Диссертация (1136178), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Òîãäà â ñèëó (1.185), à òàêæå ñîîòíîøåíèé√~ 2R2 (x0 )dt dr√dz dz =,4a 3=∂| Hk (t+ir) |2 ,∂tHk0 (t+ir)Hk (t−ir)+Hk0 (t−ir)Hk (t+ir) =u2 Hk0 (t+ir)Hk (t−ir)+u2 Hk0 (t−ir)Hk (t+ir) == 2(t2 − r2 )∂∂| Hk (t + ir) |2 +4tr| Hk (t + ir) |2 ,∂t∂rðàâåíñòâî (2.99) ïðèíèìàåò âèäkp(z)k2P` =√α12 µ2π2k+2 R` (x~x0 23/41− √ √[t+24a43rr Z2θ(t, r){| Hk (t + ir) |2 −3 R20)2 2 3[x0 (t − 3tr2 ) − 3t(t2 + r2 )]] | Hk (t + ir) |2 +3211√√√~x20 3+ √ 3/4 {[x0 (−5 + 2 6 + )(t − 3tr2 ) + (2 − 6)2B(x0 )t]×32 a6√∂× | Hk (t + ir) |2 − 6x0 [(t2 − r2 ) | Hk (t + ir) |2 +∂t√∂∂+2tr| Hk (t + ir) |2 ] + 6B(x0 ) | Hk (t + ir) |2 }}dt dr (1 + O(~)).∂r∂t(2.100)√ ôîðìóëå (2.100) ñëàãàåìûå ïîðÿäêà~ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èíòåãðàëû îò íå÷åòíûõ ôóíêöèé â ñèììåòðè÷íûõ ïðåäåëàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè ðàâíû íóëþ.

Ëåììà äîêàçàíà.Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (2.75). Òîãäà àíàëîãè÷íî Ÿ2 ïåðâîékN (z)kP`ãëàâû äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî íîðìàñðàâíåíèþ ñýêñïîíåíöèàëüíî ìàëà ïîkp(z)kP` . Ó÷èòûâàÿ äàëåå ñîîòíîøåíèÿ (1.131), (1.136),(2.96), à òàêæå íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî, ïîëó÷àåì, ÷òî àñèìïòîòèêà íîðìû ìíîãî÷ëåíàkΦ(z)kP`Φ(z)α1 µ= √ k/2+1π2(R(x0 ))`/2èìååò âèär42(Σ0 (k))1/2 (1 + O(~)) ,3~ → 0.(2.101)Çäåñüµ, Σ0 (k)çàäàíû ôîðìóëàìè (2.58), (2.97).Ïîëîæèìα1 =√r q4 3π21+k/21 + x20 exp22` +(1)b1 x01++x20× (1 + O(~)) .(1)b3!(Σ0 (k))−1/2 ×(2.102)Òîãäà áóäåò ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.192).

Òàêèì îáðàçîì, íàéäåíâõîäÿùèé â ðàçëîæåíèå (2.59) ìíîæèòåëü1.7.Ôîðìóëû äëÿ êâàíòîâûõ ñðåäíèõ. Èòîãîâàÿ òåîðåìà×òîáû çàâåðøèòü ïîñòðîåíèåíèÿα1 .(1)b1è(1)b3Φ(z)îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü çíà÷å-. Îíè çàäàþòñÿ êâàíòîâûìè ñðåäíèìè (2.4). Âû÷èñëå-íèå êâàíòîâûõ ñðåäíèõ ïðîèçâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî âû÷èñëåíèþ íîð-212ìû. Îñíîâíîé âêëàä â àñèìïòîòèêó èíòåãðàëîâ òàêæå âíîñèò ìàëàÿîêðåñòíîñòü òî÷êèËåììà 2.14.z = z = x0 .ÑïðàâåäëèâàÏðè ~ → 0 èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà1 − x20 1 − x20 (1)2x0 (1)8ax0+ ~{b −b+=1 + x201 + x20 1 + x20 11 + x20 30b1 = 4(S 1 Φk,` , Φk,` )P`8x04x0 Σ1 (k)√−} + O(~2 ),(2.103)221 + x06(1 + x0 )Σ0 (k)04a2x02x0 (1) 1 − x20 (1)b3 = 4(S 3 Φk,` , Φk,` )P` =++ ~{b −b1 + x201 + x20 1 + x20 31 + x20 1++41 − x202(1 − x20 )Σ1 (k)√−} + O(~2 ).221 + x06(1 + x0 )Σ0 (k)(2.104)Çäåñü ôóíêöèÿ Σ1 (k) çàäàíà ôîðìóëîéZΣ1 (k) =θ(t, r)(t2 + r2 ) | Hk (t + ir) |2 dt dr.R2 ðåçóëüòàòå ñðàâíåíèÿ ðàçëîæåíèé (2.13) ñ (2.103), (2.104) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå(1)b1è(1)b3:2x0 (1) 1 − x20 (1)2Σ1 (k)√b+b=4−.131 + x201 + x206Σ0 (k) ñèëó (2.105) êîýôôèöèåíòû(1)b1x1,(1)b3ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå2x02Σ1 (k)8(1 − x20 )x1√=4−+,1 + x20(1 + x20 )26Σ0 (k)(1)b3ãäå(1)b1(2.105)1 − x202Σ1 (k)16x0 x1=−,4− √21 + x0(1 + x20 )26Σ0 (k)(2.106)(2.107) ïðîèçâîëüíàÿ âåùåñòâåííàÿ êîíñòàíòà, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò~ ê ÷èñëó x0 , îêîëî êîòîðîãî ëîêàëèçîâàíî ðå(1)øåíèå ( ò.å.

z ∼ x0 + ~x1 ). Îòìåòèì, ÷òî èìåííî ÷åðåç ÷èñëà b1 ,(1)KBb3 ôóíêöèÿ ΦWçàâèñèò îò âåëè÷èí Σ1 (k)/Σ0 (k), k = 0, 1, 2, . . . ,−õàðàêòåðèçóþùèõ ðåøåíèå âáëèçè òî÷êè x0 .ïîïðàâêó ïîðÿäêà213Íàêîíåö, ñ ó÷åòîì (2.105) ôîðìóëà (2.54) ïðèíèìàåò âèä(1)ξk,`√12Σ1 (k)= a 6 − 2 6(k + ) − √,26Σ0 (k)k = 0, 1, 2, . . . .ÑïðàâåäëèâàÒåîðåìà 2.2.ξk,`Ïóñòü ÷èñëî2a2= 4a +`2√2Σ1 (k)16 − 2 6(k + ) − √26Σ0 (k)+ O(`−2 ),(2.108)k = 0, 1, 2, . . . , à ìíîãî÷ëåí Φk,` (z) îïðåäåëåí ôîðìóëîé (0.12), ãäåp(u) ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è, òàêîå, ÷òî(1) (1)α1 , b1 , b3 èìåþò âèä (2.102), (2.106), (2.107) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2.75) ξk,` è Φk,` (z) ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì è àñèìïòîòè÷åñêîé ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé çàäà÷è (1.29), (1.30) ïðè ` → ∞ â ïðîñòðàíñòâå P` .Áîëåå òî÷íî, åñëè ξk,` èìååò âèä (2.108), òî ìíîãî÷ëåí Φk,` (z) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.29) ñ òî÷íîñòüþ O(`−2 ) ñ îöåíêîé íåâÿçêè â íîðìå P` , à òàêæå óñëîâèþ íîðìèðîâêè (1.30) ñ òî÷íîñòüþO(`−1 ).Äîêàçàòåëüñòâî.

Îöåíêà íåâÿçêè ïðîèçâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî âû÷èñëåíèþ àñèìïòîòèêè íîðìû. Îñíîâíîé âêëàä â àñèìïòîòèêó èí-z = z = x0òî÷êè z = x0 , ãäåòåãðàëà âíîñèò ìàëàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè. Ïîýòîìóäîñòàòî÷íî îöåíèòü íåâÿçêó âáëèçèîíà èìååòâèäR = O((z − x0 )4 p0 ) + O(~2 p0 ) = O(~2 (1 + (t2 + r2 )2 )p0 ).Çäåñüp0çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì (2.60), àÀñèìïòîòèêàkRkP`tèr ðàâåíñòâîì (1.184).ñîäåðæèò âìåñòî ôóíêöèèΣ0 (k), êàê áûëîâ (2.101), ñëåäóþùèé èíòåãðàëZR2θ(t, r)(1 + (t2 + r2 )2 )2 | Hk (t + ir) |2 dt dr.214 ðåçóëüòàòå, ïîëó÷àåì, ÷òîkRkP` = O(~2 ), ~ → 0.Óñëîâèå íîðìèðîâêè (1.30) âûïîëíåíî â ñèëó (2.101), (2.102).Òåîðåìà äîêàçàíà. çàêëþ÷åíèå íàéäåì àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿçàäà÷è (0.23), (0.24), ðàñïîëîæåííûå âáëèçè âåðõíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ, îáðàçóþùèõñÿ âîêðóã ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéíåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà.Ëåììà 2.15.Ïðè ~ → 0 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî0(S22 Φk,` , Φk,` )P`√1Σ1 (k)+ O(~2 ).= 2a~ 1 + 6(k + ) − √26Σ0 (k)(2.109)Ïîäñòàâëÿÿ äàëåå (2.108), (2.109), (2.5) â ôîðìóëó (2.2), äëÿïîðÿäêà~−1`ïîëó÷àåì:2λ = λk,` = ~(` + 1) + ~ {2w22Σ1 (k)−√6Σ0 (k)√`~2 `~ +6 − 2 6(k + 1/2)−22 2+ w0 + 2(`~ + ~)w1 + 14`~(√Σ1 (k)+ 6(k + 1/2) − √6Σ0 (k)`~+ ~) − 2`~2 (1+2w2 } + O(~4 ) = `~ + ~ + (w0 + 2`~w1 +√+9`2 ~2 w2 )~2 + (2w1 + 2`~w2 (9 − 2 6(k + 1/2)))~3 + O(~4 ),k = 0, 1, 2, .

. . , ~ → 0.Ïîëó÷åííàÿ ñåðèÿ îïèñûâàåò ðàñùåïëåíèåñïåêòðà îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè è ñîäåðæèò ÷ëåíû äî 3 ïîðÿäêàïî~ âêëþ÷èòåëüíî. Ñîîòâåòñòâóþùèå àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûåôóíêöèè çàäà÷è (0.23), (0.24) ïîëó÷àþòñÿ èç ìíîãî÷ëåíîâ Φk,` (z),çàäàííûõ ôîðìóëîé (0.12), ïðèìåíåíèåì êîãåðåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.24), à òàêæå äåóñðåäíÿþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.23).215Ÿ 2.Êâàçèêëàññè÷åñêàÿ àñèìïòîòèêà ñïåêòðàâáëèçè íèæíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõêëàñòåðîâ äëÿ îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè2.1.Ââåäåíèå ê Ÿ2Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (0.23), (0.24) äëÿL2 (R2 ), ãäå H0 äâóìåðíûé2îñöèëëÿòîð (0.15), W (x) = w0 + w1 x + w2 x ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí 2 ñòåïåíè ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ~ > 0, ε > 0 ìàëûå ïàðàìåòðû, ïðè÷åì ε ~. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîëîæèìε = ~2 , à òàêæå ïðåäïîëîæèì, ÷òî w2 > 0.íåëèíåéíîãî îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè ⠟1 ãëàâû 2 áûëè íàéäåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è (0.23), (0.24) âáëèçè âåðõíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ` ∈ N èìååò ïîðÿäîê ~−1~(` + 1) íåâîçìóùåííîãî îïåðà-êëàñòåðîâ.

Îíè èìåþò âèä (0.25), ãäå ÷èñëîè îïðåäåëÿåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåòîðàH0 . Ÿ2 áóäóò íàéäåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çà-äà÷è (0.23), (0.24) âáëèçè íèæíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ.Îíè èìåþò âèä (0.26). Èì ñîîòâåòñòâóåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç ìíîãî÷ëåíîâ (0.27), ãäåα ∈ R,ïðèìåíåíèåì êîãåðåíòíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ (1.24) è äåóñðåäíÿþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.23).2.2.Êâàíòîâîå óñðåäíåíèå è êîãåðåíòíîå ïðåîáðàçîâàíèåÎïåðàòîð â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (0.23) ìîæíî çàïèñàòü â âè-H0 +~2 V (q1 , q2 ), ãäå V (q1 , q2 ) - ìíîãî÷ëåí ÷åòâåðòîé ñòåïåíè îò q1 ,q2 , êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî èíòåãðàëüíî çàâèñÿò îò |ψ|2 .

Ïðèìåíèìäåê (0.23) êâàíòîâóþ âåðñèþ ìåòîäà óñðåäíåíèÿ ( ñì. Ÿ1 âòîðîé ãëàâûH` ⊂ L2 (R2 ) ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé H0 , îòâå÷àþùèõ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ~(` + 1), ãäå ` = 0, 1, 2, ... , ïîëó÷àåì ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó (1.21), (1.22), ãäåf (S1 , S2 , S3 ) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìè (2.3), (2.4). Åå ñîáñòâåííûå).  ðåçóëüòàòå íà ãèëüáåðòîâîì ïîäïðîñòðàíñòâå216ξ = ξk,` (k = 0, 1, 2, . . . ) è óïîðÿäî÷èì èõ ïî âîç−1ðàñòàíèþ.

Ðàññìîòðèì ÷èñëî ` ïîðÿäêà ~ . Òîãäà ñïåêòð èñõîäíîéçàäà÷è (0.23), (0.24) èìååò àñèìïòîòèêó (2.2), ãäå êîíñòàíòà b0 ïðåä-çíà÷åíèÿ îáîçíà÷èìñòàâèìà â âèäå (2.5). Àñèìïòîòèêà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõôóíêöèé äàåòñÿ ôîðìóëîé (1.23). Çäåñüϕk,` ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿçàäà÷è (1.21), (1.22), îòâå÷àþùàÿ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþξk,` .×òîáû ðåøèòü çàäà÷ó (1.21), (1.22), âîñïîëüçóåìñÿ êîãåðåíòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì (1.24). Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå çàäà÷è (1.21),ϕk,` = I` (Φk,` (z)) . Ïîñêîëüêó â ðåçóëüòàòå êîãåðåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.24) S1 , S2 , S3 ïðåîáðàçóþòñÿ â äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû 1 ïîðÿäêà (1.28), òî äëÿ Φk,` (z) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (1.29).

Çäåñü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà ôîðìóëîé (2.3). Ñîáñòâåí(1.22) â âèäåíûìè ÷èñëàìè óðàâíåíèÿ (1.29) íàçîâåì òàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðàξk,` ,ïðè êîòîðûõ ýòî óðàâíåíèå èìååò ïîëèíîìèàëüíîå ðåøåíèå âïðîñòðàíñòâåP`.  ñèëó óíèòàðíîñòè êîãåðåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.30).Ïîêàæåì, êàê ñâÿçàíû òî÷êèÕàðòðè. Ðàññìîòðèì ñóæåíèåf Ω`z = ±iôóíêöèèåìóþ ñîîòíîøåíèåì (1.32). Ââåäåì íàΩ`ñî ñïåêòðîì îïåðàòîðàfíà ñôåðóΩ` ,çàäàâà-êýëåðîâó ñòðóêòóðó ñ ïî-ìîùüþ êîìïëåêñíîé êîîðäèíàòû (1.33). Ïóñòüz = z0 òî÷êà, âϕk,` (z, z).îïåðàòîðîâ S1 , S3îêðåñòíîñòè êîòîðîé ëîêàëèçîâàíà ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿÏîñêîëüêó äëÿ âû÷èñëåíèÿ êâàíòîâûõ ñðåäíèõ~ → 0 äîñòàòî÷íî çàìåíèòü çàäàþùèå S1 , S3íèÿìè â òî÷êå z = z0 , òîïðèpz0 + z0b1 ∼ 4 a(a + ~),1 + |z0 |2è, ñëåäîâàòåëüíî,p1 − |z0 |2b3 ∼ 4 a(a + ~),1 + |z0 |2fΩ` (z, z) ∼ P (z, z),4a(a + ~)P (z, z) =1 + |z0 |2ôóíêöèè èõ çíà÷å-(2.110)ãäå(1 + |z0 |2 )(z − z)2 (z0 + z0 )(z + z)++4(1 + |z|2 )21 + |z|2(1 − |z0 |2 )(1 − |z|2 )+.1 + |z|2217Àíàëîãè÷íî ëåììå 2.2. äîêàçûâàåòñÿÃëîáàëüíûé ìèíèìóì ôóíêöèè P (z, z) äîñòèãàåòñÿËåììà 2.16.â òî÷êå z = z0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà z0 = ±i.

Ìèíèìàëüíîåçíà÷åíèå ðàâíî −a(a + ~).Òàê êàê−a(a + ~) = −a2 + O(~),òî ÷èñëî−a2îïðåäåëÿåòíèæíþþ ãðàíèöó ñïåêòðàëüíîãî êëàñòåðà. Äàëåå áóäåò âû÷èñëåíàïîïðàâêà ê ýòîìó ÷èñëó ( ñì. ôîðìóëó (2.146)).2.3.Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõñîáñòâåííûõ ôóíêöèéÐàññìîòðèì óðàâíåíèå (1.29). Ïîñêîëüêó ïðàâûå ÷àñòè â ôîðìóëàõ (2.110) ïðèz0 = ±i ðàâíû íóëþ, òî b1 , b3(1)b1 = ~b1 + O(~2 ),ãäå(1)(1)b1 , b3 ∈ R.(1)b3 = ~b3 + O(~2 ),áóäåì èñêàòü â âèäå~ → 0,(2.111)Êðîìå òîãî, ïîëîæèì(1)ξk,` = −a2 + ~ξk,` + O(~2 ),~ → 0.(2.112)Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (1.28), à òàêæå îòáðàñûâàÿ â ðàçëîæåíèÿõ(2.111), (2.112) ñëàãàåìûå~2 R2 (z)O(~2 ),ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþd2 ΦdΦ(1)(1)22+2 + {−4a~zR(z) + 2~ [zR(z) − 2b3 z + b1 (1 − z )]}dzdz(1)(1)(1)+{4a2 R(z) + 2a~[−R(z) + 2(b3 − ξk,` /a) + 2b1 z]}Φ = 0.(2.113)R(z) èìååò âèä (2.16). ( Äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé èíäåêñûk, ` ó ôóíêöèè Φ(z) áóäóò íèæå îïóùåíû ).(1)(1)(1)Ïîëîæèì b= b1 − ib3 .

Характеристики

Список файлов диссертации