Диссертация (1136178), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Òîãäà,ïîäñòàâëÿÿ â (4.234) ïðè |x − xe− | < 2ε âìåñòî g ôóíêöèþ g− , äëÿíàõîæäåíèÿ g− ïîëó÷àåì óðàâíåíèå1+ω2h ∂ 2g−2∂x∂ 2 g− n++ Ω− (x − xe− )−∂y 23551/3ZZ∞−hlnh (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 i(x0 − xe− )2−∞2g−(x0 , y 0 ) dy 0 dx0og− = 0,(4.235)ãäådefΩ− = U 0 (ex− ) + 2h1/3Z∞(1 − χ∗− (x0 , ε))(x0 − xe− )xe− +εZ∞g 2 (x0 , y 0 )−−∞2−g−(x0 , y 0 ) dy 0 dx0 + O(h4/9+ω1 ).(4.236)Ïðè ýòîì â óðàâíåíèè (4.234) âîçíèêàåò íåâÿçêàn121+ωr− = O (x − xe− ) + O hln+ O(y 2 ) + O h4/9+ω1 (x − xe− ) +hZ ∞Z ∞0∗(x,ε))(1−χ−+O h1/3 (x − xe− )2g 2 (x0 , y 0 )−0−x2(xe)−xe− +ε−∞Z xe− +4ε 0 020 01/30−g− (x , y ) dy dx + O h1 − χ∗− (x0 , ε) χ∗∗− (x , ε)×xe− +ε∞ 0 0(y − y 0 )2 i 2 0 020 0g (x , y ) − g− (x , y ) dy dx +×ln 1 +(x − x0 )2−∞ZZ ∞ ∞ (y − y 0 )2 2 0 0∗∗ 01/31 − χ− (x , ε)+O hg (x , y )−0 2−∞ (x − x )xe− +2ε 0 0 o20 0−g− (x , y ) dy dx g− .(4.237)ZÇäåñühdef(x,ε)=χ(x−xe)/4ε.|x − xe− | < 2ε, χ∗∗−−Çàìå÷àíèå4.19.
Ïîïðàâêà ïîðÿäêàh1/3â (4.236) îòðàæàåò íåëî-êàëüíîñòü çàäà÷è (0.51) (0.53) è õàðàêòåðèçóåò âëèÿíèå ðåøåíèÿgx>xe− + ε íà óðàâíåíèå (4.235) äëÿ g− , ïðè÷åì îïðåäåëÿåìàÿýòèìè óðàâíåíèÿìè ôóíêöèÿ g− ïðèáëèæàåò g ëèøü âáëèçè xe− .ïðèÍàêîíåö, ïîñëå çàìåíû (4.231), (4.232) â (4.235), ïîëó÷àåìËåììà 4.33.Âõîäÿùàÿ âìîäåëüíîìó óðàâíåíèþ(4.231)(0.45).ôóíêöèÿ G− (ξ, η) óäîâëåòâîðÿåò356Àíàëîãè÷íî, ïðè|x − xe+ | < 2ε1/6 2 ∂G+g = g+ (x, y) + O hξ−1/6+ω+O h∂ξðåøåíèå (0.51) èùåì â âèäå−1/6+ω+O h1 G+ ln+h (1 + |ξ|)1 ∂G+ −1/18+ω1 ∂G+ln+O hξ,h ∂ξ∂ξãäå√2/3Ω+ G+ (ξ, η)/g+ (x, y) =pξ = (ex+ − x) 3 Ω+ /h2/3 ,η=yh,(4.238)p3Ω+ /h2/3 ,(4.239)à êîíñòàíòàdefΩ+ = −U 0 (ex+ ) + 2h1/3Zxe+ −ε−∞Z∞×−∞Çäåñü(1 − χ∗+ (x0 , ε))×(ex+ − x0 )2g 2 (x0 , y 0 ) − g+(x0 , y 0 ) dy 0 dx0 + O(h4/9+ω1 ).defx+ − x)/2ε , h → 0.χ∗+ (x, ε) = χ (eÒîãäà, åñëè(4.240)G+ (ξ, η)ÿâëÿ-åòñÿ ðåøåíèåì ìîäåëüíîãî óðàâíåíèÿ (0.45), òî ïðè ïîäñòàíîâêå â(0.51) ïðè|x − xe− | < 2εâìåñòîgôóíêöèèg+âîçíèêàåò íåâÿçêàn121+ωr+ = O (ex+ − x) + O hln+ O(y 2 ) + O h4/9+ω1 (ex+ − x) +hZ ∞∗0(1−χ(x,ε))−+O h1/3 (ex+ − x)2g 2 (x0 , y 0 )−02(ex+ − x )−∞−∞Zxe+ −ε 0 020 01/30−g+ (x , y ) dy dx + O h1 − χ∗+ (x0 , ε) χ∗∗+ (x , ε)×Zxe+ −εxe+ −4ε∞h 0 0(y − y 0 )2 i 2 0 020 0ln 1 +g(x,y)−g(x,y)dy dx ++0 )2(x−x−∞Z xe+ −2εZ ∞(y − y 0 )2 2 0 01/3∗∗ 0+O hg (x , y )−1 − χ+ (x , ε)0 2−∞−∞ (x − x ) 0 0 o20 0−g+ (x , y ) dy dx g+ ,(4.241)Z×ãäådefχ∗∗(x,ε)=χ(ex−x)/4ε.++357g− , g+ îñòàåòñÿ óêàçàòü âûáîð ðå(0.45) G− (ξ, η), G+ (ξ, η), ÷åðåç êîòî-Äëÿ çàâåðøåíèÿ ïîñòðîåíèÿøåíèé ìîäåëüíîãî óðàâíåíèÿg− , g+ .
Íèæå áóäóò çàïèñàíû ôîðìóëû äëÿ àñèìï1/6òîòèê ôóíêöèé G± (ξ, η) ïðè ξ → +∞, η = O ξ(ln ξ)2/3 è óêàçàíûðûå âûðàæàþòñÿçíà÷åíèÿ âõîäÿùèõ â íèõ êîíñòàíò. Çàäàíèå ýòèõ àñèìïòîòèê ïîçâîëÿåò âûáðàòü ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùèå ïðèïðèξ → −∞ðåøåíèÿG− (ξ, η)èG+ (ξ, η)|η| → +∞,à òàêæå(ýéðè-ïîëÿðîíû). 1 ÷åòâåðòîé ãëàâû äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (0.45) ïðè+∞, η = O ξ 1/6 (ln ξ)2/3ξ →áûëè ïîñòðîåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëî-æåíèÿ âèäàe + ϕ(ξ,G(ξ, η) = Te(ξ, η) cos S(ξ)e η) .(4.242)Ñïðàâåäëèâà (ñì. 1 ÷åòâåðòîé ãëàâû )Ëåììà 4.34. ôîðìóëå(4.242)ôóíêöèÿe = S0 (ξ) + O(ξ −2/3 ),S(ξ)ξ → +∞,(4.243)ãäåpp2 3/2eek 2/3 ξ 1/6 −S0 (ξ) = ξ − A−1 (k) ξ(2 ln ξ − 4) + 2A0 (k) ξ + 3ρe3√9σ3 πρek 5/32ee−kπ A−1 (k) ln ξ + δ −++10 ξ 1/318ek 2/3 ξ 1/6heA2−1 (ek)k 2 π 2 i A−1 (ek)2e√ (2 ln ξ + 4)−+ √ [(ln ξ) + 4 ln ξ + 8] − A0 (k) +2ξξhiu1− ek 2 π 2 A−1 (ek) + 2A1 (ek) −− A20 (ek) √ ,(4.244)2eξ243kAj = Aj (ek) (j = −1, 0, 1) îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (4.103), (4.104),(4.123);δ êîíñòàíòà (ñäâèã ôàçû), ρ = ρi , i = 1, 2, .
. . ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è (0.46), (0.47). Êîíñòàíòû σ = σi , u = uiîïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (4.58), (4.99), à ôóíêöèÿ θ ôîðìóëîé(4.105).358Çàìå÷àíèå4.20. Ôîðìóëû äëÿTeèϕe ïðèâåäåíûÄëÿ îäíîçíà÷íîãî çàäàíèÿ àñèìïòîòèêèGâ 1 ãëàâû 4.äîñòàòî÷íî óêàçàòüíàòóðàëüíîå ÷èñëî i, óïîðÿäî÷èâàþùåå ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (0.46), (0.47), à òàêæå çíà÷åíèå ïàðàìåòðàñèìîñòè îò òîãî, âáëèçè îò êàêîé èç òî÷åêekòîòèêà, áóäåì âìåñòîïèñàòüek−èëèxe− , xe+ek. çàâè-ñòðîèòñÿ àñèìï-ek+ .G− (ξ, η) è G+ (ξ, η)1/6ïðè ξ → +∞, η = O ξ(ln ξ)2/3 èìåëè àñèìïòîòèêè (4.242) ñ òåìæå íîìåðîì i, ÷òî è ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ (4.176). Êðîìå òîãî, ïóñòüäëÿ G− (ξ, η) ïàðàìåòð4/3ek− = k/Ω− ,(4.245)Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (0.45)à äëÿG+ (ξ, η)4/3ek+ = k/Ω+ ,ãäåkÇäåñü(4.246) êîíñòàíòà, âõîäÿùàÿ â ðàçëîæåíèå (4.176) (ñì.
(4.188)).Ω− , Ω+îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (4.236), (4.240).ek− , ek+ .Ïîÿñíèì âûáîððåñòíîñòü òî÷êèxe− .Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàññìîòðèì îê-Àñèìïòîòèêóg− (x, y)ìîæíî çàïèñàòü â âèäå S (x, h)−1/9+ h ϕ− (x, τ1 , h) ,g− (x, y) = 5/18 T− (x, τ1 , h) coshh1àíàëîãè÷íîì (4.176). ÇäåñüZk−x>xe− + ε, τ1 = y/h5/9 ,∞−∞ãäå(4.247)T−2 (x, τ1 , h) dτ1 = k− /S−0 (x, h),(4.248) êîíñòàíòà.  ñèëó ôîðìóë (4.231), (4.242)2/3T− (x, τ1 , h) = h−2/9 Ω− Te(ξ, η),eS− (x, h) = hS(ξ),(4.249)h1/9 ϕ− (x, τ1 , h) = ϕ(ξ,e η).Ïîñêîëüêó ( ñì. 1 ãëàâû 4 )Z∞−∞Te2 (ξ, η) dη = ek− /Se0 (ξ),(4.250)359òî èç (4.248), (4.249), (4.232) âûòåêàåò, ÷òî∞Z−∞4/3T−2 (x, τ1 , h) dτ1 = ek− Ω− /S−0 (x, h).(4.251)g , g− ñëåäóåò ïîòðåáîâàòü ñîâïðè x − xe− ïîðÿäêà ε (â ïðåäåëàõÄëÿ ñîãëàñîâàíèÿ àñèìïòîòèêïàäåíèÿ ôîðìóë (4.176) è (4.247)òî÷íîñòè ðàçëîæåíèé).
 ÷àñòíîñòè, äîëæíû ñîâïàäàòüZ∞Z2T (x, τ1 , h) dτ1∞ñ−∞−∞T−2 (x, τ1 , h) dτ1 ,àS 0 (x, h)ñS−0 (x, h).Ñðàâíèâàÿ (4.188) è (4.251), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (4.245).2.5.Çàäà÷à äëÿ ôàçûÏîäñòàâèì â ðàâåíñòâà (4.190), (4.197), (4.175), (4.236), (4.240)âáëèçè òî÷åêøåíèég− , g+xe− , xe+âìåñòîgâûðàæåíèÿ äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðå-è âûðàçèì âîçíèêàþùèå èíòåãðàëû ÷åðåçSe0 (ξ)è âõî-äÿùèå â (4.244) êîíñòàíòû.
 ðåçóëüòàòå áóäåò ïîëó÷åíà çàäà÷à äëÿS(x, h) (S(x, h) ýòî ôàçà ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿêîíñòàíò k , xe− , xe+ , Ω− , Ω+ .íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè(4.193)), à òàêæåÍà÷íåì ñ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (4.197). Èñïîëüçóÿ(4.243), (4.244), à òàêæå ôîðìóëó Òåéëîðà, èìååì 1 = H(ξ) + O 8/3 ,ξSe0 (ξ)1ξ → +∞,(4.252)ãäå ôóíêöèÿ2/3ek± )ρek±k± π 2 A−1 (ek± )ln ξ A0 (edef 1eH(ξ) = √ + A−1 (k± ) 3/2 − 3/2 − 13/6 +−ξ2ξξ2ξξ−σ2/3108ek± ξ 13/6√5/32 2iek±π3 3 πρek±3 2 e (ln ξ)2 he++A(k)−3A(k)+×±0±10 ξ 7/32 −12ξ 5/2360iln ξ1 he2 2u2 eeee− 3A0 (k± )×A−1 (k± ) 5/2 − 5/2 k± π A−1 (k± ) + 2A1 (k± ) −2ξ2ξ243ek±(4.253)â îòëè÷èå îò1/S00 (ξ)íå èìååò îñîáåííîñòåé ïðèξ > 0.ÎïðåäåëèìZ ∞ek1def±ee√ − θ(ξ − 1)H(ξ) dξ =D−1 (k± ) = A−1 (k± ) +2 0ξZ∞=−∞Çàìå÷àíèå∞Z−∞G2± (ξ, η) dη4.21.
Ôóíêöèÿek±− θ(ξ − 1)H(ξ) dξ.2D−1 (ek),òàêæå, êàê èA−1 (ek),(4.254)õàðàêòåðè-çóåò áëèçîñòü ñðåäíèõ ñåìåéñòâà òî÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (0.45)è àñèìïòîòèê (4.242).Èçó÷èì âõîäÿùèå â (4.197) èíòåãðàëû.Ëåììà 4.35.Ïðè h → 0 ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàxe− +εZZχ− (x, ε)−∞=2/3h1/3 Ω−−∞e−ZhD−1 (ek− ) +∞χ+ (x, ε)=h1/32/3Ω+h−∞Ze+D−1 (ek+ ) +1(4.255)∞Zxe+ −ε2g−(x, y) dydx =iek− ξ χH(ξ) dξ + O(h13/9 /ε5/3 ),2e−1Z∞2g+(x, y) dydx =iek+ ξ χH(ξ) dξ + O(h13/9 /ε5/3 ),2e+(4.256)ãäåpe± = ε 3 Ω± /h2/3 ,(4.257)χ = χ(ξ) ∈ C ∞ (R1 ) íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, òàêàÿ, ÷òîχ(ξ) ≡ 1 ïðè ξ < 1/2, χ(ξ) ≡ 0 ïðè ξ > 1.Äîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó (4.231), (4.232), (4.254), (4.250) èìååìZxe− +ε−∞Z∞χ− (x, ε)−∞2g−(x, y) dydx =361 ξ Z ∞=hχG2− (ξ, η) dηdξ =e− −∞−∞Z e− eZ ∞ h ξ kξ−1/3 2/3eχH(ξ) dξ +1−χ×= h Ω− D−1 (k− ) +e− 2e−1e− /2Zh eieek−k− ∞ e2k−e×+T (ξ, η) cos 2(S(ξ) + ϕ(ξ,e η)) dη − H(ξ) dξ.2 −∞22Se0 (ξ)1/32/3Ω−Ze−Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì â ñîäåðæàùåìcos 2(Se + ϕ)e èíòåãðàëå, à òàêæåèñïîëüçóÿ (4.252), ïðèõîäèì ê (4.255). Ôîðìóëà (4.256) äîêàçûâàåòñÿàíàëîãè÷íî.
Ëåììà äîêàçàíà.Ñ ó÷åòîì (4.255), (4.256) ðàâåíñòâî (4.197) ïðèíèìàåò âèä2/3h1/3 Ω−he−ZD−1 (ek− ) +1Z+xe+ −ε/2iek− ξ H(ξ) dξ +χ2e−1 − χ− (x, ε) − χ+ (x, ε)xe− +ε/2Zkdx+2S 0 (x, h)e+iek+ ξ H(ξ) dξ = 1 + O(h13/9 /ε5/3 )+χ2e+1Z ∞ Z xe+ −ε/2+O(1 − χ− (x, ε) − χ+ (x, ε))T 2 (x, τ1 , h)×2/3+h1/3 Ω+hD−1 (ek+ ) +−∞xe− +ε/2× cos 2Φ(x, τ1 , h) dτ1 dx ,h → 0.(4.258)Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî â îáëàñòè ñîãëàñîâàíèÿ àñèìïòîòèêx−xe− = chγ , ãäå c > 0 êîíñòàíòà, âõîäÿùèå â (4.176) è00(4.247) ôóíêöèè S (x, h) è S− (x, h) ñîâïàäàþò.
Áîëåå òî÷íî, â îáëàïðèñòè ñîãëàñîâàíèÿ22S 0 (x, h) − S−0 (x, h) = O (x − xe− )2 + O h1+ω ln 1/h ++O h4/9+ω1 (x − xe− ) .Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèå äëÿ(4.190) äëÿ ôàçû çàìåíîéU (x)S−0 (x, h)(4.259)ïîëó÷àåòñÿ èç óðàâíåíèÿëèíåéíîé ôóíêöèåé. Íî ïðè ýòîìâîçíèêàåò êàê ðàç óêàçàííàÿ â (4.259) ïîãðåøíîñòü (ñì. âûâîä óðàâ-362íåíèÿ (4.235); ïîãðåøíîñòü â (4.259) ïîçâîëÿåò îöåíèòü âñå îòáðîøåííûå ïðè ýòîì ñëàãàåìûå). Òàê êàêS−0 (x, h) ∼pΩ− (x − xe− ),òîèç (4.259) íàõîäèì h1+ω ln 1/h 111/2=+ O (x − xe− )+O+S 0 (x, h) S−0 (x, h)(x − xe− )3/2 h4/9+ω1 +O p,x−xe−Çàìå÷àíèåh → 0.(4.260)4.22. Íèæå, êîãäà áóäåò âûïèñàíà çàäà÷à äëÿ ôàçû, ôîð-S 0 (x, h) âáëèçèòî÷êè xe− +ε. Òî÷íûå çíà÷åíèÿ êîíñòàíò ω > 0, ω1 > 0 áóäóò óêàçàíûìóëà (4.260) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà êàê àñèìïòîòèêàâ çàìå÷àíèè 4.24.Èñïîëüçóÿ (4.260), (4.252), (4.249), à òàêæå àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû âáëèçè1/3hxe+ , èñêëþ÷èì ðàçáèåíèå åäèíèöû èç (4.258).
Ïîëó÷àåì:2/3Ω−e−ZhD−1 (ek− ) +12/3+h1/3 Ω+hZe+D−1 (ek+ )+1i Z xe+ −ε k dxek−H(ξ) dξ ++02xe− +ε 2S (x, h)iek+H(ξ) dξ = 1+r1 ,2h → 0,(4.261)ãäår1 = O h13/9 ε5/33/2+ O(ε h1+ω 1 √+ O(h4/9+ω1 ε).) + O √ lnhεÌàëîñòü ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî â (4.258) äîêàçûâàåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì.Ïðåîáðàçóåì ñîîòíîøåíèÿ (4.175). ÎïðåäåëèìZ ∞ 1ekdef±eeD0 (k± ) = A0 (k± ) +ln |ξ| √ − θ(ξ − 1)H(ξ) dξ =2 0ξZ∞=−∞Zln |ξ|∞−∞G2± (ξ, η) dηek±− θ(ξ − 1)H(ξ) dξ.2Àíàëîãè÷íî ëåììå 4.35. ïðîâåðÿåòñÿ(4.262)363Ëåììà 4.36.ZÏðè h → 0 èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâàxe− +ε−∞Zχ− (x, ε) ln |x − xe− |∞−∞2g−(x, y) dydx =e− h2/3 ek− ξ χ(ln |ξ|)H(ξ) dξ + ln √=h×32eΩ−−1Zio h13/9 1 he− ek− ξ eχH(ξ) dξ + O 5/3 ln , (4.263)× D−1 (k− ) +2e−hε1Z ∞Z ∞2χ+ (x, ε) ln |x − xe+ |g+(x, y) dydx =1/32/3Ω−ZnD0 (ek− ) +xe+ −ε=2/3h1/3 Ω+n−∞D0 (ek+ ) +e+Zh× D−1 (ek+ ) +1e+ h2/3 ek+ ξ χ(ln |ξ|)H(ξ) dξ + ln √×32e+Ω+1io h13/9 1 ek+ ξ H(ξ) dξ + O 5/3 ln .χ2e+hεZÏîäñòàâèì â (4.175) âìåñòîgôîðìóëû äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîãîðåøåíèÿ.
Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì â ñîäåðæàùåì áûñòðî îñöèëëèðóþùóþ ôóíêöèþ èíòåãðàëå è ó÷èòûâàÿ (4.188), ïîëó÷àåì1/3U (ex− ) − 2hnZxe− +ε−∞Z+xe+ −ε/2∞Zχ− (x, ε) ln |x − xe− |−∞2g−(x, y) dydx+1 − χ− (x, ε) − χ+ (x, ε) ln |x − xe− |xe− +ε/2Z∞Z∞k dx+2S 0 (x, h)1= O(h1+ω ln )+hxe+ −ε−∞Z ∞Z ∞1/32+O h(x − xe+ )χ+ (x, ε)g+ (x, y) dydx .(4.264)+ ln |ex+ − xe− |χ+ (x, ε)o2g+(x, y) dydxxe+ −ε−∞ÇäåñüZ∞xe+ −εZ(x − xe+ )χ+ (x, ε)∞−∞2g+(x, y) dydx= O(ε3/2 ),=Oε → 0.Zxe+xe+ −εpx−xe+ dx =364Îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàâåíñòâàìè (4.263), (4.256) è èñêëþ÷èòüèç (4.264) ðàçáèåíèå åäèíèöû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
