Диссертация (1136178), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ïîñêîëüêó ïðè çàìåíå âôîðìóëàõ (2.135)KBi íà −i ôóíêöèè ΦW±ïðåîáðàçóþòñÿ äðóã â äðó-ãà, òî óêàçàííîå ñâîéñòâî ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ëèøü â äâóõ ñëó÷àÿõ:ëèáî êîãäàÇäåñüKBKB(−)KBKBΦ(+) = ΦW+ ΦW, ëèáî êîãäà Φ= ΦW− ΦW.+−+−KBΦW±çàäàþòñÿ ðàâåíñòâîì (2.135), â êîòîðîìc+ = c− = c.(2.140)×òîáû çàâåðøèòü ïîñòðîåíèå ãëîáàëüíîãî àñèìïòîòè÷åñêîãîðåøåíèÿ ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è îñòàåòñÿ èçó÷èòü âîç-W KBY (±) = Y+W KB ±Y−W KB ñ Y−,±i ïðèW KBY+,k = 0, 1, 2, .
. . .±i ïðè ν = −k − 1,ìîæíîñòü ñîãëàñîâàíèÿ ôóíêöèéν = k,k = 0, 1, 2, . . . ,è ñ228√Èç ôîðìóë (2.136), (2.138) âûòåêàåò, ÷òî ïðè(1)(i)Y (±) = ±c− r−a/~+ν+1/2 eb√à ïðè~ | r | 1√√√/(2 ~r)−iar/(2 ~)1+O~r−1 + O(r2 ) ,(2.141)~ | s | 1(−i)Y (±) = c+ s−a/~+ν+1/2 eb(1) /(2√√√~s)+ias/(2 ~)1+O~s−1 + O(s2 ) .(2.142)Äàëåå èç (2.119), (2.130) ñëåäóåò, ÷òî ïðè(i) ±(a/~−ν)+1/2 ∓(b(1) /(2~ζ)−iaζ/2)W KBY±,= c̃± ζie1 | ζ | ~−1/21+O ζ−1 2 + O(~ζ ) ,(2.143)à ïðè1 | η | ~−1/2(−i)±(a/~−ν)+1/2 ∓(bW KBeY±,−i = c̃± ηÏîñêîëüêór=√~ ζ,às=(1) /(2~η)+iaη/2)1 + O η −1 + O(~η 2 ) .(2.144)√~η ,òî â ðåçóëüòàòå ñðàâíåíèÿ ðàçëî-æåíèé (2.141), (2.142) ñ (2.143), (2.144) íàõîäèì, ÷òî ïðèk = 0, 1, 2, .
. .ñîãëàñîâàíèåäëÿ ñîãëàñîâàíèÿY (±)ñY (±)W KBY−,ièñW KBY+,−i íå âîçìîæíî, àïðè ν = k , k = 0, 1, 2, . . .W KBY+,iW KBY−,−iν = −k − 1,èñëåäóåò ïîëîæèòü√(i)(i)c̃− ( ~)a/~−ν−1/2 = ±c− ,Çäåñü êîíñòàíòû(i)c−è(−i)c+√(−i)(−i)c̃− ( ~)a/~−ν−1/2 = c+ .ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ðàâåíñòâàìè(2.137), (2.139), (2.140), à ñîãëàñîâàíèå ïðîèñõîäèò ïðè~1/6 .r è s ïîðÿäêàÓ÷èòûâàÿ (2.121), (2.115), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ëåììåËåììà 2.21.(1)×èñëà ξk,` â ôîðìóëå(2.112)(1)èìåþò âèä ξk,` = 2ak ,k = 0, 1, 2, . . . .Òàêèì îáðàçîì, àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è ïðèb(1) 6= 0ïîñòðîåíû (êîíñòàíòàíèæå èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè).cáóäåò íàéäåíà2292.6.Âû÷èñëåíèå íîðìû è êâàíòîâûõ ñðåäíèõ.
ÈòîãîâàÿòåîðåìàÏóñòü ìíîãî÷ëåíΦ± (z)çàäàí ôîðìóëîé (0.12), ãäåp± (u)àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è. Âû÷èñëèì àñèìïòîòèêó íîðìûΦ± (z)â ïðîñòðàíñòâåP` .Åñëè ïîäñòà-âèòü ãëàâíûé ÷ëåí ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ (2.135) â ôîðìóëó (1.25) äëÿñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ áóäåò ñîäåðæàòüexp (`Ω± (z, z)),ãäåΩ± (z, z) = ln (z ∓ i) + ln (z ± i) − ln(1+ | z |2 ).ÑïðàâåäëèâàËåììà 2.22.Ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì ôóíêöèé Ω± (z, z) äîñòèãàåò-ñÿ ïðè z = ∓i ñîîòâåòñòâåííî è ðàâåí ln 2.Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíîé âêëàä â íîðìó àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèép± (z)ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è âíîñÿò ìàëûå√(äèàìåòðà ïîðÿäêàËåììà 2.23.~) îêðåñòíîñòè òî÷åêÏðè ν = k,z=ièz = −i.k = 0, 1, 2, .
. . ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(1)kp± (z)k2P` =| c |2 ~k 2`−k+1 a−k k!e−b3 (1 + O(~)), ~ → 0.Çäåñü êîíñòàíòà c îïðåäåëåíà ñîîòíîøåíèÿìè(2.140).Àíàëîãè÷íî 2 ãëàâû 1 è 1 ãëàâû 2 äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî íîðìûìíîãî÷ëåíîâkΦ± (z)kP`áëèçêè ê íîðìàì ñîîòâåòñòâóþùèõ àñèìï-òîòè÷åñêèõ ðåøåíèé ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èkp± (z)kP` .Îòìåòèì, ÷òî â ýòèõ îöåíêàõ ó÷èòûâàþòñÿ ïîãðåøíîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè ñîãëàñîâàíèè àñèìïòîòèê âáëèçè îñîáûõ òî÷åê.  ðåçóëüòàòå, ïîëó÷àåì, ÷òî åñëè(1)2−(`−k+1)/2 ak/2 eb3√c=k!~k/2/2(1 + O(~)).(2.145)230òî áóäåò ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.192). Òàêèì îáðàçîì, íàéäåí âõîäÿùèé âΦ(±)ìíîæèòåëüc.ÑïðàâåäëèâàÏóñòü ` → ∞, ïàðàìåòð b(1) 6= 0, ÷èñëîÒåîðåìà 2.3.ξk,` = −a2 + 4a2 k/` + O(`−2 ),k = 0, 1, 2, .
. . ,à ìíîãî÷ëåíû Φk,`,± (z) îïðåäåëåíû ôîðìóëîé(0.12),(2.146)ãäå p± (u) ðå-øåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è, òàêîå, ÷òî c èìååòâèä(2.145).(1.29)Òîãäà ìíîãî÷ëåíû Φk,`,± (z) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþñ òî÷íîñòüþ O(`−2 ) ñ îöåíêîé íåâÿçêè â íîðìå P` , à òàêæåóñëîâèþ íîðìèðîâêè(1.30)ñ òî÷íîñòüþ O(`−1 ).Èç ëåììû 2.17. âûòåêàåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ïàðàìåòðξk,`à ÷èñëàb(1) = 0,èìåþò âèä (2.146), ñóùåñòâóåò öåëîå îäíîïàðàìåòðè÷å-ñêîå ñåìåéñòâî àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâàP` ,îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé (0.27).×òîáû çàâåðøèòü ïîñòðîåíèåΦk,` (z)âáëèçè íèæíèõ ãðàíèöñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ, îñòàåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèåb(1) , ïðè êî-òîðîì èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà (2.4), (2.111). Âû÷èñëåíèå âõîäÿùèõ â(2.4) êâàíòîâûõ ñðåäíèõ ïðîèçâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî âû÷èñëåíèþ íîðìû.
Ïðè ýòîì ïîïðàâêè ïîðÿäêà~1/2è~3/2â êâàíòîâûõ ñðåäíèõïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èíòåãðàëû îò íå÷åòíûõ ôóíêöèé â ñèììåòðè÷íûõ ïðåäåëàõ è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíû íóëþ. ÑïðàâåäëèâàËåììà 2.24.Ïðè ~ → 0 èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà(1)b1 = −2~b1 + O(~2 ),(1)b3 = −2~b3 + O(~2 ).(2.147)Ñðàâíåíèå ôîðìóë (2.147) ñ (2.111) ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâàì(1)= 0, b3 = 0.Ñôîðìóëèðóåì èòîãîâóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 2.4.Ïóñòü ` → ∞, à ÷èñëî ξk,` è îäíîïàðàìåòðè÷å-ñêîå ñåìåéñòâî ìíîãî÷ëåíîâ Φk,` (z) îïðåäåëåíû ôîðìóëàìèè(0.27).(1)b1(2.146)Òîãäà ξk,` è Φk,` (z) ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ñîáñòâåí-íûì çíà÷åíèåì è àñèìïòîòè÷åñêîé ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé çàäà÷è231(1.29), (1.30)â ïðîñòðàíñòâå P` , ïðè÷åì ÷èñëà ξk,` ðàñïîëîæåíûâáëèçè íèæíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ.
Áîëåå òî÷íî, åñëè ξk,` èìååò âèäóðàâíåíèþ(1.29)(2.146),òî ìíîãî÷ëåíû Φk,` (z) óäîâëåòâîðÿþòñ òî÷íîñòüþ O(`−2 ) ñ îöåíêîé íåâÿçêè â íîðìåP` , à òàêæå óñëîâèþ íîðìèðîâêè(1.30)ñ òî÷íîñòüþ O(`−1 ). çàêëþ÷åíèå íàéäåì àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿçàäà÷è (0.23), (0.24) âáëèçè íèæíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ. Ïîñêîëüêó ïðè~→00(S22 Φk,` , Φk,` )P`= a2 − 2ak~ + O(~2 ),(2.148)òî ïîäñòàâëÿÿ (2.5), (2.146), (2.148) â ôîðìóëó (2.2), ïîëó÷àåì ñåðèþàñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (0.26). 3.Àñèìïòîòèêà ñïåêòðà îïåðàòîðà òèïàÕàðòðè ñïåöèàëüíîãî âèäà âáëèçè âåðõíèõãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ3.1.Ââåäåíèå ê 3Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (0.28),(0.29) äëÿíåëèíåéíîãî îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè âîñöèëëÿòîð (0.15),~.~ > 0, ε > 0L2 (R2 ),ãäåH0 ìàëûå ïàðàìåòðû, ïðè÷åìÄëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäàòîãî ïîòåíöèàë ñàìîäåéñòâèÿðàâíûì (0.30), ãäåB äâóìåðíûéW (q, q 0 )ε = ~2 .εÊðîìåâ óðàâíåíèè (0.28) ïîëîæèì êîíñòàíòà [72].Îïåðàòîð òèïà Õàðòðè ñ ïîòåíöèàëîì ñàìîäåéñòâèÿ âèäàW =W (q1 −q10 , q2 −q20 ) ( ñì.
ôîðìóëó (0.30)), äëÿ êîòîðîãî â äàííîì ïàðàãðàôå áóäóò íàéäåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âáëèçèâåðõíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ ( ñì. ôîðìóëó (0.31)), ìîæåò âîçíèêàòü ïðè èçó÷åíèè âçàèìîäåéñòâèé â ïëîñêèõ êâàíòîâûõðåøåòêàõ.2323.2.Êâàíòîâîå óñðåäíåíèå è êîãåðåíòíîåïðåîáðàçîâàíèåÇàìåòèì, ÷òî îïåðàòîð â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (0.28) ìîæíîH0 + ~2 V (q1 , q2 ), ãäå V (q1 , q2 ) - ìíîãî÷ëåí 4 ñòåïåíè2îò q1 , q2 , êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî èíòåãðàëüíî çàâèñÿò îò |ψ| . Ïðè-çàïèñàòü â âèäåìåíèì ê (0.28) êâàíòîâóþ âåðñèþ ìåòîäà óñðåäíåíèÿ ( ñì.
2 ãëàâû1 ). ñëó÷àå çàäà÷è (0.28), (0.29) îïåðàòîðñòàâëåí â âèäåV0 = f (S1 , S2 , S3 ) + b0 ,V0ìîæåò áûòü ïðåä-ãäå31f (S1 , S2 , S3 ) = S1 2 + S2 2 + b1 S1 + b3 S3 ,22à êîíñòàíòûb1 , b3 , b0(2.149)èìåþò âèäb1 = 4(S1 ϕ, ϕ)H` + B,b3 = −2(S3 ϕ, ϕ)H` ,(2.150)37b0 = a(a+~)−((S2 )2 ϕ, ϕ)H` − ((S3 )2 ϕ, ϕ)H` +B(S1 ϕ, ϕ)H` . (2.151)22×èñëî a â (2.151) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (1.26).22 ðåçóëüòàòå íà ãèëüáåðòîâîì ïîäïðîñòðàíñòâå H` ⊂ L (R )ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé H0 , îòâå÷àþùèõ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ~(`+1), ãäå ` = 0, 1, 2, ... , ïîëó÷àåì ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó (1.21), (1.22).Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è (1.21), (1.22) îáîçíà÷èì ξ = ξk,` (k =0, 1, 2, . .
. ) è óïîðÿäî÷èì èõ ïî óáûâàíèþ. Ðàññìîòðèì ÷èñëî ` ïî−1ðÿäêà ~ . Òîãäà ñïåêòð èñõîäíîé çàäà÷è (0.28), (0.29) èìååò ñëåäóþùóþ àñèìïòîòèêóλ = ~(` + 1) + ~2 (ξk,` + b0 ) + O(~4 ).(2.152)Àñèìïòîòèêà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé äàåòñÿ ôîðìóëîé (1.23), ãäåϕk,` ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ çàäà÷è (1.21), (1.22),îòâå÷àþùàÿ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþξk,` .×òîáû ðåøèòü çàäà÷ó (1.21), (1.22) âîñïîëüçóåìñÿ êîãåðåíòíûìïðåîáðàçîâàíèåì (1.24). Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå çàäà÷è (1.21), (1.22) â233ϕk,` = I` (Φk,` (z)) .
Ïîñêîëüêó â ðåçóëüòàòå êîãåðåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.24) S1 , S2 , S3 ïðåîáðàçóþòñÿ â äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû 1 ïîðÿäêà (1.28), òî äëÿ Φk,` (z) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (1.29).Çäåñü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà ôîðìóëîé (2.149). Ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè óðàâíåíèÿ (1.29) íàçîâåì òàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ξk,` , ïðèâèäåêîòîðûõ ýòî óðàâíåíèå èìååò ïîëèíîìèàëüíîå ðåøåíèå â ïðîñòðàíñòâåP`.  ñèëó óíèòàðíîñòè êîãåðåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñïðàâåä-ëèâî ðàâåíñòâî (1.30).3.3.Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõñîáñòâåííûõ ôóíêöèéB â ïîòåíöèàëå (0.30)6 − 4. Ðàññìîòðèì óðàâ-Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äëÿ êîíñòàíòû√b>íåíèå (1.21), ãäå îïåðàòîð f (S1 , S2 , S3 ) èìååò âèä (2.149).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
