Диссертация (1136178), страница 32
Текст из файла (страница 32)
. . ôóíêöèèvm,k ïî mod O(m−∞ ) ñîñðåäîòî÷åíû âáëèçè îêðóæíîñòè Γa , ãäåïðè s6 m ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòèêà(−1)k2e±imϕ e−s /2 Hk (s)+εmk! π 3/4 2(2k+1)/4−1/23−1/2 20+O m(| s | +1)Hk (s) + O m(s + 1)Hk (s) .vm,k = √(3.109)Çäåñü Hk (s) ïîëèíîì Ýðìèòà.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòèêè ïîëèíîìà Ëàãåððà âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè (3.9) èLkm (x)Çäåñüβ < 1,1=2πiI|ω|=βe−xω/(1−ω)dω.(1 − ω)m+1 ω k+1[6](3.110)êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ îðèåíòèðîâàí ïðîòèâ ÷àñîâîéñòðåëêè.
 èíòåãðàëå (3.110) ïðîèçâåäåì çàìåíóω=√√2z/ m. Ðàç-271ëàãàÿ äàëåå ôóíêöèè ïî ôîðìóëå Òåéëîðà, èìååì:Lmkr2ε√1=2πiI|ω|=β2e−[m+ 2ms+s /2)]ω/(1−ω)dω =(1 − ω)m+1 ω k+1 2 2 I2 1 m k/2e−2sz−zszz s=1+O √+O √+√√k+12πi 2mm|z|= mβ/ 2 z 3 s(−1)k m k/2| s |3 +1√+O √Hk (s) +dz =Hk (s) + Ok!2mm 2s +1 0+O √ Hk (s) .mÇäåñüs6 m.×òîáû ïîëó÷èòü ôîðìóëó (3.109), îñòàåòñÿ âáëèçè òî÷êèr=aðàçëîæèòü ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ôóíêöèþr√εme−r2 /(2ε)m/2 −m/2 −s2 /2=mee1+Os3√mè ïðèìåíèòü ê âõîäÿùåìó â (3.107) ôàêòîðèàëó ôîðìóëó Ñòèðëèíãà.Òåîðåìà äîêàçàíà.Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî è àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè âîçìóùåííîé çàäà÷è ïðè2, .
. .mïîðÿäêàòàêæå ñîñðåäîòî÷åíû âáëèçè îêðóæíîñòèε−1Γa .èk = 0, 1,Èìåííî ýòà îá-ëàñòü ( íàïðèìåð, ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.6. ) äàåò îñíîâíîéâêëàä ïðè âû÷èñëåíèè íîðì, êâàíòîâûõ ñðåäíèõ, à òàêæå îïðåäåëÿåò õàðàêòåð ðàñùåïëåíèÿ ñïåêòðà. Íèæå áóäåò ïîñòðîåíî ñïðàâåäëèâîå â ýòîé îáëàñòè àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è(3.94), (3.98).v = u(r, ε)e±imϕL2 (R1+ ):Ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âε2−21 dr drïîëó÷àåì çàäà-dm2r2r− 2 + − 2πε2 ×drr2272rZ×u2 (r0 , ε)r0 dr0 +ln r0∞0ε → 0, m∞ln r0 u2 (r0 , ε)r0 dr0 − E u(r, ε) = 0,rZÏðèZïîðÿäêà(3.111)1u2 (r, ε)rdr =.2πε−1 , k = 0, 1, 2, .
. .(3.112)àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëî-æåíèå áóäåì èñêàòü â âèäåu=√4u1 (s) u2 (s) u3 (s)m u0 (s) + √ ++ 3/2 + Ommmu4 (s)m2, E11E = ε(n + 1) + 2πε2 E0 + √+O.m3mÇäåñüsîïðåäåëåíà ôîðìóëîé (3.108), àïîíåíöèàëüíî óáûâàþùèå ïðè| s |→ ∞uj (s), j = 0, 1, 2, 3, 4(3.113)(3.114) ýêñ-ôóíêöèè.Ïåðåéäåì â (3.111), (3.112) ê ïåðåìåííîés. ñèëó (3.114) ýòàçàäà÷à ïðèìåò âèä1 d21√−−m ds22m3/2−1−21ssd+1+ √1+ √+ds 22m2m2 s2πa2E112k + 11√1+ √−E+−+O+− 1+02mm2mm2mZ s2πa2 ln aa2ss02 0− 2+√ln 1 + √ds0 +u (s , ε) 1 + √√m2π2m2m2m− 2mZ∞a2s0s02 0ln 1 + √+√u (s , ε) 1 + √ds0 u(s, ε) = 0,2m s2m2m(3.115)Z ∞s12√√u(s,ε)1+ds=.(3.116)√2m2πa2− 2m√ −1√ −2Äàëåå ðàçëîæèì â (3.115) ôóíêöèè 1 + s/ 2m, 1 + s/ 2m,√ ln 1 + s/ 2m ïî ñòåïåíÿì m è ïîäñòàâèì ðàçëîæåíèå (3.113) â−1−3/2(3.115), (3.116). Ïðèðàâíèâàÿ ê íóëþ ñëàãàåìûå ïîðÿäêà m , m,m−2 , m−5/2 , ïîëó÷àåì çàäà÷è äëÿ îïðåäåëåíèÿ u0 , u1 , u2 , u3 .Ñïðàâåäëèâà273Ëåììà 3.6.Ôóíêöèÿ u0 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è îá îäíîìåðíîìîñöèëëÿòîðåΠu0 = 0,Z∞−∞u20 ds = √1,2πa2(3.117)(3.118)à ôóíêöèè u1 , u2 è u3 ðåøåíèÿìè çàäà÷s31 du0− √ u0 ,Πu1 = − √2 ds2Z ∞Z ∞s√ u20 ds;2u0 u1 ds = −2−∞−∞(3.119)(3.120)1 du1s du0 5 4s3lnaΠu2 = − √− √ u1 ++ s u0 − 2πa2 E0 +u0 ,2 ds82π2 ds2(3.121)Z ∞Z ∞√(3.122)2u0 u2 ds = −(u21 + 2su0 u1 )ds,−∞è−∞ln aΠu3 = f3,1 − 2πa E0 +u1 − f3,2 u0 ,2πZ ∞Z ∞√s2u0 u3 ds = −(2u1 u2 + 2su0 u2 + √ u21 )ds.2−∞−∞2(3.123)(3.124)Çäåñü îïåðàòîð Π çàäàí ôîðìóëîéΠ=d2+ (−s2 + 2k + 1),2dsà ôóíêöèè f3,1 , f3,2 èìåþò âèäs du1 5 41 du2s3s2 du03s5f3,1 = − √− √ u2 ++ s u1 − √− √ u0 ,2 ds82 ds22 2 ds4 2 Z sZ ∞2af3,2 = 2πa2 E1 +su20 (τ )dτ +τ u20 (τ )dτ.
(3.125)2−∞s274Ðåøåíèå çàäà÷è (3.117), (3.118) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîëèíîìûÝðìèòà(−1)k2√u0 =e−s /2 Hk (s),a k! π 3/4 2(2k+1)/4Îòìåòèì, ÷òî ïîñëå óìíîæåíèÿ íàk = 0, 1, 2, . . . .e±imϕ(3.126)ïðàâàÿ ÷àñòü (3.126) ñîâ-ïàäàåò ñ ãëàâíûì ÷ëåíîì àñèìïòîòèêè (3.109).Óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè â ïðîñòðàíñòâåóðàâíåíèÿΠu(s) = f (s)L2 (R1 )íåîäíîðîäíîãîñëóæèò ðàâåíñòâîZ∞f (s)u0 (s)ds = 0.(3.127)−∞Òàê êàê äëÿ (3.119) ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, òî ðåøåíèå çàäà÷è(3.119), (3.120) ñóùåñòâóåò. Ó÷èòûâàÿ, ÷òîZ∞u0 u1 ds = 0,−∞èìååì:1u1 = − √2(2k + 1) du0 1 d3 u0+2ds6 ds3. ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (3.121) óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè (3.127) ïîçâîëÿåò íàéòè ÷èñëîE0 = −ln a.2π(3.128)Åñëè ðàâåíñòâî (3.128) âûïîëíåíî, òî ðåøåíèå çàäà÷è (3.121), (3.122)ïðåäñòàâèìî â âèäå1 d6 u0 (2k + 1) d4 u0u2 =++144 ds624ds4Íàêîíåö, ïîñêîëüêóZ(2k + 1)2 1−168∞f3,1 u0 ds = 0,−∞d2 u0 (2k + 1)−u0 .ds28275òî óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ (3.123) ïðèíèìàåò âèä∞Zf3,2 u20 ds = 0.−∞Ïðîèíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì â ýòîì óñëîâèè, ó÷èòûâàÿ (3.118), à òàêæå ðàâåíñòâàsZdf3,2= πa4ds−∞u20 (τ )dτ,Z∞−∞su20 (s)ds = 0. ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ôîðìóëå äëÿ ïîïðàâêè ê ñïåêòðóπa4E1 = − √2∞ZsZ−∞−∞u20 (τ )dτZ∞u20 (τ )dτ ds.(3.129)sÂû÷èñëèì èíòåãðàëû â ïðàâîé ÷àñòè (3.129).
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ðàçëîæåíèåìHn2 (s)[6]=nX2k k!(Cnk )2 H2n−2k (s),k=0à òàêæå èíòåãðàëàìèZ∞−∞[21], [78]√2e−2s H2k−2j−2 (s)Hk2 (s)ds =Zπ(2j + 2)!((2k − 2j − 2)!)2,22k−j−1/2 (j + 1)!((k − j − 1)!)2∞r(1 − erf 2 (s))ds =0Çäåñüerf(s) èíòåãðàë âåðîÿòíîñòèE1 = −ãäåδ0 = 1/4,à ïðèk≥1δk,π 3/2÷èñëà2.π[6].  èòîãå ïîëó÷àåì ôîðìóëók = 0, 1, 2, . . . ,δk(3.130)èìåþò âèä (0.44).Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (3.124) ðàâíà íóëþ, òî áóäåìèñêàòü ôóíêöèþu3â âèäå ñóììûu3 = u3,1 + u3,2 ,ãäåu3,1 , u3,2276ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ çàäà÷:Z∞Πu3,1 = f3,1 ,u0 u3,1 ds = 0,−∞èΠu3,2 = −f3,2 u0 ,Z ∞u0 u3,2 ds = 0.(3.131)(3.132)−∞Àíàëîãè÷íîu1 , u2ôóíêöèÿu3,1òàêæå âûðàæàåòñÿ ÷åðåçu0è ååïðîèçâîäíûå.Ëåììà 3.7.u3,1Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(5(2k + 1)2 − 16) d5 u01 1 d9 u0 (2k + 1) d7 u0++++= −√288 ds7480ds52 2592 ds9((2k + 1)3 − 12(2k + 1)) d3 u0 (1 − (2k + 1)2 ) du0 ++.96ds34dsÏåðåéäåì ê ðåøåíèþ çàäà÷è (3.131), (3.132). Ôóíêöèÿu3,2 , âîç-íèêíîâåíèå êîòîðîé âûçâàíî íàëè÷èåì íåëèíåéíîñòè Õàðòðè â óðàâíåíèè (0.40), âûïèñûâàåòñÿ â êâàäðàòóðàõ.
Îíà âûðàæàåòñÿ ÷åðåçôóíêöèè ïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðàñëîæíûé, ÷åìu3,1 ,[6] è èìååò çíà÷èòåëüíî áîëååâèä.Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ñ√2Dk ( 2s) = 2−k/2 e−s /2 Hk (s),k = 0, 1, 2, . . . ,ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.117) íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå[6]√Z s2ik es /2 dkπ22D−k−1 (i 2s) =e−s−iet dt .k(k−1)/2ds2k!20√Ïîñêîëüêódk −s2Hk (s) = (−1) ee ,dskk s2(3.133)277òî ïðàâàÿ ÷àñòü (3.133) ïðèk∈Nìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå√(−i)k π −s2 /2D−k−1 (i 2s) =eHk (s)+k!2(k+1)/2Z s(−i)k+1 −s2 /2(−i)k+12t2+ (k−1)/2 eHk (s)e dt +πk−1 (s)es /2 ,(k−1)/2k!2k!20√ãäåπk−1 (s) =kXCkj ij+1 Hj−1 (is)Hk−j (s).j=1Îòìåòèì, ÷òîπk−1 (s)ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíèk−1[56].ÑïðàâåäëèâàËåììà 3.8.u3,2Åñëè k ∈ N, òî ôóíêöèÿ u3,2 ïðåäñòàâèìà â âèäå1 =k!2ksZeτ+2∞Z sZ/20f3,2 (t)u0 (t)e−t2/22Hk (t)dt eτ dτ +τ 2πk−1 (τ )f3,2 (τ )u0 (τ )dτ e−s /2 Hk (s)−0Zsf3,2 (τ )e−τ−2/22Hk (τ )dτ es/2πk−1 (s) + c3,2 u0 ,(3.134)−∞ãäå f3,2 îïðåäåëåíà ôîðìóëàìè(3.125), (3.130),à åñëè k = 0 òî ââèäåu3,2√Z sZ s Z ∞2s πe−s22−t2=+se dt ++2ete−2τ dτ dt−2200t√ Z s t2 Z− 2e0∞tÊîíñòàíòà c3,2 â ôîðìóëàõ(3.132).−τ 2e a2 u0dτ dt √ + c3,2 u0 .2 2π(3.134), (3.135)(3.135)íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ2782.4.Íàõîæäåíèå âåðõíåé ãðàíèöû ñïåêòðàëüíîãîêëàñòåðàÈçó÷èì âõîäÿùóþ â ôîðìóëó (3.114) ñïåêòðàëüíóþ ïîïðàâêóE0ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëàk = 0, 1, 2, .
. . , [n/2] è íàéäåì ååìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå. Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì â (3.106), ïðåäñòàâèìλ1â âèäåZ∞λ1 = −ln ρg02 (ρ)ρ∞Z ρZdρ − 2π00g02 (ρ0 )ρ0dρ0Z0∞g02 (ρ0 )ρ0 dρ0ρdρ.ρÄàëåå â ñèëó (3.97), (3.100), (3.114) ïîëó÷àåì, ÷òîZ∞ln r u20 (r, ε)r dr−E0 = −0∞Z rZ−2π0Çäåñüu0 (r, ε)u20 (r0 , ε)r0dr00∞Zu20 (r0 , ε)r0 dr0rdr.r(3.136) ðåøåíèå çàäà÷è 2ε 1 ddm2r2−r− 2 + − ε(n + 1) u0 = 0,2 r drdrr2Z∞u20 (r, ε)r dr =0ãäå1,2π(3.137)(3.138)r =| x |.Ïðîèçâåäåì â (3.137), (3.138) çàìåíó ïåðåìåííîé√u0 = y/ r.Âðåçóëüòàòå çàäà÷à ïðèìåò âèä22d yε 2drε2+ ω(r) + 2ε + 2 y = 0,4rZ0∞y 2 dr =1,2π√√ω(r) = −r2 + 2a20 − a4 /r2 , à a0 = εn, a = εm.
 ñèëó (3.105)ïàðàìåòð a ∈ [0, a0 ]. Ôóíêöèÿ ω(r) > 0 â îáëàñòè ìåæäó òî÷êàìèãäåïîâîðîòàrr± =a20q± a40 − a4 .279Ñîãëàñíî òåîðèè êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ [52] ïðè âû÷èñëåíèè àñèìïòîòèêè íîðìû è êâàíòîâûõ ñðåäíèõ â îáëàñòè ìåæäóòî÷êàìè ïîâîðîòà âîçìîæíî îòáðîñèòü âêëàä îò áûñòðîîñöèëëèðóþùåé ÷àñòè ðåøåíèÿ è îñòàâèòü ëèøü íåîñöèëëèðóþùóþ ÷àñòü ÂÊÁïðèáëèæåíèÿ äëÿy 2 . Ïîýòîìó ïðè r ∈ [r− , r+ ] çàìåíèì u20 r â ïðàâîé÷àñòè (3.136) íà ôóíêöèþ1pπ 2 ω(r)è íóëåì ïðè îñòàëüíûõr.(3.139)Îòìåòèì. ÷òî êîíñòàíòàπ2â (3.139) íà-õîäèòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêèZr+r−1drp=.π 2 ω(r) 2π ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òîE0 =ãäå(0)(0)E0+O1√,nE0çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé(0)E01=− 2πZr+r−ln r dr2p− 3ω(r) πZr+r−Zrr−dr0pω(r0 )Zrr+dr0 drp.ω(r0 ) r(3.140)Âû÷èñëÿÿ âõîäÿùèå â (3.140) èíòåãðàëû, ïðåäñòàâèì(0)E0â âè-äå(0)(0)E0 = E0 (a) = −14π 2Zpln(a20 + τ a40 − a4 )2√1 + arcsin τ dτ.π1 − τ2−11(3.141)Íàéäåì ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè íà îòðåçêåÒåîðåìà 3.8.[0, a0 ].(0)max E0 (a) äîñòèãàåòñÿ ïðè a = a0 è ðàâåía∈[0,a0 ]− ln a0 /(2π).
Ýòî ÷èñëî îïðåäåëÿåò âåðõíþþ ãðàíèöó ñïåêòðàëüíîãî êëàñòåðà.280Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó(0)E0 (a)12ln a0dτ1 + arcsin τ √=−.π2π1 − τ2−1Zln a0=− 22πòî çàïèøåì ôóíêöèþ (3.141) â âèäå(0)E0 (a) = −ãäåln a0 f (γ)−,2π4π 21ln(1 + γτ )2√f (γ) =1 + arcsin τ dτ,π1 − τ2−1Zà ïàðàìåòðsγ=Äîêàæåì, ÷òîÒàê êàê ïðèmin f (γ)γ∈[0,1]1−aa04ðàâåí íóëþ è äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå1τ200√f (γ) = −2 1 − τ2−1 (1 + γτ )f (γ)íà[0, 1]21 + arcsin τ dτ < 0,πâûïóêëà ââåðõ, à, çíà÷èò, åå ìèíèìóì äî-ñòèãàåòñÿ íà êîíöàõ îòðåçêà.
Ïîñêîëüêóçàòü, ÷òîγ = 0.0<γ<1Zòî ôóíêöèÿ∈ [0, 1].f (0) = 0,òî îñòàåòñÿ ïîêà-f (1) > 0.Âû÷èñëèì èíòåãðàëZ[79]1ln(1 + τ )√dτ = −π ln 2.1 − τ2−1Òàê êàê∞X1 · 3 · 5 . . . (2n − 1) x2n+1arcsin x = x +,2·4·6...(2n)(2n+1)n=1| x |< 1,281òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîZ1ln(1 + τ )√arcsin τ dτ >1 − τ2−1Z1τ ln(1 + τ )1√dτ +61 − τ2−11τ 3 ln(1 + τ )√dτ.1 − τ2−1Z(3.142)Âû÷èñëÿÿ èíòåãðàëû â ïðàâîé ÷àñòè (3.142), íàõîäèì, ÷òî2πZ1ln(1 + τ )41√arcsin τ dτ > ,181 − τ2−1à, çíà÷èò, ñïðàâåäëèâà îöåíêà411> .18 10(3.143)min f (γ)ðàâåí íóëþ è äîñòè-f (1) > −π ln 2 +Èç íåðàâåíñòâà (3.143) ñëåäóåò, ÷òîγ∈[0,1]ãàåòñÿ â íóëå.
Òåîðåìà äîêàçàíà.ε → 0 è n ïîðÿäêà ε−1 îòâå÷àþùèå íåáîëük = 0, 1, 2, . . . àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿÒàêèì îáðàçîì, ïðèøèì ÷èñëàì(0.43) ðàñïîëîæåíû âáëèçè âåðõíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ, îáðàçóþùèõñÿ âîêðóã ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íåâîçìóùåííîãîîïåðàòîðàH.282Ãëàâà 4Àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèéÕàðòðè, ñîñðåäîòî÷åííûå âáëèçèìàëîìåðíûõ ïîäìíîãîîáðàçèé. Òåîðèÿýéðè-ïîëÿðîíà 1.Ìîäåëü ñ ëîãàðèôìè÷åñêîé îñîáåííîñòüþ1.1.Ââåäåíèå ê 1Ðàññìîòðèì ìîäåëüíîå óðàâíåíèå (0.45) (ýéðè-âåðñèÿ óðàâíåíèÿ äâóìåðíîãî ïîëÿðîíà). Íàñ èíòåðåñóåò àñèìïòîòèêà ðåøåíèéG = G(ξ, η), êîòîðûå ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþò ïðè |η| → ∞,à òàêæå ïðè ξ → −∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
