Диссертация (1136178), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Èíòåãðèðóÿ â (4.121) ïî ÷àñòÿì, èìååì0ZA∗1=ξZ00Zξ000000−∞Z∞=−−∞2∞Zξ 0 K(ξ 0 , ξ α , k) dξ 0 =G (ξ , η ) dη dξ +−∞Z∞−∞G2 (z, η 0 ) dη 0 dzdξ 0 −0Z0∞ Z ξ00K(z, ξ α , k) dzdξ 0 .320Âîñïîëüçîâàâøèñü äàëåå îöåíêîéZ∞ Z ξ0χ(z, ξ α )W (z) dzdξ 0 = O(ξ −∞ ),ξ → +∞,ξα0äëÿ èíòåãðàëà îò áûñòðî îñöèëëèðóþùåé ôóíêöèè, ïðèõîäèì ê(4.122). Ëåììà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèåèGA0 ,4.9.
Ïðè ôèêñèðîâàííîìkêîíñòàíòàA1 ,íàðÿäó ñA−1õàðàêòåðèçóåò ðàçíîñòü ìåæäó ñðåäíèìè îò òî÷íîãî ðåøåíèÿè àñèìïòîòèêè.Îöåíèì, íàêîíåö, ïîñëåäíèé èíòåãðàë â (4.120). Ó÷èòûâàÿ(4.112), à òàêæå ñîîòíîøåíèåZ∞−∞hln |1 − x| + x = O(x2 ), x → 0,èìååìξ 0 ξ 0 iln 1 − +K(ξ 0 , ξ α , k) dξ 0 =ξξ1∞ ξ 0 ξ 0 dξ 0=O 2(ξ ) |K(ξ , ξ , k)| dξ +O ln 1− + 0 13/6 +ξ −∞ξξ (ξ )1 1 Z 2ξ α10 20 α00+O 2(ξ ) 1 − χ(ξ , ξ ) W (ξ ) dξ = O 2 +ξ 1ξZ 11 1 ∞ dx ln |1 − x| + x 13/6 + O 2 = O 7/6 , ξ → +∞.+O 7/6ξξxξ1/ξ1 Z0 20α0Z(4.124)Ôîðìóëû (4.120), (4.122), (4.124), (4.116) ïîçâîëÿþò çàïèñàòüðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.100) â âèäå2ρk 2/3 2kπ 2 A−1σS (ξ) = ξ − 2A−1 ln ξ + 2A0 + 1/3 − √+−ξ54k 2/3 ξ 2/3ξ0√ 1 3 3 πρk 5/3ln ξ D2 2−+ k π A−1+ + O 7/6 , ξ → +∞, (4.125)5 ξ 5/6ξξξdef 2 22ãäå D = k π A−1 + 2A1 − u/(243k ).
Àñèìïòîòèêà (4.125) ïîëó÷åíàñ òîé æå òî÷íîñòüþ, ÷òî è ñàìî óðàâíåíèå (4.100).321Ïî ôîðìóëå Òåéëîðà èç (4.125) íàõîäèì0S (ξ) =pln ξA0ρk 2/3 kπ 2 A−1σ√√ξ − A−1++ 5/6 −−+ξ108k 2/3 ξ 7/6ξξ 2ξ√3 3 πρk 5/3 A2−1 (ln ξ)2 hk2π2 iln ξ (D − A20 ) 1−−+ A0 +A−1 3/2 ++10 ξ 4/32 ξ 3/222ξξ 3/2−5/3+O ξ,ξ → +∞.(4.126)Èíòåãðèðóÿ (4.126), ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå (0.50). Çäåñüδ = δ(k) êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ (ñäâèã ôàçû).Èòàê, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 4.3.Ôîðìóëà(0.50)îïðåäåëÿåò àñèìïòîòèêó ôàçû Sýéðè-ïîëÿðîíà.1.5.Îöåíêà îñòàòî÷íûõ ÷ëåíîâ. Ôîðìóëèðîâêà îñíîâíîéòåîðåìûB , I , S , à,T , ϕ, S íàéäåíû.Èòàê, àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ äëÿ ôóíêöèéçíà÷èò, è äëÿ âõîäÿùèõ â ôîðìóëó (4.4) ôóíêöèéÄàëåå ìû îöåíèì íåâÿçêó, âîçíèêàþùóþ ïðè ïîäñòàíîâêå àñèìïòîòè÷åñêîãî ýéðè-ïîëÿðîíà (4.4) â óðàâíåíèå (4.12).
Íåâÿçêà ñîäåðæèòíåñêîëüêî òèïîâ èíòåãðàëîâ, òðåáóþùèõ îòäåëüíîãî èçó÷åíèÿ.  ðåçóëüòàòå, áóäåò îïðåäåëåíî ñ êàêîé òî÷íîñòüþ ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ(4.21), (4.22), (4.100) äëÿB, IèS.Ïðè îöåíêå íåâÿçêè âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ïðèi ≥ 0, j ≥ 0ôóíêöèèτidj t(τ )dτ j(4.127)îãðàíè÷åíû.  ñèëó ôîðìóë (4.19), (4.20), (4.31), (4.32), (4.40),(4.106) ïðèξ → +∞èìååì ñëåäóþùèå àñèìïòîòèêè: 1 ∂ 2T00= O y (ξ) = O 7/3 ,∂ξ 2ξ(4.128)322 (S 000 )2 1 ∂ϕ 2 0T=O y 4= O 8/3 ,=O T∂ξ∂ξβξ ∂T ∂ϕ S 000 1 ∂T ∂ϕ00=O= O y 2 = O 5/2 ,∂ξ ∂ξ∂ξ ∂ξβξ ∂ 2ϕ S IV 1 ∂ 2ϕ0T 2 =O T= O y 2 = O 5/2 .∂ξ∂ξ 2βξ ∂ϕ 2Äàëåå îöåíèì ñëàãàåìîåξ → +∞1ξξ2/3rT ,ãäår(4.130)(4.131)çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì (4.11). Ïðèïîëó÷àåì∞ y3 1 (η − η ) T (ξ, η ) dη T (ξ, η) = O= O 3/2 ,3ξβξ−∞Z(4.129)0 2200(4.132)∞ 1 2 00 ∂2 2002/3 (y ) yT (ξ, η ) dη T (ξ, η) = O ξ= O 11/6 ,(η−η )∂ξ 2β3ξ−∞Z0 2Z∞Z2ξ α(4.133)1(η − η 0 )2G2 (ξ 0 , η 0 ) dξ 0 dη 0 T (ξ, η) =2ξ −∞−∞ZZ 2ξ α 21 ∞B0 0 00 200(η − η )(ξ , η ) dξ dη T (ξ, η) +=O 2ξ −∞21ZZα ∞2ξB02 (ξ 0 , η 0 ) 0 0 T (ξ, η) 0 22 0 00+O(η −η )]dξ dη=[G (ξ , η )−θ(ξ −1)2ξ2−∞−∞ y(ξ) Z 2ξ α y 2 (ξ 0 ) y(ξ) Z 2ξ α y 2 (ξ 0 ) y 00=O 2 2dξ + Odξ + O 2 2 =ξ β (ξ) 1β(ξ 0 )ξ 2 1 β 3 (ξ 0 )ξ β1 1 1 1(4.134)= O 2−α/2 + O 7/3−5α/6 + O 2 = O 3/2 .ξξξξÇäåñü0 < α < 1.Çàìå÷àíèå4.10.
 (4.134) âõîäÿò ôóíêöèèy(ξ), β(ξ), ðàññìàòðèα0âàåìûå íà îòðåçêå [1, 2ξ ]. Îíè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç S (ξ) ïî ôîðìó0ëàì (4.32). Ïîýòîìó ôóíêöèÿ S (ξ) òàêæå äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà0ïðè ξ ≥ 1 (äî ñèõ ïîð áûëà íàéäåíà ëèøü àñèìïòîòèêà S (ξ) ïðèξ → +∞). Ïîñêîëüêó àñèìïòîòèêà âõîäÿùèõ â (4.134) èíòåãðàëîâ00îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì S (ξ) ïðè ξ → +∞, à çíà÷åíèÿ S (ξ) ïðè0êîíå÷íûõ ξ äàþò ëèøü ìàëûå ïîïðàâêè, â êà÷åñòâå S (ξ) â (4.134)323ìîæíî âçÿòü ëþáóþ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíóþ ïðèêîòîðàÿ èìååò àñèìïòîòèêó (4.126) ïðè∞Z∞v.p.ξα−∞ôóíêöèþ,ξ → +∞.Ñïðàâåäëèâà îöåíêàËåììà 4.16.Zξ ≥ 1o(η − η 0 )2 n 0 α 2 0 020χ(ξ , ξ )T (ξ , η ) − T (ξ, η ) dξ 0 dη 0 T (ξ, η) =02(ξ − ξ ) 1 = O 3/2 ,ξξ → +∞.(4.135)Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèé (4.127), ôîðìóë(0.47), (4.31), (4.32), (4.106), à òàêæå ñõîäèìîñòè èíòåãðàëîâZv.p.∞0Z ∞ dx dx11π√ −1√=1,v.p.−1=1−(1 − x)2(1 − x)2xx1/62 30âûòåêàåò, ÷òîZ∞Z∞v.p.−∞ξαo(η − η 0 )2 n 0 α 2 0 020χ(ξ , ξ )T (ξ , η ) − T (ξ, η ) dξ 0 dη 0 T (ξ, η) =02(ξ − ξ )∞∞(η − η 0 )2 2 0 2v.p.y (ξ )t (β(ξ 0 )η 0 )−=O02−∞ξ α (ξ − ξ ) 0 0220−y (ξ)t (β(ξ)η ) dξ dη T (ξ, η) =Z ∞n 111 o 0√√= O v.p.dξ +−0 2ξ0ξξ α (ξ − ξ )Z ∞n 1 1 11 o 0 1 − 1/6 dξ 1/3 = O 3/2 .+O v.p.0 2 (ξ 0 )1/6ξξξξ α (ξ − ξ )ZZËåììà äîêàçàíà.Ïåðåéäåì ê îöåíêå èíòåãðàëàdefJ(ξ, η) =Z∞Z ∞lnξα−∞ (ξ − ξ 0 )2 + (η − η 0 )2 (ξ 0 )2χ(ξ 0 , ξ α )T 2 (ξ 0 , η 0 )×× cos 2(S(ξ 0 ) + ϕ(ξ 0 , η 0 )) dη 0 dξ 0 T (ξ, η).(4.136)324Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, èìååìZ∞∞hZJ1 = −ξα−∞J = J1 + J2 ,ãäå2(ξ 0 − ξ)2i−×(ξ 0 − ξ)2 + (η − η 0 )2 ξ 0χ(ξ 0 , ξ α )T 2 (ξ 0 , η 0 )sin 2(S(ξ 0 ) + ϕ(ξ 0 , η 0 )) dξ 0 dη 0 T (ξ, η),×002S (ξ )Z ∞Z ∞ (ξ − ξ 0 )2 + (η − η 0 )2 lnJ2 = −×(ξ 0 )2−∞ ξ αh χ(ξ 0 , ξ α )T 2 (ξ 0 , η 0 ) cos 2ϕ(ξ 0 , η 0 ) 0 ∂× sin 2S(ξ ) 0+∂ξ2S 0 (ξ 0 ) χ(ξ 0 , ξ α )T 2 (ξ 0 , η 0 ) sin 2ϕ(ξ 0 , η 0 ) i0 ∂+ cos 2S(ξ ) 0dξ 0 dη 0 T (ξ, η).00∂ξ2S (ξ )ÔóíêöèÿJ2èìååò òó æå ñòðóêòóðó, ÷òî èJ,íî ïîäûíòåãðàëüíàÿôóíêöèÿ â íåé â ñèëó (4.107) ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíûé ìàëûé ìíîæèòåëüZ∞−∞1/S 0 .Z∞ξαCëåäîâàòåëüíî, ïîñêîëüêóχ(ξ 0 , ξ α )T 2 (ξ 0 , η 0 ) sin 2(S(ξ 0 ) + ϕ(ξ 0 , η 0 )) 0 0dξ dη T (ξ, η) =ξ 0 S 0 (ξ 0 )= O(ξ −∞ ),òîJ = O(J1 ) = O∞Z−∞∞Zξα(ξ 0 − ξ)χ(ξ 0 , ξ α )B02 (ξ 0 , η 0 )×0202[(ξ − ξ) + (η − η ) ]sin 2(S(ξ 0 ) + ϕ(ξ 0 , η 0 )) 0 0×dξ dη T (ξ, η) + O(ξ −∞ ), ξ → +∞.00S (ξ )(4.137)Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â (4.137) èìååò îñîáåííîñòü ïðèξ 0 = ξ , η 0 = η .
Âêëàä èìåííî îò ýòîé òî÷êè îïðåäåëÿåò àñèìïòîòèêóâõîäÿùåãî â (4.137) èíòåãðàëà. Çàïèøåì åãî â âèäåZ∞−∞Z∞ξα(ξ 0 − ξ)×[(ξ 0 − ξ)2 + (η − η 0 )2 ]325×χ(ξ 0 , ξ α )B02 (ξ 0 , η 0 ) sin 2(S(ξ 0 ) + ϕ(ξ 0 , η 0 )) 0 0dξ dη T (ξ, η) = J3 + J4 ,S 0 (ξ 0 )(4.138)ãäåZ∞Z ∞χ(ξ 0 , ξ α )B02 (ξ 0 , η)(ξ 0 − ξ) dη 0×0 − ξ)2 + (η − η 0 )2 ]0 (ξ 0 )[(ξS−∞J3 =ξα× sin 2 S(ξ 0 ) + ϕ(ξ 0 , η) dξ 0 T (ξ, η),Z ∞Z ∞(ξ 0 − ξ)χ(ξ 0 , ξ α ) n 2 0 0J4 =B0 (ξ , η ) sin 2 S(ξ 0 )+020200ξα−∞ [(ξ − ξ) + (η − η ) ] S (ξ )o 0 00 02 000+ϕ(ξ , η ) − B0 (ξ , η) sin 2 S(ξ ) + ϕ(ξ , η) dη dξ T (ξ, η).
(4.139)Ëåììà 4.17.Ïðè ξ → +∞ èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîJ3 = O(ξ −2 ).(4.140)Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàêZ∞J3âû÷èñëÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì. Âêëàädη 0π=,020 2|ξ − ξ 0 |−∞ (ξ − ξ) + (η − η )òî àñèìïòîòèêàâ àñèìïòîòèêó äàñò ëèøü ãðàíè÷íàÿ òî÷êàèìååì y 3 (ξ) 1J3 = O=O 2 ,(S 0 (ξ))2ξξ0 = ξ. ñèëó (4.32)ξ → +∞.Ëåììà äîêàçàíà.Îöåíèì, íàêîíåö,Ëåììà 4.18.J4 .Ïðè ξ → +∞ ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîJ4 = O(ξ −3/2 ).(4.141)326Äîêàçàòåëüñòâî. Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì â (4.139) ïî ïåðåìåííîéη0è ó÷èòûâàÿ, ÷òîarctg x + arctgïîëó÷àåì∞χ(ξ 0 , ξ α )S 0 (ξ 0 )1π= sgn x,x2∞(ξ 0 − ξ)J4 =×arctg 0(η − η)ξα−∞i 0 0∂ h 2 0 000 0× 0 B0 (ξ , η ) sin 2 S(ξ ) + ϕ(ξ , η ) dη dξ T (ξ, η).∂ηZZχ∗ = χ∗ (ξ 0 , ξ) ∈ C ∞ (R2 ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì: χ∗ ≥ 0,χ∗ ≡ 1 ïðè ξ 0 ∈ (ξ − 1, ξ + 1), χ∗ ≡ 0 ïðè ξ 0 6∈ (ξ − 2, ξ + 2).Ïðåäñòàâèì J4 â âèäå J4 = J4,1 + J4,2 , ãäåÏóñòüZ∞J4,1 =ξα(χ(ξ 0 , ξ α ) − χ∗ (ξ 0 , ξ))S 0 (ξ 0 )Z∞arctg−∞(ξ 0 − ξ)×(η 0 − η)i 0 0∂ h 2 0 000 0× 0 B0 (ξ , η ) sin 2 S(ξ ) + ϕ(ξ , η ) dη dξ T (ξ, η),∂ηZ ξ+2 ∗ 0Z(ξ 0 − ξ)χ (ξ , ξ) ∞arctg 0×J4,2 =S 0 (ξ 0 ) −∞(η − η)ξ−2i 0 0∂ h 2 0 000 0× 0 B0 (ξ , η ) sin 2 S(ξ ) + ϕ(ξ , η ) dη dξ T (ξ, η).∂ηÈíòåãèðóÿ âξ → +∞.J4,2 = OJ4,1ïî ÷àñòÿì ïî ïåðåìåííîéξ 0,Íàêîíåö.
èñïîëüçóÿ îãðàíè÷åííîñòü y 3 (ξ) ZS 0 (ξ)J4,1 = O(ξ −∞ ),arctg x, ïîëó÷àåìèìååìξ+2 Z ∞ξ−200 0|S(ξ)τ|0202t(τ )t (τ ) + t (τ )dτ dξ =2 (ξ 0 )3β−∞ y 3 (ξ) 1 =O 0= O 3/2 .S (ξ)ξËåììà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå4.11. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîJ4 = o(J3 ).327Èòàê, â ñèëó (4.137), (4.138), (4.140), (4.141) äëÿ çàäàííîé ôîðìóëîé (4.136) ôóíêöèèJ(ξ, η)èìååìJ = O(ξ −3/2 ),ξ → +∞.(4.142)Íà ýòîì çàêàí÷èâàåòñÿ îöåíêà íåâÿçêè â (4.12).Ïóñòü âõîäÿùèå â (0.49) ôóíêöèèB, I , Sèìåþò âèä (4.25),(4.26), (4.124), ãäå ÷ëåíû ðàçëîæåíèé (4.25), (4.26) çàäàíû ôîðìóëàìè (0.46), (0.47), (4.31), (4.32), (4.40), (4.41), (4.61) (4.64), (4.66),(4.71), (4.73), (4.74), (4.76), (4.77), (4.80), (4.82), (4.90), (4.92) (4.95).Êðîìå òîãî, ïóñòü îñòàòî÷íûå ÷ëåíû â (4.25), (4.26) òàêîâû, ÷òî âûïîëíåíî (4.23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
