Диссертация (1136178), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêóZ∞t(τ )ϕ3 (τ ) dτ = 0,−∞yè, ñëåäîâàòåëüíî,ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò íà±∞â ñèëó àñèìï-ϕ3 è t. Îäíàêî óðàâíåíèå (4.171) íå ìîæåò èìåòü íåòðèâèàëüíûõ ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùèõ íà ±∞ ðåøåíèé, äëÿ êîòîðûõy 00 y −1 > 0. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òàêîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò, òîòîòèê äëÿíåìåäëåííî ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ:Z∞0<02Z∞U (τ )y 2 (τ ) dτ < 0.(y (τ )) dτ =−∞−∞Ëåììà äîêàçàíà. 2.Ëîêàëèçàöèÿ íà îòðåçêå2.1.Ââåäåíèå ê 2Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (0.51) (0.53) âL2 (R2 )h → 0 ìàëûé ïàðàìåòð, ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ V (x)èìååò âèä ïîòåíöèàëüíîé ÿìû, à ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ V1 (x, z) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ V1 (x, 0) ≡ 0 è ðàñòåò íà áåñêîíå÷íîñòè íå áûñòðåå[65]. Çäåñüñòåïåíè.
Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âû÷èñëèòü àñèìïòîòè÷åñêèåðåøåíèÿg = gn (x, y, h)è íàéòè àñèìïòîòèêó ñîîòâåòñòâóþùåé ñå-ðèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéλ = λn (h)ïðèh→0ènïîðÿäêàh−1 .( À òî÷íåå, ïðè0 < C1 ≤ hn ≤ C2 < ∞,(4.172)338ãäåC1 , C2 íåêîòîðûå êîíñòàíòû.)Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê ïåðåä èíòåãðàëîì â (0.51) ñòîèò ìàëûéïàðàìåòðh1/3 ,íåëèíåéíîñòü â (0.51) ìîæíî ñ÷èòàòü ñëàáîé.Ê çàäà÷å (0.51) (0.53) ïîñëå ïåðåíîðìèðîâêè ñâîäèòñÿ, íàïðèìåð, òàêàÿ çàäà÷à ñ êâàäðàòè÷íîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìîé è ñ ñèëüíîéíåëèíåéíîñòüþ:εZZ−ZZ∞2∂ 2G n++ − a1 ξ 2 − a2 η 2 −22∂ξ∂η ∂ 2Goln[(ξ −ξ ) +(η−η ) ]G (ξ , η ) dξ dη +Λ G = 0,0 20 2−∞∞220ZZ∞0(4.173)(4.174)−∞−∞Äåéñòâèòåëüíî, åñëè â (0.51) âûáðàòüãäå0ηG2 (ξ, η) dηdξ = 0.G (ξ, η) dηdξ = 1,a2 y 2 ,0a1 > 0 , a2 , bV (x) = a1 x2 + b, V1 (x, y 2 ) = êîíñòàíòû, òî ïîñëå çàìåíûx = h1/6 ξ,ε = h2/3 ,y = h1/6 η,g = G(ξ, η)/h1/6 ,Λ = (λ − b)/h1/3 − (ln h)/3ïðèõîäèì ê (4.173), (4.174).
Ïîýòîìó ñåðèÿ cîáñòâåííûõ ÷èñåëλn (h) äëÿ çàäà÷è (0.51) (0.53) ïîçâîëÿåòΛn (ε), n → ∞ äëÿ çàäà÷è (4.173), (4.174).îïðåäåëèòü ñåðèþλ=Λ =Àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ (0.51), ëîêàëèçîâàííûå âáëèçè îòðåçêà[ex− , xe+ ]ïðÿìîéy = 0,áóäóò ïîñòðîåíû èñïîëüçóÿ ìåòîä ñî-xe− , xe+ òî÷êè ïîx− < x+ , óðàâíåíèÿãëàñîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé. Çäåñüâîðîòà, ðàñïîëîæåííûå îêîëî êîðíåéx− , x+ ,λ − V (x) = 0.Äëÿ íàõîæäåíèÿ äèñêðåòíîé ñåðèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéλn (h)λ=çàäà÷è (0.51) (0.53) â 2 áóäåò âûïèñàíî ïðàâèëî êâàíòî-âàíèÿ òèïà ÁîðàÇîììåðôåëüäà (4.301).
Çàäà÷à äëÿ îïðåäåëåíèÿâõîäÿùåé â ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ (4.301) ôóíêöèèS(x, h) èìååò äî-ñòàòî÷íî ñëîæíûé âèä (ñì. (4.290), (4.261), (4.265), (4.267) (4.269)).Íî åñëè îãðàíè÷èòüñÿ íàõîæäåíèåì ÷èñåëλn (h)ëèøü ñ òî÷íîñòüþ339O(n−7/10 ), n → ∞(ãëàâíîå ïðèáëèæåíèå), òî ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿn ∈ N, n → ∞,ôóíêöèè U (x), E(x), àóïðîùàåòñÿ è ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ (0.54).
Çäåñü(òàê, ÷òî âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà (4.172)),òàêæå êîýôôèöèåíòûk0 , Pj (j = 1, 2, 3), Pîïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëà-ìè (0.55), (0.56), (4.322), (4.338), (4.370), (4.374), (0.57).Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (0.54) ñîäåðæèò íåãëàäêóþ ôóíêöèþE(x)è âûâîä ïðàâèëà êâàíòîâàíèÿ (0.54) òðåáóåò î÷åíü ñêðóïóëåç-íûõ îöåíîê.Íà îñíîâå ïîëó÷åííûõ â 2 ðåçóëüòàòîâ â 3 äëÿ óðàâíåíèÿR3Õàðòðè âáóäóò ïîñòðîåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ, ñîñðåäîòî-÷åííûå â ïëîñêèõ äèñêàõ.2.2.ÂÊÁ-àñèìïòîòèêà.
Óðàâíåíèÿ äëÿ àìïëèòóäû èôàçûÏðèñòóïèì ê íàõîæäåíèþ àñèìïòîòè÷åñêèõ ÂÊÁ-ðàçëîæåíèéäëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (0.51). Ýòà àñèìïòîòèêà ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî ðàçëîæåíèÿì ïðèξ → +∞äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (0.45), êî-òîðûå áûëè ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû â 1 ÷åòâåðòîé ãëàâû. Ïîýòîìóìåòîä ÂÊÁ äëÿ (0.51) èçëîæèì çäåñü î÷åíü êðàòêî, îïóñêàÿ äîêàçàòåëüñòâà.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êàïðèx < x0V 0 (x) > 0èïðèx > x0 .x0 ,÷òîV 0 (x) < 0Êðîìå òîãî, ïóñòülim V (x) = +∞.x→±∞U (x),îïðåäåëåííîé ôîðìóëîé (0.55), ñóùåñòâóåò ðîâíî äâå òî÷êè x− , x+ ,x− < x+ , òàêèå, ÷òî U (x± ) = 0, U (x) > 0 ïðè x ∈ (x− , x+ ), U (x) < 0ïðè x < x− , x > x+ .Îïðåäåëèì òî÷êè xe± ∼ x± èç óðàâíåíèÿÌû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèøüU (ex± )−h1/3Z∞0ZÒîãäà ó ôóíêöèè∞2 ln |x −ex± |−∞λ > V (x0 ).g 2 dy 0 dx0 = O(h1+ω ln 1/h),h → 0,−∞(4.175)340ω > 0 êîíñòàíòà, çíà÷åíèå êîòîðîé óêàæåì íèæå. ÂÊÁ-ðàçëîæåíèå äëÿ óðàâíåíèÿ (0.51) áóäåò ïîñòðîåíî ïðè xe− +ε < x < xe+ −ε.γÇäåñü ε = ch , ãäå c > 0 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà, à òî÷íîå çíà÷åíèå êîíñòàíòû γ , 4/9 < γ < 7/15 áóäåò íàéäåíî íèæå ïðè ñîãëàñîãäåâàíèè àñèìïòîòèê.
 óêàçàííîé îáëàñòè àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèåèùåì â âèäåg = h−5/18 T (x, τ1 , h) cos Φ(x, τ1 , h),(4.176)ãäåτ1 = y/h5/9 ,Φ(x, τ1 , h) = S(x, h)/h + h1/9 ϕ(x, τ1 , h).(4.177)S , T , ϕ â (4.176), (4.177) ãëàäêèå, âåùåñòâåííûå, ïðè τ1 →±∞ ôóíêöèÿ T ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à ϕ èìååò ñòåïåííîé ðîñò.Íèæå áóäóò ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ äëÿ àìïëèòóäû T è ôóíêöèé S , ϕ,Ôóíêöèèçàäàþùèõ ôàçó (4.176).Çàìå÷àíèå4.14. Äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé ìû íèãäå ÿâíî íå óêà-çûâàåì çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿgîò ïàðàìåòðàh.Ïîäñòàâèì (4.176), (4.177) â óðàâíåíèå (0.51).
Èìååì: ∂ϕ 2 i1 nh 8/9 ∂ 2 Tg10/9= 5/18 h−h Tcos Φ−h∂y 2∂τ12∂τ1h2∂2h ∂T ∂ϕo∂ 2ϕ i−h 2+ T 2 sin Φ ,(4.178)∂τ1 ∂τ1∂τ1 S02 i21 nh ∂ 2 T2∂ g1/9 ∂ϕh= 5/18−T+hcos Φ−∂x2∂x2h∂xhoh ∂T S 0 S 002 i1/9 ∂ϕ1/9 ∂ ϕ− 2+h+T+hsin Φ =∂x h∂xh∂x2i1 n h0 210/90 ∂ϕ= 5/18 − T (S ) + 2h T Scos Φ−∂xhh ∂Ti ∂ 2T ∂ϕ 2 00020/92− 2 S + T S sin Φ + O h+O h T+∂x∂x2∂x2 o19/9 ∂T ∂ϕ19/9 ∂ ϕ+O h T 2 .(4.179)+O h∂x ∂x∂x341χ = χ(ξ) ∈ C ∞ (R1 ) íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ,χ(ξ) ≡ 1 ïðè ξ < 1/2, χ(ξ) ≡ 0 ïðè ξ > 1. ÎïðåäåëèìÏóñòü÷òîdefχ− (x, ε) = χ (x − xe− )/ε ,Ïîñêîëüêó â îïðåäåëåíèåεdefχ+ (x, ε) = χ (ex+ − x)/ε .âõîäèò ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòàòàêàÿ(4.180)c,ÂÊÁ-àñèìïòîòèêà (4.176) áóäåò ñïðàâåäëèâà è â áîëåå øèðîêîé îáëàñòèx ∈ (ex− + ε/2, xe+ − ε/2).
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âáëèçè òî÷åê xe− , xe+òî÷íîå ðåøåíèå g èçâåñòíî, àíàëîãè÷íî 1 ãëàâû 4 ïîëó÷àåìÏðè x ∈ (ex− + ε, xe+ − ε) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîËåììà 4.24.1/3∞ZZln[(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 ]g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 T (x, τ1 , h) =h−∞1/3=hxe− +εnZ0Z0−∞Z+xe+ −ε/2∞g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 +2 ln |x − x |χ− (x , ε)−∞ln |x − x0 | 1 − χ− (x0 , ε) − χ+ (x0 , ε)∞0Z0xe+ −εT 2 (x0 , τ10 , h) dτ10 dx0 +∞2 ln |x − x |χ+ (x , ε)+20000og (x , y ) dy dx T (x, τ1 , h)+−∞8/9∞Z+πh−∞|τ1 − τ10 |T 2 (x, τ10 , h) dτ10 T (x, τ1 , h) + r.Îñòàòî÷íûé ÷ëåí r â∞−∞xe− +ε/2ZZ13/9∞2äîïóñêàåò îöåíêó∞(τ1 − τ10 )2 001−χ(x,ε)−χ(x,ε)×v.p.−+0 2−∞−∞ (x − x )Zr=O h(4.181)(4.181)0×T (xZ, τ10 , h)xe− +ε Z ∞−T2(x, τ10 , h)dx0dτ10 T (x, τ1 , h)+(y − y 0 )202 0 000+O hχ (x , ε)g (x , y ) dy dx T (x, τ1 , h) +0 2 −−∞−∞ (x − x )Z ∞ Z ∞(y − y 0 )21/302 0 000+O hχ (x , ε)g (x , y ) dy dx + T (x, τ1 , h) +0 2 +xe+ −ε −∞ (x − x )1/3Z3421/3xe+ −ε/2 Z ∞Z+O h−∞xe− +ε/2ln[(x − x0 )2 + h10/9 (τ1 − τ10 )2 ] 1 − χ− (x0 , ε)− 2 0 00 000−χ+ (x , ε) T (x , τ1 , h) cos 2Φ(x , τ1 , h) dτ1 dx T (x, τ1 , h) .0(4.182)Äàëåå, ïîäñòàâèì (4.178), (4.179), (4.181), (4.182) â óðàâíåíèå(0.51).
ÍàõîäèìÈìååò ìåñòî ðàâåíñòâîËåììà 4.25. ∂ϕ 2 ih210/90 ∂ϕ10/90 28/9 ∂ T+ 2h T S+h Tcos Φ−− (S ) T − h∂τ12∂x∂τ1h ∂T ∂ϕi∂ 2ϕ∂T 000−h 2+ T 2 + 2 S + T S sin Φ+∂τ1 ∂τ1∂τ1∂xZ xe+ −ε/2nh1/3+ U −hj− +ln |x − x0 | 1 − χ− (x0 , ε) − χ+ (x0 , ε) ×xe− +ε/2Z∞2×0T (x , τ−∞8/9Z0, h) dτ10 dx0∞−πh|τ1 −−∞τ10 |T 2 (x, τ10 , h) dτ10i+ j+ −oT cos Φ + r∗ = 0,(4.183)ãäå x ∈ (ex− + ε, xe+ − ε),defxe− +εZj− (x, h) =00Z−∞defZ∞g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 ,2 ln |x − x |χ− (x , ε)−∞∞00Z∞2 ln |x − x |χ+ (x , ε)j+ (x, h) =(4.184)xe+ −εg 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 ,(4.185)−∞2 T19/9 ∂T ∂ϕ19/9 ∂ ϕ+O h+O h T 2 +r =O h∂x2∂x ∂x∂x ∂ϕ 2 20/910/9 2+O h T+ O h τ1 T + O(r).(4.186)∂x∗2∂2Ïðèðàâíèâàÿ ê íóëþ â (4.183) âûðàæåíèå ïåðåäsin Φ, ïîëó÷àåìóðàâíåíèå∂ 2 ∂ϕ ∂T+T 2 S 0 (x, h) = 0.∂τ1∂τ1∂x(4.187)343Òàê êàê ïðè|τ1 | → ∞ôóíêöèÿTðàñòåò ëèøü ñòåïåííûì îáðàçîì, òîýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, àlim|τ1 |→∞ T 2 ∂ϕ/∂τ1 = 0,ϕè, ñëå-äîâàòåëüíî, óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè (4.187) áóäåò ðàâåíñòâî∞ZT 2 (x, τ1 , h) dτ1 = k/S 0 (x, h),(4.188)−∞ãäåk êîíñòàíòà.cos ΦÎáðàòèì òåïåðü â íóëü ñëàãàåìûå ïåðåäýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùàÿ ïðèòàêæåL(x, h)=hàìïëèòóäàT (x, τ1 , h),àóäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∂ 2T(x, τ1 , h) − π∂τ122/9|τ1 | → ∞â (4.183).
ÏóñòüZ∞|τ1 −−∞τ10 |T 2 (x, τ10 , h) dτ10+ L(x, h) T (x, τ1 , h) =h ∂ϕ2i∂ϕ0(x, τ1 , h) + 2S (x, h) (x, τ1 , h) T (x, τ1 , h),∂τ1∂x(4.189)à òàêæå óñëîâèþ (4.188). Òîãäà äëÿ íàõîæäåíèÿS(x, h)ïîëó÷àåìóðàâíåíèå0 21/3−(S ) + U (x) − hhZxe+ −ε/2ln |x − x0 | 1 − χ− (x0 , ε) − χ+ (x0 , ε) ×xe− +ε/2ik0× 0 0dx + j− + j+ + h8/9 L(x, h) = 0S (x , h)(óðàâíåíèå äëÿ ôàçû). Çäåñü(4.185),x ∈ (ex− + ε, xe+ − ε).Òåîðåìà 4.6.j− , j+(4.190)çàäàíû ôîðìóëàìè (4.184),ÄîêàçàíàÏóñòü ôóíêöèè S(x, h), T (x, τ1 , h), ϕ(x, τ1 , h), L(x, h)óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì(4.187) (4.190).Òîãäà ïðè x ∈ (ex− +ε, xe+ − ε) ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå (4.176) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ∗∗(0.51) ñ òî÷íîñòüþ r , ãäå r èìååò âèä (4.186).Çàìå÷àíèå4.15.
Óðàâíåíèÿ, ïîäîáíûå (4.190), âîçíèêàþò ïðè èçó-÷åíèè êîíòàêòíûõ çàäà÷ â òåîðèè óïðóãîñòè[1].344Äàëåå îïðåäåëèì cos-àìïëèòóäóB(x, τ1 , h) = T (x, τ1 , h) cos(h1/9 ϕ(x, τ1 , h))(4.191)è sin-àìïëèòóäóI(x, τ1 , h) = −T (x, τ1 , h) sin(h1/9 ϕ(x, τ1 , h)).(4.192)Îíè ïîçâîëÿþò çàïèñàòü ðàâåíñòâî (4.176) â âèäåg(x, y) = h−5/18 (B(x, τ1 , h) cos(S(x, h)/h) + I(x, τ1 , h) sin(S(x, h)/h)).(4.193)Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òåõíè÷åñêè áîëåå óäîáíî ñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèåðàçëîæåíèÿ íå äëÿ ïàðûâûðàæàþòñÿTèϕ.T , ϕ,à äëÿ ôóíêöèéB, I ,÷åðåç êîòîðûåÍèæå ìû ïîëó÷èì çàäà÷ó äëÿ íàõîæäåíèÿ cos-è sin- àìïëèòóä.ÏóñòüS(x, h)óäîâëåòâîðÿåò (4.190).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
