Диссертация (1136178), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Èñïîëüçóÿ âûòåêàþùåå èç(4.55) ñîîòíîøåíèå τ dtnb(τ ) + t(τ ) = ρt(τ ),2 dτ(4.98)311íàõîäèì, ÷òî (4.96) èìååò ìåñòî â ñèëó óñëîâèÿ (4.80), íàëîæåííîãîíàz(τ ):Z∞Z∞ τ dtρt2,2 (τ )t(τ ) dτ =t2,2 (τ )bn(τ ) + t(τ ) dτ =2 dτ−∞−∞∞Z ∞ τ dtτ dt=(τ ) + t(τ ) nbt2,2 dτ = −(τ ) + t(τ ) z(τ ) dτ = 0.−∞ 2 dτ−∞ 2 dτZÐàâåíñòâî æå (4.97) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü âõîäÿùóþ â (4.91), (4.92)êîíñòàíòóZu.Äåéñòâèòåëüíî, èç (4.97), (4.98), (4.92) ïîëó÷àåì, ÷òî∞22t2,1 (τ )t(τ ) + p (τ ) dτ =Z−∞∞−∞Z+p (τ ) dτ = τ dtt2,1 (τ )bn(τ ) + t(τ ) +ρ2 dτ2∞n 2 τ dtn σ4(τ ) + t(τ ) − p(τ ) − ut(τ )+33−∞ ρ 2 dτZ ∞Z ∞0000+2π|τ − τ |t(τ )p(τ ) dτ p(τ ) + π|τ − τ 0 |p2 (τ 0 ) dτ 0 t(τ )+2−∞−∞oo22+τ p(τ ) + p (τ ) dτ = 0,îòêóäà, â ñèëó (4.81)defu = ui =Z∞ τ dt (τ )i2 dτ−∞Zn σi+ ti (τ ) − p(τ )+3∞0000Z∞|τ − τ |ti (τ )p(τ ) dτ p(τ ) + π+2π−∞|τ − τ 0 |p2 (τ 0 ) dτ 0 ti (τ )+−∞Z ∞oρip2 (τ ) dτ,+τ 2 p(τ ) dτ +2 −∞i = 1, 2, .
. . .Äîêàæåì, íàêîíåö, ðàçðåøèìîñòü ïîëó÷åííûõ äëÿ(4.99)t2,1 (τ )èt2,2 (τ ) çàäà÷. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü îðòîãîíàëüíîñòü ïðà21âûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé (4.92) è (4.94) â ïðîñòðàíñòâå L (R ) ôóíêöèèdt/dτ . (ñì. ï. 1.7 èç 1 ãëàâû 4)312Ëåììà 4.11.def∞ZM =n−∞Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîσ4− p(τ ) − ut(τ ) + 2π33ZZ∞|τ − τ 0 |t(τ 0 )p(τ 0 ) dτ 0 p(τ )+−∞∞o dt(τ ) dτ = 0.+π|τ − τ |p (τ ) dτ t(τ ) + τ p(τ )dτ−∞02002Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùèå ïðè|τ | → ∞ôóíêöèèt(τ ), p(τ )ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè çàäà÷ (0.46),(0.47); (4.63), (4.64), à òàêæå èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèåd2πdτZ∞σ00002|τ − τ |t(τ )p(τ ) dτ + τ −= 4π3−∞Zτt(τ 0 )p(τ 0 ) dτ 0 + 2τ,−∞èìååì∞d t2 (τ ) πM=2−∞ dτZZ∞|τ − τ 0 |p2 (τ 0 ) dτ 0 dτ +−∞Z ∞dt(τ ) nσo00002+p(τ )2π|τ − τ |t(τ )p(τ ) dτ + τ −dτ =dτ3−∞−∞Z ∞Z ∞dp=−(τ )π|τ − τ 0 |t2 (τ 0 ) dτ 0 p(τ )dτ +−∞ dτ−∞ZZ ∞∞σodt(τ ) n000022π|τ − τ |t(τ )p(τ ) dτ + τ = −dτ =+p(τ )dτ3−∞−∞Z ∞dp n d2 p(τ )=−(τ )− ρp(τ )−dτ 2−∞ dτZ ∞oσ00002−2π|τ − τ |t(τ )p(τ ) dτ t(τ ) − τ −t(τ ) dτ +3−∞Z ∞Z ∞dt nσo00002+|τ − τ |t(τ )p(τ ) dτ + τ −dτ =p(τ ) (τ ) 2πdτ3−∞−∞Z ∞Z ∞dσ00002=p(τ )t(τ ) 2πdτ =|τ − τ |t(τ )p(τ ) dτ + τ −3−∞ dτ−∞Z ∞ Z τ000p(τ )t(τ ) 4πt(τ )p(τ ) dτ + 2τ dτ ==−Z∞−∞−∞313Z∞d= −2π−∞ dττZ000t(τ )p(τ ) dτ2∞Zdτ − 2τ t(τ )p(τ ) dτ = 0.−∞−∞Ëåììà äîêàçàíà.Ëåììà 4.12.Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∞Zz(τ )−∞Çäåñü z(τ ) ðåøåíèå çàäà÷èdt(τ ) dτ = 0.dτ(4.77), (4.80).z(τ ), ïðèâåêîãäà t(τ ) 6= 0.Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè äëÿäåííûìè â ëåììå 4.9. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñëó÷àé,Òîãäà, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íàõîäèìZ∞dt1× (τ ) dτ = −dτ2Åñëè æåαn ,t(τ )Z∞Zdtz(τ ) (τ ) dτ =dτ−∞−2c1 +0τ0Z0t (τ )−∞∞τZp(x)t(x) dx dτ t(τ )×−∞0τZ1t(τ )p(τ ) dτ dτ =2−∞−∞000Z∞τ t(τ )p(τ ) dτ = 0.−∞èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ïðîñòûõ íóëåéα1 < α 2 < · · · <òî àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåìZ∞Zdtz(τ ) (τ ) dτ =dτ−∞n−1dt×t(τ ) (τ ) dτ +dτZαi+1τ∞0Z−2ci+1 +Z0−20Z−∞Zp(x)t(x) dx dτ ×τ00p(x)t(x) dx dτ ×t (τ )−∞τn+1∞0−∞τcn+1 +Zτ0t (τ )τi+1Z−∞τZdt1×t(τ ) (τ ) dτ = −dτ20p(x)t(x) dx dτ ×τ1αnτ0t (τ )αiZ−2c1 +−∞ZXdt×t(τ ) (τ ) dτ +dτi=1α1τt(τ 0 )p(τ 0 ) dτ 0 dτ = 0.−∞Ëåììà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå4.7. Óñëîâèå (4.93) â çàäà÷å äëÿ(4.95) â çàäà÷å äëÿâ çàäà÷å äëÿt2,2 (τ )t2,1 (τ ),à òàêæå óñëîâèåèãðàþò ðîëü àíàëîãè÷íóþ óñëîâèþ (4.51)T1 .
Íàïðèìåð, â ñëó÷àå çàäà÷è (4.92), (4.93) èç óñëîâèÿ314(4.93) íàõîäèòñÿ âõîäÿùàÿ â îáùåå ðåøåíèå (4.92)t2,1 (τ ) = t02,1 (τ ) + cêîíñòàíòàc.t02,1 (τ )Çäåñüdt(τ )dτ íåêîòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèå (4.92).B2 (ξ, η) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìèãäå t2,1 (τ ), t2,2 (τ ) ðåøåíèÿ çàäà÷ (4.92), (4.93) èÄëÿ ôóíêöèè `2 (ξ) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (4.91), ãäåÒàêèì îáðàçîì,(4.82), (4.90),(4.94), (4.95).êîíñòàíòà1.4.uçàäàíà (4.99).Àñèìïòîòèêà ôàçû ýéðè-ïîëÿðîíà ïðèÏîñëå òîãî, êàê îïðåäåëåíî ðàçëîæåíèå ôóíêöèèξ → +∞L(ξ) ñ òî÷íî-O(ξ −7/6 ), ξ → +∞, àñèìïòîòèêó ôóíêöèè S 0 (ξ) ñ òî÷íîñòüþO(ξ −5/3 ) ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ (4.17) äëÿ ôàçû.
Ýòî óðàâíåíèåñòüþïðèíèìàåò âèä2− S 0 (ξ) + ξ − 2Z2ξ α−∞Z∞Z ∞ξ G2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 dξ 0 −ln 1 − 0 (1 − χ(ξ 0 , ξ α ))ξ−∞ ξ χ(ξ 0 , ξ α )kdξ 0 k 2/31+ρ+`(ξ)+`(ξ)+O() = 0.ln 1− 0 12ξS 0 (ξ 0 )S 0 (ξ)ξ 7/6−ξα(4.100)`1 , `2Çäåñüçàäàþòñÿ ôîðìóëàìè (4.59), (4.91).Òàê êàê, â ñèëó (4.4), (4.15),Z∞1G (ξ, η ) dη =2−∞1+2Z200Z∞T 2 (ξ, η 0 ) dη 0 +−∞∞T 2 (ξ, η 0 ) cos 2S(ξ) + 2ϕ(ξ, η 0 ) dη 0 =−∞k+ W (ξ),2S 0 (ξ)(4.101)ãäåZ ∞ 2def 1W (ξ) =cos 2S(ξ)T (ξ, η 0 ) cos 2ϕ(ξ, η 0 ) dη 0 −2−∞315− sin 2S(ξ)Z∞ 0T (ξ, η ) sin 2ϕ(ξ, η ) dη020−∞ áûñòðî îñöèëëèðóþùàÿ ïðèξ → +∞÷àñòü àñèìïòîòèêèR∞200−∞ G (ξ, η ) dη , òî èç (4.100) âûòåêàåò óðàâíåíèå2S (ξ) = ξ − 20Zξ n ∞ 2 0 0G (ξ , η ) dη 0 −ln 1 − 0 ξ−∞−∞Z∞o k 2/30−χ(ξ , ξ )W (ξ ) dξ + ρ 0+ `1 (ξ) + `2 (ξ) + O(ξ −7/6 ).S (ξ)0α0(4.102)S 0 (ξ) ïðè ξ → +∞ ìîæíîðàññìàòðèâàòü êàê çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòèêè ïðè ξ → +∞R∞ 200íåîñöèëëèðóþùåé ÷àñòè ôóíêöèè−∞ G (ξ, η ) dη .Ïîýòîìó çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòèêèÏåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ.
Òàê êàêïðèξ → +∞ S 0 ∼√ξ,òî√ξìîæíî ïîäñòàâèòü â ïðàâóþ ÷àñòü ðà-âåíñòâà (4.102) è âû÷èñëèòü âîçíèêàþùèå èíòåãðàëû. Òàêèì îáðàçîì áóäóò íàéäåíû ñëåäóþùèå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ äëÿëÿÿ çàòåì ýòó óæå áîëåå òî÷íóþ àñèìïòîòèêóS0(4.102), ìîæíî åùå áîëåå óòî÷íèòü àñèìïòîòèêóS 0.Ïîäñòàâ-â ïðàâóþ ÷àñòüS 0.È òàê äàëåå,ïîêà íå áóäåò äîñòèãíóòà òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü.ÎïðåäåëèìA−1def= A−1 (k) =Z∞nZZ∞G2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 −−∞−∞defA0 = A0 (k) =∞−∞(4.103)∞kθ(ξ 0 ) o 0G (ξ , η ) dη − √ 0 dξ ,2 ξ−∞nZln |ξ |0kθ(ξ 0 ) o 0√dξ ,2 ξ02000(4.104)ãäå(θ(ξ) =Ëåììà 4.13.1,0,ïðèïðèξ > 0,ξ ≤ 0.(4.105)Ïðè ξ → +∞ ñïðàâåäëèâû ðàçëîæåíèÿ 1 pln ξA0S (ξ) = ξ − A−1 √ + √ + O 5/6 ,ξξξ0(4.106)316 1 1A01ln ξ= √ + A−1 3/2 − 3/2 + O 11/6 .S 0 (ξ)ξξξξ(4.107)Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîñêîëüêó∞Z0ln 1 −√1 dx √ = 2 x ln 1 −x x 1 + √x ∞1 √ = 0, + ln x1− x 0à â ñèëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿìZ∞0α00χ(ξ , ξ )W (ξ ) dξ = O(ξ−∞Z∞(ln ξ 0 )χ(ξ 0 , ξ α )W (ξ 0 ) dξ 0 =),ξαξα= O(ξ −∞ ),ïðèξ → +∞èìååì∞Zoξ n ∞ 2 0 0ln 1 − 0 G (ξ , η ) dη 0 − χ(ξ 0 , ξ α )W (ξ 0 ) dξ 0 =ξ−∞−∞Z∞Zξ 0 n ∞ 2 0 0=ln |ξ| − ln |ξ | + ln 1 − G (ξ , η ) dη 0 −ξ−∞−∞Z ∞ ξ 0 kθ(ξ 0 ) o 00 α0ln 1 − ×−χ(ξ , ξ )W (ξ ) − √ 0 dξ = A−1 ln |ξ| − A0 +ξ2 ξ−∞nZ ∞kθ(ξ 0 ) o 02 0 000 α0×G (ξ , η ) dη −χ(ξ , ξ )W (ξ )− √ 0 dξ +O(ξ −∞ ), (4.108)2 ξ−∞ZãäåA−1 , A00îïðåäåëåíû ðàâåíñòâàìè (4.103), (4.104).Ïîäñòàâèì (4.108) â (4.102).
Ïðåíåáðåãàÿ ìàëûìè ñëàãàåìûìè,íàõîäèì2S 0 (ξ) = ξ − 2A−1 ln ξ + 2A0 + O(ξ −1/3 ), ξ → +∞,îòêóäàâûòåêàþò ðàçëîæåíèÿ (4.106), (4.107). Ëåììà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå4.8.  ñèëó (4.106), (4.107), (4.101) âõîäÿùèå â (4.103),(4.104) èíòåãðàëû ñõîäÿòñÿ. Ïðè ôèêñèðîâàííîìA0kêîíñòàíòûA−1 ,õàðàêòåðèçóþò ðàçíîñòü ìåæäó ñðåäíèìè îò êâàäðàòîâ òî÷íîãîðåøåíèÿGè ãëàâíîãî ÷ëåíà àñèìïòîòèêè.317Äëÿ äàëüíåéøèõ ïðåîáðàçîâàíèé íàì ïîòðåáóåòñÿ ðÿä èíòåãðàëîâ. Âî-ïåðâûõ çàìåòèì, ÷òî∞Z0 1 + √x ∞ 1dx √ = 0.ln |1 − x| 3/2 = −2 √ ln |1 − x| + ln x1− x 0x(4.109)Êðîìå òîãîZ∞0òàê êàêln xln |1 − x| 3/2 dx = 8x∞Z0ln xdx = 2π 2 ,x2 − 1(4.110)[21]Z1∞ln xdx =x2 − 1Z01ln xπ2dx = .x2 − 18Óòî÷íèì òåïåðü ôîðìóëû (4.106), (4.107).Ëåììà 4.14.0S (ξ) =pÏðè ξ → +∞ èìåþò ìåñòî ðàçëîæåíèÿ 1 ln ξ A0 ρk 2/3 kπ 2 A−1σξ −A−1 √ + √ + 5/6 −++O 4/3 ,ξ108k 2/3 ξ 7/6ξξξ 2ξ(4.111)2/321ln ξ1σA0ρkkπ A−1√=+A−−−++−1S 0 (ξ)ξ2ξ 3/2 ξ 3/2 2ξ 11/6108k 2/3 ξ 13/6ξ 1 +O 7/3 .(4.112)ξÄîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó (4.107), (4.109), (4.110)Zξ 0 n ∞ 2 0 0θ(ξ 0 )k o 000 α0ln 1 − G (ξ , η ) dη − χ(ξ , ξ )W (ξ ) − √ 0 dξ =ξ2 ξ−∞−∞Z∞Z ∞ Zkπ 2 A−1ξ 0 n ∞ 2 0 0= √+ln 1 − G (ξ , η ) dη 0 − χ(ξ 0 , ξ α )W (ξ 0 )−ξξ−∞−∞θ(ξ 0 )k h 1A−1 ln ξ 0A0 io 0√ 0+−− 0 3/2 dξ ,(4.113)2(ξ 0 )3/2(ξ )ξ318à èç (4.106), (4.59), (4.91) ñëåäóåò, ÷òî ïðèξ → +∞ k 2/3 ρk 2/3 ln ξ ρ 0= 1/3 + O 4/3 ,S (ξ)ξξ`1 (ξ) =σ54k 2/3 ξ 2/3`2 (ξ) = −+Ou+O243k 2 ξ ln ξ ξ 5/3 ln ξ ξ2(4.114),(4.115).(4.116)Ïîäñòàâëÿÿ (4.113), (4.108), (4.114), (4.115) â (4.102), ïðèξ → +∞ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 1 2ρk 2/3 2kπ 2 A−1σS (ξ) = ξ−2A−1 ln ξ+2A0 + 1/3 − √++O 5/6 ,ξ54k 2/3 ξ 2/3ξξ0îòêóäà íàõîäèì (4.111), (4.112).
Ëåììà äîêàçàíà.Äëÿ äàëüíåéøåãî óòî÷íåíèÿ àñèìïòîòèêèS0âû÷èñëèì ñëåäó-þùèå èíòåãðàëû:Z0∞n 6 ln |1 − x| 18 h 1 (1 + x)2 (1 + x + x2 )dx−ln+ln |1 − x| 11/6 = −5 x5/65 6 (1 − x)2 (1 − x + x2 )x√1 h2x − 12x + 1 iio∞6 3+ √ arctg √+ arctg √π,(4.117) =−05333Z ∞ 1n 11 o∞ln ξ 1ξ 0 dξ 0ln 1 − 0 2 =− ln |1 − x| + ln 1 − = −− +ξ (ξ )ξxx 1/ξξξ1 +O ξ −2 .(4.118)Îáîçíà÷èìdefK(ξ , ξ , k) =0αZ∞G2 (ξ 0 , η 0 ) dη 0 − χ(ξ 0 , ξ α )W (ξ 0 )−−∞A−1 ln ξ 0A0ρk 2/3 ik 2 π 2 A−1θ(ξ 0 )k h 10√ 0+−−−θ(ξ−1).−22(ξ 0 )2(ξ 0 )3/2(ξ 0 )3/2 2(ξ 0 )11/6ξ(4.119)319Òîãäà â ñèëó (4.112), (4.117), (4.118)Zξ 0 n ∞ 2 0 0G (ξ , η ) dη 0 − χ(ξ 0 , ξ α )W (ξ 0 )−ln 1 − ξ−∞−∞∞Zθ(ξ 0 )k h 1A−1 ln ξ 0A0 io 0√ 0+−− 0 3/2 dξ =2(ξ 0 )3/2(ξ )ξ√Z ∞ ξ 0 3 3 πρk 5/3 k 2 π 2 A−10 α0=ln 1 − K(ξ , ξ , k) dξ +−×ξ10 ξ 5/62−∞ ln ξ 1 1 3√3πρk 5/3 k 2 π 2 A ln ξ 1 A∗−1×++O 2 =+− 1+−5/6ξξξ2ξξξ10ξZ ∞h ξ 0 ξ 0 iln 1 − ++K(ξ 0 , ξ α , k) dξ 0 .(4.120)ξξ−∞ÇäåñüdefA∗1 = A∗1 (k, ξ α ) =Ëåììà 4.15.∞Zξ 0 K(ξ 0 , ξ α , k) dξ 0 .(4.121)−∞Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîA∗1 = A1 + O(ξ −∞ ),ξ → +∞,(4.122)ãäåZdef∞nA1 = A1 (k) =Z×0ξ0Z∞kG2 (z, η 0 ) dη 0 dz + θ(ξ 0 ) ×2−∞−−∞Zξ00Z ξ0 2 2h 1A−1 ln zA0ρk 2/3 ik π A−1 o 00√ +dz dξ .− 3/2 − 11/6 dz + θ(ξ )2z 2zz 3/2z2z1(4.123)Äîêàçàòåëüñòâî.