Диссертация (1136178), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Òàêèå ðåøåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íî-(0.45)âûå, òðåáóþùèå îòäåëüíîãî èçó÷åíèÿ ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè, â ÷åìòî àíàëîãè÷íûå ôóíêöèè Ýéðè. Íèæå áóäóò íàéäåíû èõ àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ ïðèξ → ±∞ (ñì. òåîðåìû 4.4. è 4.5.). Äàëåå ⠟2è Ÿ3 ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (0.45) áóäóò èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîñòðîåíèÿàñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé çàäà÷è (0.1), (0.2) â äóõå ìåòîäà Ëàíãåðà[14] èëè ìåòîäà ñîãëàñîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé [27].Îòìåòèì, ÷òî íàðÿäó ñ âõîäÿùåé â óðàâíåíèÿ Õàðòðè ôóíêöè-ψ(x) ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêæå ôóíêöèþ Âèãíåðà ρψ (x, p), îïðå2äåëÿåìóþ êàê âåéëåâñêèé ñèìâîë L -ïðîåêòîðà íà íàïðàâëåíèå ψ ,åéò.å.ρψ∂ defu(x) = (u, ψ)ψ(x).x, −i~∂xÒîãäà äëÿ êëàññè÷åñêîãî ïðåäåëà (â ñìûñëå îáîáùåííûõ ôóíêöèé)ρ = lim ρψ~→0283áóäóò ôîðìàëüíî âûïîëíåíû óðàâíåíèÿ Âëàñîâà [16]∂ρ ∂∂ρ(p +V +U )ρ = λρ, 2p − (V +U )= 0, ∆U (x) =∂x ∂x∂p2Zρ(x, p) dp.(4.1)Íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (4.1) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê"ñèñòåìà áèõàðàêòåðèñòèê"äëÿ (0.1), (0.2) (ñì. ïîäðîáíåå â[32; 50;53]).

Îíà ñëóæèò ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ íå òîëüêî â êâàíòîâîé ìåõàíèêå è îïòèêå [26; 28;104], íî è â ýëåêòðîííîé îïòèêå[19; 55;97;[77; 102;98; 140], â ãèäðîäèíàìèêå, ïûëåâîé è çâåçäíîé äèíàìèêå143; 147]. Áîëüøîé ñïèñîê ÷àñòíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû (4.1) ïðèâåäåíâ [77].V = ñëó÷àå ðàäèàëüíî-ñèììåòðè÷íîãî âíåøíåãî ïîòåíöèàëàV (|x|)ñèñòåìà (4.1) äîïóñêàåò ïðîñòåéøèå ðàäèàëüíî-ñèììåòðè÷-íûå ðåøåíèÿ, ñîñðåäîòî÷åííûå ïî ïåðåìåííîéxâ øàðå (ñèñòåìà(4.1) â ýòîì ñëó÷àå ðåäóöèðóåòñÿ ê èçâåñòíîìó óðàâíåíèþ Ëýíãìþðàè åå èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ â êâàäðàòóðàõ; ýòî áûëî ïîêàçàíîâ[32]). Òàêèå ðàäèàëüíî-ñèììåòðè÷íûå ðåøåíèÿρáûëè "êâàçè-êëàññè÷åñêè ïðîêâàíòîâàíû"â [32], ò.å.

áûëè ïîñòðîåíû àñèìïòîòè÷åñêèå (ïðè~ → 0)ðåøåíèÿψêâàíòîâîé çàäà÷è (0.1), (0.2), äëÿρψ ñîâïàäàåò ñ ρ.ρ = ρ(x, p) íà ôàçîâîìêîòîðûõ ïðåäåë ôóíêöèè ÂèãíåðàÎòìåòèì, ÷òî ýòè ôóíêöèèïðîñòðàí-x, p èìåþò âèä δ -ôóíêöèé ñ íîñèòåëÿìè íà íåêîòîëàãðàíæåâûõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ Λ. Ëàãðàíæåâîñòü Λ îçíà÷àåò,ñòâå ïåðåìåííûõðûõ÷òîdp ∧ dxΛ = 0,è ÷òî ðàçìåðíîñòü(4.2)dim Λ ðàâíà ïîëîâèíå ðàçìåðíîñòè ôàçîâîãî ïðî-ñòðàíñòâà. òî æå âðåìÿ, â ñïèñêå ÷àñòíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû (4.1) èìåþòñÿδ -ôóíêöèèñ íîñèòåëåì íà èçîòðîïíûõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõΛ,äëÿêîòîðûõ ñâîéñòâî (4.2) âûïîëíåíî, íî ðàçìåðíîñòü êîòîðûõ ìåíüøåïîëîâèíû ðàçìåðíîñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà.

Ïðèìåðîì ñëóæàòðåøåíèÿ, ñîñðåäîòî÷åííûå ïî ïåðåìåííîéx â ïëîñêèõ äèñêàõ (â ñëó-284x ∈ R3 ) èëè íà îòðåçêàõ (â ñëó÷àå x ∈ R2 ). Òàêîãî âèäà ðåøåíèÿñèñòåìû (4.1) èãðàþò âàæíóþ ðîëü â ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ [77;143] (ñêàæåì, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåùåñòâà â ïëîñêèõ ãàëàê÷àåòèêàõ ïðèìåð òàêîãî ðåøåíèÿ). òåîðèè ëèíåéíûõ ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ íàëè÷èå ó "ñèñòåìû áèõàðàêòåðèñòèê"èíâàðèàíòíîãî èçîòðîïíîãîïîäìíîãîîáðàçèÿΛóñòîé÷èâîãî òèïà âñåãäà îçíà÷àåò âîçìîæíîñòüïîñòðîåíèÿ ñåðèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèéψè ñåðèèλ äàííîãî îïåðàòîðà [51].

Ïðèýòîì ôóíêöèÿ Âèãíåðà ρψ (x, p) â ïðåäåëå ~ → 0 èìååò íîñèòåëåìäàííîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ, à ïî ïåðåìåííîé x îíà ñîñðåäîòî÷åíà âïðîåêöèè Λ íà x-ïðîñòðàíñòâî. Ýòà ïðîåêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàëîìåðíûìïîäìíîæåñòâîì â x-ïðîñòðàíñòâå.ïðèáëèæåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéÒàêèì îáðàçîì, íàëè÷èå èíâàðèàíòíûõ èçîòðîïíûõ ïîäìíîãîîáðàçèé ó âëàñîâñêîé "ñèñòåìû áèõàðàêòåðèñòèê"(4.1) íàâîäèò íàìûñëü î âîçìîæíîì ñóùåñòâîâàíèè ïîäîáíîãî òèïà àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèéψè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéλó èñõîä-íîé êâàíòîâîé çàäà÷è (0.1), (0.2).

Ýòè àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿäîëæíû áûòü ñîñðåäîòî÷åíû íà ìàëîìåðíûõ ïîäìíîæåñòâàõ âx-ïðîñòðàíñòâå.Êîíå÷íî, çàäà÷à (0.1), (0.2) íåëèíåéíà è ôîðìàëüíî íå ïîïàäàåò â ðàìêè òåîðèè ëèíåéíûõ ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ.Òåì íå ìåíåå, ⠟2 è Ÿ3 ÷åòâåðòîé ãëàâû áóäóò ïîñòðîåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ, ñîñðåäîòî÷åííûå íà îòðåçêàõ ïðÿìûõ âíóòðèè â ïëîñêèõ äèñêàõ âíóòðè1.2.R2R3 .Óðàâíåíèÿ äëÿ àìïëèòóäû è ôàçû ýéðè-ïîëÿðîíàÐàññìîòðèì ìîäåëüíîå óðàâíåíèå (0.45) ñ ïîçèöèé àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ, ñ÷èòàÿη"áûñòðîé, àξ"ìåäëåííîé"ïåðåìåí-íîé.

Áîëåå òî÷íî ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå.G óðàâíåíèÿ (0.45),ξ → −∞, ïðè |η| → ∞, àÁóäåì íàçûâàòü ýéðè-ïîëÿðîíîì ðåøåíèåêîòîðîå ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò ïðè285òàêæå â îáëàñòè|η|ξ −1/6 → ∞;ξ > 0,(4.3)è, êðîìå òîãî, â îáëàñòè (0.48) îíî èìååò ïðåäñòàâëåíèå âèäàG(ξ, η) = T (ξ, η) cos Φ(ξ, η),S , T , ϕ âåùåñòâåííûå,ãëàäêèå; ïðè÷åì, â îáëàñòè (4.3) àìïëèòóäà T (ξ, η) ýêñïîíåíöèàëüíîóáûâàåò, à ÷àñòü ôàçû ϕ(ξ, η) èìååò ñòåïåííîé ðîñò; êðîìå òîãî, ïðèξ → +∞, T = O(ξ −1/3 ), ϕT = O(ξ −1/2 ).ãäåΦ(ξ, η) = S(ξ) + ϕ(ξ, η).(4.4)Çäåñü ôóíêöèèÂûâåäåì íèæå óðàâíåíèÿ, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò àìïëèòóäàè ôàçà ýéðè-ïîëÿðîíà, ò.å. ôóíêöèèT , S , ϕ.Äèôôåðåíöèðóÿ (4.4), ïîëó÷àåì ∂ϕ 2 ih ∂T ∂ϕ∂ 2ϕ i∂ 2G h ∂ 2T=−Tcos Φ − 2+ T 2 sin Φ,∂η 2∂η 2∂η∂η ∂η∂η∂ϕ 2 i∂ 2G h ∂ 2T0=− T S (ξ) +cos Φ−∂ξ 2∂ξ 2∂ξh ∂T ∂ϕ ∂ 2 ϕ i000S (ξ) ++ T S (ξ) + 2 sin Φ =− 2∂ξ∂ξ∂ξhih ∂Ti0 20 ∂ϕ000= − T (S ) + 2T Scos Φ − 2 S + T S sin Φ+∂ξ∂ξ ∂ 2T ∂ϕ 2 ∂T ∂ϕ ∂ 2ϕ +O+O T+O+O T 2 .∂ξ 2∂ξ∂ξ ∂ξ∂ξ(4.5)(4.6)α óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó 0 < α < 1, à0 αãëàäêàÿ ôóíêöèÿ χ = χ(ξ , ξ ) òàêîâà, ÷òî 0 ≤ χ ≤ 1, χ ≡ 1 ïðèξ 0 > 2ξ α , χ ≡ 0 ïðè ξ 0 < ξ α .

Òîãäà, ïîñêîëüêó G è T ýêñïîíåíöèàëüíîÏóñòü êîíñòàíòàóáûâàþò â îáëàñòè (4.3), òî â îáëàñòè (0.48) ìû èìååìZZ∞ln−∞Z2ξ α=2−∞h (ξ − ξ 0 )2 + (η − η 0 )2 i(ξ 0 )2G2 (ξ 0 , η 0 ) dξ 0 dη 0 =Z ∞ ξ − ξ0 0 αG2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 dξ 0 +ln 0 (1 − χ(ξ , ξ ))ξ−∞286Z ∞ ξ − ξ0 0 αT 2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 dξ 0 +ln 0 χ(ξ , ξ )+ξ−∞ξαZ 2ξ α Z ∞ (η − η 0 )2 +ln 1 +(1 − χ(ξ 0 , ξ α ))G2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 dξ 0 +02(ξ − ξ )−∞−∞Z ∞Z ∞ (η − η 0 )2 0 α T 2 (ξ 0 , η 0 ) 0 0+χ(ξ , ξ )dη dξ +ln 1 +(ξ − ξ 0 )22ξα−∞Z ∞Z ∞ (ξ − ξ 0 )2 + (η − η 0 )2 0 α T 2 (ξ 0 , η 0 )χ(ξ , ξ )×+ln0 )2(ξ2αξ−∞Z∞× cos 2Φ(ξ 0 , η 0 ) dη 0 dξ 0 + O(ξ −∞ ).(4.7)Èçó÷èì âõîäÿùèå â (4.7) èíòåãðàëû.

ÎïðåäåëèìdefF (ξ 0 , η 0 , ξ) = χ(ξ 0 , ξ α )T 2 (ξ 0 , η 0 )/2. îáëàñòèËåììà 4.1.òèêà:∞Z ∞(0.48)èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ àñèìïòî-(η − η 0 )2 F (ξ 0 , η 0 , ξ) dη 0 dξ 0 =ln 1 +02(ξ − ξ )ξα−∞Z ∞1 Z ∞0000 200=2π|η − η |F (ξ, η , ξ) dη + O(η − η ) F (ξ, η , ξ) dη +ξ−∞−∞ZZ ∞∞ 0 0(η − η 0 )2 0 00F(ξ,η,ξ)−F(ξ,η,ξ)dξ dη ++Ov.p.0 )2(ξ−ξα−∞ξZ ∞22/30 2 ∂ F00+O ξ(η − η )(ξ, η , ξ) dη .(4.8)(∂ξ 0 )2−∞ZÄîêàçàòåëüñòâî. ÏóñòüZ∞Z ∞ξαZ∞Zξ+δ=−∞ξ−δδ = ξ 2/3 , µ = [ξ α , ξ −δ]∪[ξ +δ, ∞). Òîãäà(η − η 0 )2 F (ξ 0 , η 0 , ξ) dη 0 dξ 0 =ln 1 +02(ξ − ξ )−∞∂F(η − η 0 )2 n00F(ξ,η,ξ)+(ξ−ξ)(ξ, η 0 , ξ)+ln 1 +020(ξ − ξ )∂ξo200 2 ∂ F(ξ, η , ξ) dξ 0 dη 0 ++O (ξ − ξ )(∂ξ 0 )2287∞Z h (η − η 0 )4 i(η − η 0 )2++OF (ξ, η 0 , ξ) dξ 0 dη 0 +0204(ξ − ξ )−∞ µ (ξ − ξ ) Z ∞ Z (η − η 0 )2 0 00 00F (ξ , η , ξ) − F (ξ, η , ξ) dξ dη .+O0 2−∞ µ (ξ − ξ )ZÏðè|η 0 | < |ξ|1/6+ε ,ãäå0 < ε < 1/2,δ/|η − η 0 | 1èìååìè, ñëåäîâà-òåëüíî,Zξ+δξ−δ(η − η 0 )2 0dξ = 2|η − η 0 |ln 1 +02(ξ − ξ )δ/|η−η 0 |Z01ln 1 + 2 dx =xn11 o= 2|η − η | x ln 1 + 2 + π + 2 arctg=xx x=δ/|η−η0 |n 1 1= 2|η − η 0 | π − + O 3 .x=δ/|η−η 0 |xx0Äàëåå, â ñèëó îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèèZξ+δ(η − η 0 )2 0dξ = O(|η − η 0 |2 δ).(ξ − ξ) ln 1 +02(ξ − ξ )0ξ−δx2 ln(1 + 1/x2 )2Êðîìå òîãî,Zξ+δξ−δ(η − η 0 )2 0dξ = 0,(ξ − ξ) ln 1 +(ξ − ξ 0 )20Z1dξ 02= +O.0 2δξµ (ξ − ξ )Ñëåäîâàòåëüíî,Z∞Z ∞ξα(η − η 0 )2 ln 1 +F (ξ 0 , η 0 , ξ) dη 0 dξ 0 =02(ξ − ξ )−∞Z2 ∞(η − η 0 )2 F (ξ, η 0 , ξ) dη 0 +=2π|η − η |F (ξ, η , ξ) dη −δ −∞−∞Z1 ∞0 400+O 2(η − η ) F (ξ, η , ξ) dη +ξ −∞ Z ∞20 2 ∂ F00+O δ(η − η )(ξ, η , ξ) dη +(∂ξ 0 )2−∞Z∞0002882+δZ∞0 200(η − η ) F (ξ, η , ξ) dη + Oξ−∞+O∞ZZ−∞∞1 Z0 200(η − η ) F (ξ, η , ξ) dη +−∞ 0 0(η − η 0 )2 0 00F (ξ , η , ξ) − F (ξ, η , ξ) dξ dη .0 2µ (ξ − ξ )Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî1ξ2Z∞0 400(η − η ) F (ξ, η , ξ) dη = Oξ−∞ξ+δZ∞1 Z0 200(η − η ) F (ξ, η , ξ) dη ,−∞∞ 0 0(η − η 0 )2 0 00F(ξ,η,ξ)−F(ξ,η,ξ)dη dξ =0 2−∞ (ξ − ξ ) Z ∞20 2 ∂ F00=O δ(η − η )(ξ, η , ξ) dη .(∂ξ 0 )2−∞Zv.p.ξ−δËåììà äîêàçàíà.Äàëåå, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿξ → −∞,Z2ξ α−∞G2ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò ïðèòî∞(η − η 0 )2 ln 1 +(1 − χ(ξ 0 , ξ α ))G2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 dξ 0 =0 )2(ξ−ξ−∞Z=O1 Zξ2∞0 2Z2ξ α2(η − η )−∞0000G (ξ , η ) dξ dη .(4.9)−∞È, íàêîíåö, ïîñëåäíèé èç âõîäÿùèõ â (4.7) èíòåãðàëîâ ñîäåðæèò áûñòðî îñöèëëèðóþùóþ ôóíêöèþcos 2Φè â ñèëó ýòîãî ÿâëÿ-åòñÿ ìàëûì.

Âêëþ÷èì åãî â îñòàòî÷íûé ÷ëåí. (Òî÷íûå îöåíêè ñì. âï. 1.5 èç Ÿ1 ãëàâû 4.)Èç ôîðìóë (4.7) (4.9) âûòåêàåòËåììà 4.2.ZZÑïðàâåäëèâà àñèìïòîòèêà∞ln−∞Z2ξ α=2−∞ (ξ − ξ 0 )2 + (η − η 0 )2 (ξ 0 )2G2 (ξ 0 , η 0 ) dξ 0 dη 0 =Z ∞ ξ − ξ0 0 αln 0 (1 − χ(ξ , ξ ))G2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 dξ 0 +ξ−∞289∞Z+ξαZ ∞ ξ − ξ0 0 αT 2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 dξ 0 +ln 0 χ(ξ , ξ )ξ−∞Z ∞+π|η − η 0 |T 2 (ξ, η 0 ) dη 0 + r,(4.10)−∞ãäå îñòàòî÷íûé ÷ëåí r èìååò îöåíêór=O+O+O1 Zξ2Z1 Zξ0 2020(η − η ) T (ξ, η ) dη +−∞∞0 2Z2ξ α2(η − η )−∞0000G (ξ , η ) dξ dη +−∞∞Z ∞lnξα∞ (ξ − ξ 0 )2 + (η − η 0 )2 (ξ 0 )2−∞0200000χ(ξ 0 , ξ α )××T (ξ , η ) cos 2Φ(ξ , η ) dη dξ .(4.11)Òåïåðü ïîäñòàâèì (4.4) (4.6), (4.10) â (0.45). Òîãäà ïðèäåì êñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ:h ∂ 2T∂η 2−T ∂ϕ 2∂η0 2− T (S ) − 2T S0 ∂ϕ∂ξicos Φ−h ∂T ∂ϕi∂ 2ϕ∂T 000− 2+ T 2 + 2 S + T S sin Φ+∂η ∂η∂η∂ξZ 2ξ α Z ∞h ξ − ξ0 0 α+ ξ−2ln 0 (1 − χ(ξ , ξ ))G2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 dξ 0 −ξ−∞−∞Z ∞ Z∞ ξ − ξ0 T 2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 dξ 0 −−ln 0 χ(ξ 0 , ξ α )ξ−∞ξαZ ∞i0 200−π|η − η |T (ξ, η ) dη T cos Φ + r1 = 0,(4.12)−∞ãäår1 = O ∂ 2T ∂ξ 2 ∂ϕ 2 ∂T ∂ϕ ∂ 2ϕ +O T+O+ O T 2 + O(rT ).∂ξ∂ξ ∂ξ∂ξ(4.13)290×òîáû óäîâëåòâîðèòü (4.12), âíà÷àëå ïðèðàâíÿåì ê íóëþ âûðàæåíèå ïåðåäsin Φ.2Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå∂T ∂ϕ∂ 2ϕ∂T+ T 2 + 2 S 0 + T S 00 = 0,∂η ∂η∂η∂ξêîòîðîå ïîñëå óìíîæåíèÿ íàTçàïèñûâàåòñÿ â âèäå∂∂ 2 ∂ϕ T+T 2 S 0 (ξ) = 0.∂η∂η∂ξÒàê êàê ïðè|η| → ∞ Tñòåïåííûì îáðàçîì, òîýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, àlim|η|→∞ T 2 ∂ϕ/∂η = 0.(4.14)ϕðàñòåò ëèøüÏîýòîìó óñëîâèåìðàçðåøèìîñòè (4.14) â óêàçàííîì êëàññå ôóíêöèé áóäåò ðàâåíñòâî∞ZT 2 (ξ, η) dη = k/S 0 (ξ),(4.15)−∞ãäåk êîíñòàíòà.cos Φ.

Ïóñòüàìïëèòóäà T (ξ, η), àÎáðàòèì äàëåå â (4.12) â íóëü ñëàãàåìûå ïåðåäýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùàÿ ïðèòàêæåL(ξ)√|η|/ 6 ξ → ∞óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∂ 2 T (ξ, η) − π∂η 2=Z∞|η − η |T (ξ, η ) dη + L(ξ) T (ξ, η) =002−∞h ∂ϕ(ξ, η) 2∂η∂ϕ(ξ, η) i+ 2S (ξ)T (ξ, η).∂ξ0Òîãäà äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè02Z2ξ α−∞∞−ξαïîëó÷àåì óðàâíåíèå ξ − ξ 0 χ(ξ 0 , ξ α )kln 0 dξ 0 + L(ξ) = 000ξS (ξ )(óðàâíåíèå äëÿ ôàçû).Èòàê, äîêàçàíàS(4.16)Z ∞ ξ − ξ0 0 αln 0 (1 − χ(ξ , ξ ))G2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 dξ 0 −ξ−∞−(S (ξ)) + ξ − 2Z0(4.17)291Òåîðåìà 4.1.Ïóñòü ôóíêöèè S(ξ), T (ξ, η), ϕ(ξ, η), L(ξ) óäîâëå-òâîðÿþò óðàâíåíèÿìïîëÿðîíÒîãäà ïðè ξ → +∞ ýéðè-ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ(4.4)r1 , ãäå r1 èìååò âèäÇàìå÷àíèå(4.14) (4.17).(0.45)ñ òî÷íîñòüþ(4.13).4.1.

 óðàâíåíèè äëÿ àìïëèòóäû (4.16) ñëàãàåìûå, ñî-áðàííûå â ïðàâîé ÷àñòè, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, ìàëû. Òàêèìîáðàçîì, â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè çàäà÷à (4.16), (4.15) ýòî õîðîøîèçâåñòíàÿ çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ îäíîìåðíîãî ïîëÿðîíà.Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå ïîëÿðîíà èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíîñäâèãîâ ïîη.×òîáû óñòðàíèòü ñâÿçàííóþ ñ ýòèì íåîäíîçíà÷íîñòüâ îïðåäåëåíèèT,äîïîëíèì (4.16), (4.15) óñëîâèåìZ∞ηT 2 (ξ, η) dη = 0.(4.18)−∞Íàêîíåö, äëÿ ýéðè-ïîëÿðîíàèGîïðåäåëèìcos-àìïëèòóäóB = T cos ϕ(4.19)I = −T sin ϕ,(4.20)sin-àìïëèòóäóêîòîðûå ïîçâîëÿþò çàïèñàòü ðàâåíñòâî (4.4) â âèäå (0.49).

Характеристики

Список файлов диссертации