë êâàíòîâàíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ òåîðèåé îáû÷íîãî ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ.
Ïîýòîìó ðåøåíèå çàäà÷ îá àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèÿõ óðàâíåíèéÕàðòðè äëÿ ñëó÷àåâ ïëîñêèõ äèñêîâ âíóòðèâíóòðèR2R3è îòðåçêîâ ïðÿìûõïîòðåáîâàëî î÷åíü êðîïîòëèâîãî èçó÷åíèÿ ìîäåëüíûõóðàâíåíèé ñ ñèíãóëÿðíûìè ÿäðàìè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû áûëèîïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ [4042; 65;138]. Ïðè ýòîì àíàëîãèÿ ñ êàð-òèíîé, õàðàêòåðíîé äëÿ îáû÷íîãî ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ [51], çäåñü ïî÷òè ïîëíîñòüþ óòðà÷èâàåòñÿ.Äàëåå â ðàáîòå Â.Â.Áåëîâà, Ô.Ì.Ëèòâèíöà, À.Þ.Òðèôîíîâà[7], à òàêæå â ðàáîòå[9] äëÿ íåáîëüøèõ êâàíòîâûõ ÷èñåë áûëàíàéäåíà ñåðèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äëÿ îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè.
Îíà îòâå÷àåò òî÷êå ïîêîÿ ñèñòåìû ÃàìèëüòîíàÝðåíôåñòà, àññîöèèðîâàííîé ñ îïåðàòîðîì Õàðòðè.Îáû÷íàÿ êîíñòðóêöèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé âáëèçè òî÷åêïîêîÿ èëè âáëèçè óñòîé÷èâûõ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé (ìàëîìåðíûõòîðîâ) â òåîðèè êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ âñåãäà ñâÿçûâàëàñü ñ ãàóññîâûìè ïàêåòàìè. Îáùàÿ òåîðèÿ òàêîãî òèïà áûëà ðàçâèòà â ðàáîòàõ Â.Ì. Áàáè÷à, Â.Ñ.
Áóëäûðåâà è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâïåòåðáóðãñêîé øêîëû[25; 51;99],[3] , à òàêæå â ðàáîòàõ øêîëû Â.Ï. Ìàñëîâàêîòîðûå èìåëè ìíîãî÷èñëåííîå ðàçâèòèå è ïðèëîæåíèÿ( ñì., íàïðèìåð, [49;125; 155]). Íî âî âñåõ ýòèõ ðàáîòàõ ðàññìàòðè-âàëñÿ òîëüêî ñëó÷àé îòñóòñòâèÿ ÷àñòîòíîãî ðåçîíàíñà (ó ñèñòåìû ââàðèàöèÿõ íàä òî÷êîé ïîêîÿ èëè ñèñòåìû â íîðìàëüíîì ïîäðàññëîåíèè íàä ìàëîìåðíûì èíâàðèàíòíûì òîðîì).Ðåçîíàíñíûé ñëó÷àé íà÷àë ñèñòåìàòè÷åñêè èçó÷àòüñÿ â ðàáîòàõ Ì.Â.
Êàðàñåâà [132–136], ãäå îáíàðóæèëîñü, ÷òî çäåñü òðåáóåòñÿïðèíöèïèàëüíî èíàÿ êîíñòðóêöèÿ àñèìïòîòèêè, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòêîãåðåíòíûå ñîñòîÿíèÿ íåêîììóòàòèâíîé àëãåáðû ñèììåòðèé ãëàâ-12íîé ðåçîíàíñíîé ÷àñòè ãàìèëüòîíèàíà. Ïîÿâèëèñü íîâûå ìîäåëüíûåóðàâíåíèÿ â íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ àëãåáð ñèììåòðèé, êîòîðûå ðåàëèçóþòñÿ êàê äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ïðîñòðàíñòâàõ ïîëèíîìîâ.Íà âûñîêèõ (âîçáóæäåííûõ) óðîâíÿõ ýòè ìîäåëüíûå óðàâíåíèÿèìåþò î÷åíü ïðîñòóþ àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ. Íî äëÿ óðîâíåé, áëèçêèõ ê ãðàíèöå ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ, ýòà ïðîñòàÿ àñèìïòîòèêàóæå íå ðàáîòàåò. Ãðàíèöàì ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ ýíåðãèé ñîîòâåòñòâóþò ìàëîìåðíûå èíâàðèàíòíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ â ôàçîâîìïðîñòðàíñòâå èñõîäíîé çàäà÷è (çàìêíóòûå òðàåêòîðèè, èëè òîðû).Òàêèì îáðàçîì, äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé, ëîêàëèçîâàííûõ íàïîäîáíûõ ìàëîìåðíûõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèé îñòàâàëîñü íå èññëåäîâàííûì âîïðîñîì.
Ïðèíöèïèàëüíàÿ òðóäíîñòü ðåçîíàíñíîãî ñëó÷àÿ çäåñü äî êîíöà íå áûëà ïðåîäîëåíà. äîêëàäå63; 69;153],[61], è â ïîñëåäîâàâøèõ çàòåì ðàáîòàõ àâòîðà[62;áûë ïðåäëîæåí îáùèé ìåòîä íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòè-êè ñïåêòðà è àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âáëèçè ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ, êîòîðûå îáðàçóþòñÿ îêîëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ãëàâíîé ÷àñòè îïåðàòîðà â ñëó÷àå ðåçîíàíñà åå ÷àñòîò.À òî÷íåå, ïîñëå ïðèìåíåíèÿ êâàíòîâîãî ìåòîäà óñðåäíåíèÿ èêîãåðåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî ñõåìå[33; 38] â ìîäåëüíîé çàäà-÷å íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ â ïðîñòðàíñòâåíå âûøå`(ãäå ÷èñëî`1P`ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè) áûëà èñïîëüçîâàíà íîâàÿ èíòåãðàëü-íàÿ êîíñòðóêöèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþòãðàíèöå ñïåêòðàëüíîãî êëàñòåðà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
