Диссертация (1136178), страница 26
Текст из файла (страница 26)
 ñëó÷àå b(1) = 0 óðàâíåíèå (2.113)Çäåñüèíòåãðèðóåòñÿ â êâàäðàòóðàõ. ÑïðàâåäëèâàËåììà 2.17.Ïóñòü b(1) = 0, à ` = 0, 1, 2, . . . . Òîãäà ïðè k =0, 1, 2, . . . , (`−1)/2, åñëè ` íå÷åòíîå, è ïðè k = 0, 1, 2, . . . , (`−2)/2,218åñëè ` ÷åòíîå, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ óðàâíåíèÿ(2.113)ðàâíû(1)ξk,` = ~k(` − k).(2.114)Èì îòâå÷àþò äâå ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè Φ(z)= (z − i)`−k (z + i)k è Φ(z) = (z + i)`−k (z − i)k èç ïðîñòðàíñòâà P` .(1)Êðîìå òîãî, ïðè ÷åòíîì ` ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ξ`/2,` = ~`2 /4îòâå÷àåò ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ Φ(z) = (z 2 + 1)`/2 .` èìååò ïîðÿäîê ~−1 , k = 0, 1, 2, . . . .
Òîãäà â ñèëó= 0 âáëèçè íèæíåé ãðàíèöû êëàñòåðà ÷èñëîÏóñòüïðèb(1)(1)~ → 0.ξk,` = 2ak + O(~),(2.114)(2.115)b(1) 6= 0 , ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.113) áóäåì èñêàòüôóíêöèÿ p ∈ J , à G çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (0.11). ñëó÷àå, åñëèâ âèäå (0.12), ãäåÀíàëîãè÷íî 2 ïåðâîé ãëàâû è 1 âòîðîé ãëàâû äîêàçûâàåòñÿ,÷òî åñëè öèêëγðàñïîëîæåí äîñòàòî÷íî áëèçêî îò íóëÿ, òî âìåñòîàñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ`+2ïîðÿäêà, êîòîðîå ïîëó-÷àåòñÿ èç (2.113) ïîä äåéñòâèåì îòîáðàæåíèÿ (0.12), â ïðàâóþ ÷àñòü(0.12) ìîæíî ïîäñòàâèòü àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 2-ãîïîðÿäêà (2.113).2.4.Àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ âáëèçè îñîáûõ òî÷åêz = ±iÏðè ïîñòðîåíèè àñèìïòîòèêè ïðèb(1) 6= 0ñóùåñòâåííóþ ðîëüèãðàåò ïîâåäåíèå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.29) îêîëî îñîáûõ òî÷åê.Ñóùåñòâóþò çíà÷åíèÿξ,ïðè êîòîðûõ âáëèçè èððåãóëÿðíûõ òî÷åêz 1 = i è z 2 = −i îäíî ðåøåíèå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû ñòåïåííîãîðÿäà, à âòîðîå ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ðåøåíèå çàäàåòñÿ ðÿäîì Ëîðàíà.
Äëÿ ðåãóëÿðíîé òî÷êèðàâíû−`è−` + 1,z3 = ∞õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëèà, çíà÷èò, îáà ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ (1.29) ðàñòóò íà∞íå áûñòðååz`.219Ïðèξ = ξk,`òî÷íûìè ðåøåíèÿìè ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (1.29),(1.30) ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû. Íàðÿäó ñ òàêîé çàäà÷åé ðàññìîòðèììíîãîòî÷å÷íóþ ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó. Îíà ñîñòîèò â íàõîæäåíèè÷èñåëξk,` ,ïðè êîòîðûõ ó óðàâíåíèÿ (1.29) ñóùåñòâóþò íåíóëåâûåàíòèãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå ðàçëàãàþòñÿ â ñòåïåííûå ðÿäûâáëèçèz1èz2.p(z) àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå òàêîé ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è, òî ïðè ïîäñòàíîâêå p(u) âïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (0.12) ïîëó÷àåì ìíîãî÷ëåí Φ(z) àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.29) èç ïðîñòðàíñòâà P` . Óñëîâèå íîðìèðîâêè (1.30) äëÿ Φ(z) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñîäåðæàùèéñÿ â p(u)ïðîèçâîëüíûé ìíîæèòåëü.
Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ξk,` è ìíîãî÷ëåíΦ(z) ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì èñõîäíîé ñïåêòðàëüíîéÅñëè ÷èñëîξk,`è ôóíêöèÿçàäà÷è (1.29), (1.30).Âûïîëíèì ïîäñòàíîâêó (1.62), ãäåE(z) = (R(z))a/~−1/2 exp −àR(z)(1)b1 z(1)b3+R(z)!,(2.116)çàäàí ôîðìóëîé (2.16).  ðåçóëüòàòå óðàâíåíèå (2.113) ïðè-íèìàåò âèä(1)ξk,`d2 Y 4a2~24a~(1)(1)~2 2 + 2 + 3 [2b1 z+b3 (1−z 2 )−R(z)]− 4 [R2 (z)+R (z) R (z)aR (z)dz(1)(1)(1) (1)(1)(1)+(b1 )2 (1−z 2 )2 +4(b3 )2 z 2 −4b3 b1 z(1−z 2 )−4b1 zR(z)−2b3 R(z)××(1 − z 2 )] Y = 0.(2.117)Ïîñòðîèì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå â ìàëîé (äèàìåòðà ïîðÿä-~) îêðåñòíîñòè òî÷êè z = i.
Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé z =i + ~ζ , à òàêæå ðàçëîæèì âõîäÿùèå â (2.117) ôóíêöèè ïî ôîðìóëåêà220Òåéëîðà.  èòîãå ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ2(1)22ia2 ζ + i(b(1) a + 2iξk,` )ζ + b(1) (2aζ + b(1) )2~2 2d Y~+~+O 2 +2 −43dζ4ζ2ζζ+O ~2Y = 0,(2.118)ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ äëÿ êîòîðîãî âíå ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ïîâîðîòàζ 0 = −b(1) /(2a)èìåþò âèä(i) ±(a/~+1/2)+1W KBY±,= c̃± ζi(1)(1)(ζ − ζ 0 )∓(ξk,` /(2a)+1/2)−1/2 e∓(b/(2~ζ)−iaζ/2)2+O(~(ζ − ζ 0 )−2 ) + O(~ζ )).Çäåñü(i)c̃±(1+(2.119) êîíñòàíòû.Ëèíèè Ñòîêñà óðàâíåíèÿ (2.118) çàäàþòñÿ óðàâíåíèåì ζζ ln + Re 0 = 1.ζ0ζÎíè èçîáðàæåíû íà ðèñ.
2.5. Êðîìå òîãî íà ðèñ. 2.5. èçîáðàæåíàòî÷êà ïîâîðîòàζ 0 . Ïîñêîëüêó îíà ðàñïîëîæåíà âáëèçè îñîáîé òî÷êèÐèñóíîê 2.5z = i,òî ïðîèñõîäèò èõ ñëèÿíèå.221z=iÒàê êàê âáëèçè òî÷êè(1) /4E(z) = (2i~)a/~−1/2 eibζa/~−1/2 −b(1) /(2~ζ)−iaζ/2e{1 + O(~(| ζ |2 ++ | ζ |3 ))},òî â ñòåïåííîé ðÿä â îêðåñòíîñòèζ = 0 ðàçëàãàåòñÿ ðåøåíèå (2.113)ñ èíäåêñîì ìèíóñ:(i)KBa/~−1/2 ibΦWe−, i = c̃− (2i~)(1) /4(1)(ζ − ζ 0 )ξk,` /(2a) e−iaζ {1 + O(~(| ζ |2 ++ | ζ − ζ 0 |−2 ))}.Òåì ñàìûì îïðåäåëåí âèä ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ â îáëàñòÿõ I, II (ñì.ðèñ. 2.5. ).Äàëåå ïîñòðîèì ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èâáëèçè òî÷êè ïîâîðîòà(1)ζ = ζ 0 , à òàêæå îïðåäåëèì ÷èñëà ξk,` . Ðàçëî-æèì â óðàâíåíèè (2.118) ôóíêöèè ïî ôîðìóëå Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êèζ = ζ 0 .
 ðåçóëüòàòå ïîñëå çàìåíû u =√√2a(ζ−ζ 0 )/( ~ ζ 0 )ïîëó÷àåì, ÷òîd2 Y u21~2 2 + − +ν+ +42dur~ 3ib(1)3[u +u(−2ν− )]+O (~)+O ~u4 ×2a42×Y = 0.(2.120)Çäåñü(1)ν = ξk,` /(2a).(2.121)Áóäåì èñêàòü àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå (2.120) â âèäårY (i) = y0 (u)+~dy0dy0y1 (u)+O(~y0 )+O(~u6 y0 )+O(~u)+O(~u3).2adudu(2.122)Òîãäà ãëàâíûé ÷ëåí àñèìïòîòèêè óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.108),îáùåå ðåøåíèå êîòîðîãî ïðåäñòàâèìî â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèèôóíêöèé ïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðà (2.51), ãäåα1 , α2 êîíñòàíòû.222Ñîãëàñóåì ïîñòðîåííûå âûøå àñèìïòîòèêè â îêðåñòíîñòè òî÷-ζ 0 ïðè u ïîðÿäêà ~−1/10 .1 | u | ~−1/6êèW KBY+,iÈç ôîðìóëû (2.119) âûòåêàåò, ÷òî ïðè−ν−1 u2 /4= ĉ+ ue2W KBY−,= ĉ− uν e−ui/4√ 3(1 + O( ~u ) + O(u−2 )),(2.123)√(1 + O( ~u3 ) + O(u−2 )),(2.124)ãäåĉ± =(i) ±a/~+1/2∓ν ∓b(1) /(2~ζ 0 )±iaζ 0 /2c̃± ζ 0eÄëÿ íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòèêèy0~2a∓(ν/2+1/4)−1/4.(2.125)âîñïîëüçóåìñÿ àñèìïòîòè÷åñêèìèðàçëîæåíèÿìè (1.110), (1.111) ôóíêöèé ïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðà.Èìååì:√2y0 = α1 [uν e−u1 + O u−2 −/42π νπi −ν−1 u2 /4e ue1 + O u−2 ]+Γ(−ν)+α2 (iu)−ν−1 euïðè21 + O u−2/4| u |→ ∞, 3π/4 < arg u < 5π/4,y0 = α1 uν e−u2/41 + O u−2(2.126)è2+ α2 [(iu)−ν−1 eu/41 + O u−2−√−ïðè22π −(ν+1)πie(iu)ν e−u /4 1 + O u−2 ]Γ(ν + 1)| u |→ ∞, π/4 < arg u < 3π/4.ÇäåñüΓ(ν)(2.127) ãàììà ôóíêöèÿ.Ñ äðóãîé ñòîðîíû â îáëàñòÿõ I è II (ñì.
ðèñ. 2.5.) ÂÊÁ-ïðèáëè-W KBY−,i .W KBY−,iζ → ζ 0 çàäàåòñÿôîðìóëîé (2.124). Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî âáëèçè ζ 0 â ïðåäåëàõ îáëàñòè I âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 3π/4 < arg u < 5π/4, à ñëåäîâàæåíèå èìååò âèäÀñèìïòîòèêàïðèòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü (2.124) ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à òàêæå òåì,÷òî â îáëàñòè II, êîãäà| u |→ ∞, π/4 < arg u < 3π/4,ôóíêöèÿ(2.124) ýêñïîíåíöèàëüíî âîçðàñòàåò.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî ñîãëàñîâàíèå ðàçëîæåíèÿ (2.124) ñ (2.126), (2.127) âîçìîæíî ëèøü â223äâóõ ñëó÷àÿõ: ëèáî ïðèα1 = ĉ− , α2 = 0, 1/Γ(−ν) = 0,ëèáî ïðè√α1 = ĉ− , α2 = α1 2πeνπi iν+1 /Γ(−ν), 1/Γ(ν + 1) = 0.Êàê èçâåñòíî, ãàììà ôóíêöèÿν = k , k = 0, 1, 2, . .
. , à Γ(ν + 1)0, 1, 2, . . . . ÑïðàâåäëèâàËåììà 2.18.Γ(−ν)èìååò ïîëþñà ëèøü ïðè ëèøü ïðèν = −k − 1, k =Ïðè ν = k ôóíêöèÿ y0 èìååò âèä2u√ e−u /4 ,2k = 0, 1, 2, . . . ,(2.128)2πik Dk (iu)/k!),k = 0, 1, 2, . . . ,(2.129)α1y0 = α1 Dk (u) = k/2 Hk2à ïðè ν = −k − 1y0 = α1 (D−k−1 (u) −√Ïðîäîëæèì ñîãëàñîâàíèå àñèìïòîòèê.
Ðàññìîòðèì ðåøåíèå,äëÿ êîòîðîãî â îáëàñòÿõ I è II ñïðàâåäëèâî ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèåW KBY−,i .Ôîðìóëû (2.128), (2.129) ïîçâîëÿþò íàéòè åãî àñèìïòîòèêóâ îáëàñòè III . Ïîñêîëüêó ïðè| u |→ ∞, | arg u |< π/42Dk (u) = uk e−u/4(1 + O u−2 ),√√2π k2π k u2 /4u e (1 + O u−2 ),D−k−1 (u) −i Dk (iu) = (−1)k+1k!k!W KBY±,âáëèçè ζ 0 ïðåäñòàâèìû â âèäå (2.123),i(2.124), òî â ñëó÷àå, êîãäà ν = k , k = 0, 1, 2, . . .
, â îáëàñòè III Y =W KBW KBY−,i , à ïðè ν = −k − 1, k = 0, 1, 2, . . . â îáëàñòè III Y = Y+, i .(i)(i)W KBÂõîäÿùàÿ â Y+, iêîíñòàíòà c̃+ ñâÿçàíà ñ êîíñòàíòîé c̃− èç àñèìïW KBòîòèêè Y−, iâ îáëàñòÿõ I, II ñ ïîìîùüþ (2.125) è ðàâåíñòâà ĉ+ =√ĉ− (−1)k+1 2π/k!.à ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿÑëåäóþùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèè (2.122) èìååò âèä2 2 ib(1) 4ν 1 dy0 2y1 = − u ++−+ uy0 .3233 du3224y1Ôóíêöèÿñîãëàñóåòñÿ ñ ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèåì. Ïðè ýòîì ïðåäïîëà-y0ãàåòñÿ, ÷òî âõîäÿùàÿ â√êîíñòàíòàα1ñîäåðæèò ïîïðàâêó ïîðÿäêà~.Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ñòðîèòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå âîêðåñòíîñíîñòè òî÷êèíèòü ïàðàìåòðiíàz = −i.−i.Íàäî ëèøü âî âñåõ ôîðìóëàõ çàìå- ðåçóëüòàòå ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå ïðèíèìàåòâèä(1)(−i)±(a/~+1/2)+1W KB(η − η 0 )∓(ξk,` /(2a)+1/2)−1/2 e∓(bY±,−i = c̃± η(1) /(2~η)+iaη/2)+O(~(η − η 0 )−2 ) + O(~η 2 )).Çäåñü(−i)c̃±(1+(2.130)η = (z + i)/~, η 0 = −b(1) /(2a).ïîâîðîòà η 0 èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå êîíñòàíòû,Âáëèçè òî÷êèrY (−i) = y0 (v)+~dy0dy0y1 (v)+O(~y0 )+O(~v 6 y0 )+O(~v)+O(~v 3).2advdv(2.131)√2a(η − η 0 )/( ~η 0 ).
×òîáû ïîñòðîèòü ðåøåíèå Φ, êîòîãäå v =ðîå â îêðåñòíîñòè òî÷êè z = −i ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä, ïðèν = k, k = 0, 1, 2, . . . , âî âñåõ òðåõ îáëàñòÿõ ñëåäóåò ïîëîæèòüW KBY = Y−,−i , à âáëèçè η 0 çàäàòü y0 = α3 Dk (v), ãäå α3 êîíñòàíòà. Íàêîíåö, â ñëó÷àå, êîãäà ν = −k − 1, k = 0, 1, 2, . . . , â I è IIW KBW KBîáëàñòè Y = Y−, −i , à â III îáëàñòè Y = Y+, −i . Ïðè ýòîì âáëèçèη0√y0 = α3 (D−k−1 (v) − 2π(−i)k Dk (−iv)/k!).√Ïîïðàâêày1â (2.131) èìååò âèä2 2 ib(1) 4ν 1 dy0 2+−+ vy0 .y1 = − v −3233 dv32252.5.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîéñïåêòðàëüíîé çàäà÷è.
Âû÷èñëåíèå ïîïðàâêè âñïåêòðàëüíîé ñåðèèÏåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ(2.117) ïðè±i.z,íå ëåæàùèõ â ìàëûõ îêðåñòíîñòÿõ îñîáûõ òî÷åêz=Çàïèøåì óðàâíåíèå (2.117) â âèäå~2d2 Y~2 +Q+~Q+OY = 0,01R2 (z)dz 2(2.132)ãäå(1)(1)(1)(1)(1)4a28~a[b1 z + b3 ]Q0 = 2+,R (z)R3 (z)Q1 = −(1)4a[b3 + ξk,` /a]R2 (z)+(1) (1)4~4~[−(b1 )2 + (b3 )2 + 2b1 b3 z](1)(1)+ 3 [(b1 )2 − (b3 )2 −+4R (z)R (z)(1) (1)(1)(1)−b1 b3 z + b1 z + b3 ].(2.133)Îòìåòèì, ÷òî ðÿä ñëàãàåìûõ â (2.133) áûë âêëþ÷åí âðÿ íà íàëè÷èå ïåðåä íèìè ìàëîãî ïàðàìåòðà~,Q0 , Q1 íåñìîò-ïîñêîëüêó îíè îá-ëàäàþò áîëåå ñèëüíûì ðîñòîì âáëèçè îñîáûõ òî÷åê ïî ñðàâíåíèþñ äðóãèìè ñëàãàåìûìè.  ðåçóëüòàòå îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ÂÊÁïðèáëèæåíèÿ ðàñøèðÿåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ áëèæå ê îñîáûì òî÷êàì.ÑïðàâåäëèâàËåììà 2.19.Y±W KB= c±ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿpz+iR(z)z−i∓(a/~−ν+O(~))(2.132)(1)èìåþò âèä(1)i(b z − b1 ) exp ± 31+R(z)(1)(1)(1) −(b(1)~2 1 z + b3 ) ± i(b3 z − b1 )(2ν + 1)+~+O 2.2aR(z)R (z)Çäåñü c± êîíñòàíòû.(2.134)226ÏóñòüKBΦW(z) = E(z)Y±W KB (z),±ãäå ôóíêöèÿEîïðåäåëåíàôîðìóëîé (2.116).
Òîãäà â ñèëó (2.134)(1)KBΦW±2a/~−ν+O(~)= c± (z ∓ i)(1)ν+O(~)(z ± i)(1)(1)(1)b ∓ ib3 ) exp − 11+z∓i(1)~[±i(2ν + 1)(b3 z − b1 ) − (b1 z + b3 )]~2 ++O 2.2aR(z)R (z)Ôîðìóëû (2.134), (2.135) äëÿY±W KBèKBΦW±(2.135)ïîçâîëÿþò çàïèñàòüàñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà√~îò îñîáûõ òî-z = ±i, à òàêæå íàéòè ôîðìóëû ñâÿçè ìåæäó íèìè. Ïîëîæèì√√r = (z − i)/ ~, s = (z + i)/ ~. Ðàñêëàäûâàÿ âõîäÿùèå â (2.134),÷åê(2.135) ôóíêöèè ïî ôîðìóëå Òåéëîðà, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ëåììå.Ëåììà 2.20.Ñïðàâåäëèâû àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ(i)√Y±W KB = c± r±(a/~−ν)+1/2 e±(iar/(2√~)−b(1) /(2 ~r)−ar2 /8)1∓√~×iar3 b(1) r iνr (2ν + 1)b(1) √ ir b(1) ~×− ~ ++O(~r6 )+O 2 +−++24824ar4 4arr1 +O ~ ln,(2.136)~√ √ 2a/~−νKBν 2a/~−ν −b(1) /( ~r)ΦW~)(2i)re1−=c(++√~(ν + 1)b(1) ~1 −iνr ++ O(~r6 ) + O 2 + O ~ ln,2ar~r√√ νW KB2a/~−ν ib(1) /2 ν −iar/ ~+ar2 /4Φ−= c− ( ~) (2i)er e1+√ iar3r νb(1) ~1 (1)+ ~+ (2iν − b ) ++ O(~r6 ) + O 2 + O ~ ln,1242ar~r√ãäå ~ | r | ~−1/6 , à√(1)(i)c± = c± ( ~)±(a/~−ν)+1/2 (2i)∓(a/~−ν)+1/2 e∓ib /4 ;Y±W KB=√√(−i) ∓(a/~−ν)+1/2 ±(ias/(2 ~)+b(1) /(2 ~s)+as2 /8) c± se1(2.137)∓√~×227ias3 b(1) s iνs (2ν + 1)b(1) √ is b(1) ~++−+ ~ −+O(~s6 )+O 2 +×24824as4 4ass1 ,(2.138)+O ~ ln~√√ νKB2a/~−ν −ib(1) /2 ν ias/ ~+as2 /4ΦW=c(~)(−2i)ese1−++√ias3s νb(1) ~1 + (2iν + b(1) ) −+ O(~s6 ) + O 2 + O ~ ln,− ~1242as~s√ √ 2a/~−νW KBν 2a/~−ν −b(1) /( ~s)Φ−= c− ( ~)(−2i) se1+√(ν + 1)b(1) ~~1 +iνs −+ O(~s6 ) + O 2 + O ~ ln,2as~s√ãäå ~ | s | ~−1/6 , à(−i)c±√ ∓(a/~−ν)+1/2(1)= c± ( ~)(−2i)±(a/~−ν)+1/2 e∓ib /4 .Çàìåòèì, ÷òî âáëèçè îñîáûõ òî÷åêz =ièz = −i(2.139)ïðèν ∈Zèìååòñÿ ëèøü îäíî ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ðåøåíèå (2.113), êîòîðîåïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà, è ýòè ðåøåíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ äðóã â äðóãà ïðè çàìåíå â ôîðìóëàõ (2.119), (2.130) ïàðàìåòðàiíà−i.Ñëåäîâàòåëüíî, òàêèì æå ñâîéñòâîì äîëæíà îáëàäàòü èëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèé (2.135), ñ êîòîðîé ñîãëàñóþòñÿ àñèìïòîòèêè âáëèçè îñîáûõ òî÷åê.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
