Диссертация (1136178), страница 28
Текст из файла (страница 28)
 ñèëóôîðìóë äëÿ êâàíòîâûõ ñðåäíèõ (1.195) b1 , b3 áóäåì èñêàòü â âèäåñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå (1.31), ãäåp(1)b1 = 4 a(a + ~)+4~b1 +B +O(~2 ),b3 = −2~b3 +O(~2 ),(1)Ñ ó÷åòîì (2.153), (1.31), (1.66) èìååì:pb1 = b̃ a(a + ~),~ → 0.(2.153)(1)b̃ = b + 4 + 4~b1 /a + O(~2 ),~ → 0.ãäå(2.154)Êðîìå òîãî, ïîëîæèì(1)ξk,` = a(a + ~)(b̃ + 3/2) + ~ξk,` + O(~2 ),×èñëà(1)(1)(1)b1 , b3 , ξk,`~ → 0.(2.155)áóäóò îïðåäåëåíû íèæå ïðè âû÷èñëåíèè ïîïðà-âîê â êâàíòîâûõ ñðåäíèõ è ñîãëàñîâàíèè àñèìïòîòèê. Ó÷èòûâàÿ(1.28), à òàêæå îòáðàñûâàÿ â ðàçëîæåíèÿõ (2.153), (2.155) ñëàãàåìûåO(~2 ),ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþhi dΦd2 Φ(1)32+~ R(z) 2 + 2~ −(2a − ~)z − b1 z + 2(2a − ~ + 2~b3 )z + b1dzdz2234h(1)+2 a(2a − ~)z 2 + 2b1 az − 2a(a + ~)(b̃ + 3/2) − 2~ξk,` + 2a~−i(1)−4~ab3 Φ = 0.(2.156)R(z) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (1.40). ( Äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé èíäåêñû k, ` ó ôóíêöèè Φ(z) áóäóò íèæå îïóùåíû ).
Óðàâíå-Çäåñüíèå (2.156) èìååò ÷åòûðå îñîáûå òî÷êè (1.39), à òàêæå îñîáóþ òî÷êóz 5 = ∞.Òàê êàê âñå ïÿòü îñîáûõ òî÷åê ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè, òî(2.156) åñòü óðàâíåíèå êëàññà Ôóêñà.Ôóêñîâû óðàâíåíèÿ ñ òðåìÿ îñîáûìè òî÷êàìè ïîðîæäàþò õîðîøî èçâåñòíûå ñèñòåìû êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.Äëÿ óðàâíåíèÿ (2.156) ïîäîáíîé òåîðèè íå ñóùåñòâóåò.Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.156) â âèäå (0.12), ãäåôóíêöèÿp ∈ J,àGçàäàåòñÿ ôîðìóëîé (0.11). Ïîä äåéñòâèåì îòîá-0ðàæåíèÿ (0.12) îïåðàòîðû00S 1, S 2, S 3ïðåîáðàçóþòñÿ â îïåðàòîðûŜ1 ,Ŝ2 , Ŝ3 : J → J , êîòîðûå èìåþò âèä (1.47) (1.49), à óðàâíåíèå (2.156) â óðàâíåíèå3 2 1 23(1)(1)Ŝ1 + Ŝ2 + b1 Ŝ1 − 2~b3 Ŝ3 − a(a + ~)(b̃ + ) − ~ξk,` p = 0.222(2.157)ÏóñòüΦW KB ÂÊÁ - ïðèáëèæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ(2.156).
Òîãäà àíàëîãè÷íî ëåììå 1.9. äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè öèêëðàñïîëîæåí äîñòàòî÷íî áëèçêî îò íóëÿ, òî ïðè ïîäñòàíîâêåγΦW KB0â (2.157) äîïîëíèòåëüíûå ñëàãàåìûå (1.55), âûçâàííûå çàìåíîé00S 2, S 3ìàëûéS 1,Ŝ1 , Ŝ2 , Ŝ3 , ïðè ` → ∞ âíîñÿò â íåâÿçêó ýêñïîíåíöèàëüíî−∞ W KBâêëàä O(`Φ) ïî ñðàâíåíèþ ñ íåâÿçêîé O(`−2 ΦW KB )íàâ ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (2.156). Ñëåäîâàòåëüíî, âìåñòî àñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.157)`+2ïîðÿäêà â ïðàâóþ ÷àñòü (0.12)ìîæíî ïîäñòàâèòü àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà (2.156).2353.4.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîéñïåêòðàëüíîé çàäà÷èÏðè ïîñòðîåíèè àñèìïòîòèêè ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàåò ïîâåäåíèå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.29) âáëèçè îñîáûõ òî÷åê. Ïðèξ = ξk,`òî÷íûìè ðåøåíèÿìè ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (1.29), (1.30) ÿâëÿþòñÿìíîãî÷ëåíû.
Èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè â îñîáûõ òî÷êàõ(1.39) ðàâíû íóëþ. Íàðÿäó ñ òàêîé çàäà÷åé ðàññìîòðèì ìíîãîòî÷å÷íóþ ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó. Îíà ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ÷èñåëξk,`(ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé), ïðè êîòîðûõ ó óðàâíåíèÿ (1.29) ñóùåñòâóþò íåíóëåâûå àíòèãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè êîòîðûõ â îñîáûõ òî÷êàõ (1.39) ðàâíû íóëþ.p(z) àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå òàêîé ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è, òî ïðè ïîäñòàíîâêå p(u) âïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (0.12) ïîëó÷àåì ìíîãî÷ëåí Φ(z) àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.29) èç ïðîñòðàíñòâà P` . Óñëîâèå íîðìèðîâêè (1.30) äëÿ Φ(z) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñîäåðæàùèéñÿ â p(u)ïðîèçâîëüíûé ìíîæèòåëü.
Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ξk,` è ìíîãî÷ëåíΦ(z) ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì èñõîäíîé ñïåêòðàëüíîéÅñëè ÷èñëîξk,`è ôóíêöèÿçàäà÷è (1.29), (1.30).Ïåðåéäåì ê íàõîæäåíèþ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ(2.156). Âûïîëíèì ïîäñòàíîâêó (1.62), ãäå√E(z) = [(z − z 1 )(z − z 2 )](a+b1 /× [(z − z 3 )(z − z 4 )](a−b1 /√6−~/2)/(2~)6−~/2)/(2~)(z − z 2 )(z − z 3 )(z − z 1 )(z − z 4 )×√b(1)3 / 3.(2.158)Òîãäà óðàâíåíèå (2.156) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó22d Y~2dz(1)−(1)8ab3 ~(z 2 − 1)(z 2 + (b + 4)z + 1)Q0 (z) +−+R(z)R2 (z)4ξk,` ~2+O ~+O~2R(z)Y = 0,(2.159)236Q0 (z) = a(a+~)(b̃2 +4b̃+6)(z−1)2 Λ(z)R−2 (z), ìíîãî÷ëåíû R(z),Λ(z) çàäàíû ôîðìóëàìè (1.40), (1.73), à ïàðàìåòð γ = 2b̃/(b̃2 +4b̃+6).Ïðèðàâíèâàÿ Q0 (z) ê íóëþ, íàõîäèì, ÷òî óðàâíåíèå (2.159) ïîìèìî òî÷êè ïîâîðîòà z = 1 êðàòíîñòè 2 èìååò òàêæå ïðîñòûå òî÷êèãäåïîâîðîòà (1.75).
Îíè, êàê è îñîáûå òî÷êè (1.39), ëåæàò íà âåùåñòâåííîé îñè è óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì (1.76).Âíå ìàëûõ îêðåñòíîñòåé òî÷åê ïîâîðîòà ñïðàâåäëèâû ÂÊÁïðèáëèæåíèÿ äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2.159). Âáëèçè òî÷åê ïîâîðîòàz−, z+àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ (2.159) âûðàæàþòñÿ ÷åðåçôóíêöèè Ýéðè, à âáëèçèz = 1 ÷åðåç ôóíêöèè ïàðàáîëè÷åñêî-ãî öèëèíäðà. Óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿËåììà 2.25.(1)×èñëà ξk,` â ôîðìóëå(2.155)p1(1)ξk,` = −a (b + 6)(b + 7)(k + ),2èìåþò âèäk = 0, 1, 2, . . .
.(2.160)Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2.25. àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ëåììû1.15.Âûïèøåì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è. ×èñëàξk,`çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè (2.155), (2.160), à àíòè-ãîëîìîðôíàÿ ôóíêöèÿàñèìïòîòèê. À èìåííî,p(z) ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ñîãëàñîâàíèÿKBp(z) = ΦW(z) ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì−ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.156) íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè çà èñêëþ÷åíèåì ìàëûõ îêðåñòíîñòåé òî÷åê ïîâîðîòàîòðåçêà[z − , z + ],z+, z−, 1, à òàêæåâäîëü êîòîðîãî ïðîâåäåí ðàçðåç. Óêàçàííîå ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (1.124), ãäåKBΦW−,0 (z)√c− (z − 1)k (r0 (z))−k−1/2(`+1)(1+b̃/ 6)/4= p(r1 (z)r2 (z))×4(z − z − )(z − z + )√(`+1)(1−b̃/ 6)/4× (r3 (z)r4 (z))r2 (z)r3 (z)r1 (z)r4 (z)√b(1)3 / 3.(2.161)237k = 0, 1, 2, .
. . , c− êîíñòàíòà, ìíîãî÷ëåí Λ(z) èìååò âèä(1.73), à rj (z), j = 0, 1, 2, 3, 4, îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî (1.78) (1.82).Çäåñü ôîðìóëå (2.161) â ñòåïåííûõ ôóíêöèÿõ áåðóòñÿ ãëàâíûå çíà÷åíèÿ.Äàëåå, âáëèçè òî÷êè ïîâîðîòàãäåY (z)çàäàåòñÿ ôîðìóëîéα1Y (z) ∼ k/2 Hk2iu− √2z = 1 ôóíêöèÿ p(z) = E(z)Y (z),2Hk0√2i ~βαiu√ eu /4 − (k+1)/2122iu√2(1)r+ 4b32z−1u= √ ,~βiu√23#iu+ √ Hk2iu√ −2 )iub+6iuiu− √ Hk √×Hk0 √b+7222×euÇäåñü("/4β=√.(2.162)1p,422a b̃ + 5b̃ + 6α1 êîíñòàíòà. Íàêîíåö, âáëèçè òî÷åê ïîâîðîòà z ± ôóíêöèÿ p(z) =E(z)Y± (z), ãäå2/3τ (z − z ± )Y± (z) ∼ α1,± Ai(± ± 2/3).~Çäåñüα1,± , τ± êîíñòàíòû. Àñèìïòîòèêè ñîãëàñóþòñÿ ìåæäó ñîáîéíà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà3.5.~1/2îò òî÷åêz±è ïîðÿäêà~3/8îò òî÷êè1.Ôîðìóëû äëÿ êâàíòîâûõ ñðåäíèõ.
Èòîãîâàÿ òåîðåìàÂîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè íîðìû è êâàíòîâûõñðåäíèõ îñíîâíîé âêëàä â àñèìïòîòèêó èíòåãðàëîâ âíîñèò ìàëàÿz = z = 1 ( ñì. 2 ãëàâû 1.). Ðàçëîæèì çàäàííóþôóíêöèþ E(z) âáëèçè z = 1 è ïîäñòàâèì â (1.25)îêðåñòíîñòü òî÷êèôîðìóëîé (2.158)ïðîèçâåäåíèå ýòîãî ðàçëîæåíèÿ íà (2.162).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì,÷òî åñëè âõîäÿùàÿ â (2.162) êîíñòàíòàα1èìååò âèä√√√ (`+1)b̃/√ p4α1 = π (b + 6)(b + 7)2+ 324 √√√ −b(1)3 / 32− 3×238×2(`+3+2k)/4 (Σ0 (b + 4))−1/2 (1 + O(~)) ,(2.163)Σ0 (b) îïðåäåëåíà ôîðìóëîé (1.181), òî óñëîâèå (1.192) áóäåò âûïîëíåíî. Òàêèì îáðàçîì, íàéäåí âõîäÿùèé â p ìíîæèòåëü α1 .ãäå×òîáû çàâåðøèòü ïîñòðîåíèå àñèìïòîòèêè, îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü(1)b1çíà÷åíèÿè(1)b3.
Îíè çàäàþòñÿ êâàíòîâûìè ñðåäíèìè (2.150).Σj (b) ( j = 1, 2, 3Îïðåäåëèì ôóíêöèè) ôîðìóëàìè (1.200), (1.179),(1.201). ÑïðàâåäëèâàËåììà 2.26.Ïðè ~ → 0 èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà0(S 1 Φk,` , Φk,` )P` = a −~ Σ1 (b + 4)+ ~ + O(~2 ),2 Σ0 (b + 4)((2.164)"rb + 6 Σ3 (b + 4)Σ2 (b + 4) 3(1)− − 2b3−Σ0 (b + 4) 2b + 7 Σ0 (b + 4)#)rb+6b+6−−(2k + 1)+ O(~2 ).(2.165)b+7b+70(S 3 Φk,` , Φk,` )P` = ~ ðåçóëüòàòå ñðàâíåíèÿ ðàçëîæåíèé (2.153) ñ (2.150), (2.164),(2.165) íàõîäèì ÷èñëà(1)b1(1)b3=1Σ1 (b + 4)=1−,2Σ0 (b + 4)3Σ2 (b + 4)−2Σ0 (b + 4) 4(2.166), rb + 6 Σ3 (b + 4)− 2k − 1 −b + 7 Σ0 (b + 4)b+6 1−+.(2.167)b+7 2Íàêîíåö, ñ ó÷åòîì (2.166), (2.154), (2.160) ôîðìóëà (2.155) ïðèíèìàåò âèäξk,`112a22= a (b + ) +2`15 p1b+− (b + 6)(b + 7)(k + )−222Σ1 (b + 4)−Σ0 (b + 4)+ O(`−2 ),(2.168)239` → ∞,k = 0, 1, 2, . .
. .Òåîðåìà 2.5.ÑïðàâåäëèâàÏóñòü ÷èñëî ξk,` îïðåäåëåíî ôîðìóëîéãî÷ëåí Φk,` (z) ôîðìóëîé(0.12),(2.168),à ìíî-ãäå p(u) àñèìïòîòè÷åñêîå ðå(1)øåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è, òàêîå, ÷òî α1 , b1 ,(1)b3 èìåþò âèä (2.163), (2.166), (2.167) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ξk,`è Φk,` (z) ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì èàñèìïòîòè÷åñêîé ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé çàäà÷è (1.29), (1.30) ïðè` → ∞ â ïðîñòðàíñòâå P` . Áîëåå òî÷íî, åñëè ξk,` èìååò âèä(2.168), òî ìíîãî÷ëåí Φk,` (z) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.29) ñòî÷íîñòüþ O(`−2 ) ñ îöåíêîé íåâÿçêè â íîðìå P` , à òàêæå óñëîâèþíîðìèðîâêè (1.30) ñ òî÷íîñòüþ O(`−1 ). çàêëþ÷åíèå íàéäåì àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿçàäà÷è (0.28), (0.29), ðàñïîëîæåííûå âáëèçè âåðõíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ, îáðàçóþùèõñÿ âîêðóã ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéíåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà.Ëåììà 2.27.Ïðè ~ → 0 ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàp0((S 2 )2 Φk,` , Φk,` )P` = ~a{− (b + 6)(b + 7)(2k + 1) − (b + 7)+Σ1 (b + 4)} + O(~2 ),(2.169)Σ0 (b + 4)p= −~a{− (b + 6)(b + 7)(2k + 1) − (b + 6)++(b + 7)0((S 3 )2 Φk,` , Φk,` )P`+(b + 6)Σ1 (b + 4)} + O(~2 ).Σ0 (b + 4)(2.170)Ïîäñòàâèì ðàçëîæåíèÿ (2.169), (2.170), (2.164) â ôîðìóëó(2.151).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
