Толмачев В.В., Скрипник Ф.В. Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода (2008) (1135801), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

2sш8 .i.'1'·Соответственно наличию трёх степеней свободы имеем согласно Зо­ммерфельду три следующих независимых условия квантования:тjтР.р dф =jhn.p,оP&de = hn&,отгде интегралj символически обозначает соответствующие интегралы, беорущиеся по всей эллиптической орбите, пробегаемой электроном за период Т, числаn..p, n&, nr -независимые квантовые числа квантования про­странствеиных эллиптических орбит,постоянная Планка .h-.ДЛЯ плоских эллиптических орбитиPr =ак8r=.mr,р'РакBrp==mr2.ер.По Зоммерфельду, соответственно наличию двух степеней свободыr,еримеем два независимых условия квантования:тJPrdr = hnr,огде интегрирования ведутся по одному периоду движения электрона по эл­липтической орби']:е, п'Р,ная Планка.nr- независимые квантовые числа, h- постоян­ГЛАВА 262n.p, ne, nrПокажем, как связаны квантовые числаквантования про­странствеиных эллиптических орбит с квантовыми числами n'P, nr кванто­вания плоских эллиптических орбит.ИнтегралтттJPrdr =тJ =JPrdrrdrооопоэтому имеемодинаков при пространствеином и Шiоском квантовании,совпадение радиальных пространствеиного и Шiоского квантовых чисел:Теперь учтём, что кинетическая энергия электрона при плоском и про­странствеином движении его по эшшптической орбите одинакова:К=К,а потомуследовательно,,р2 = В 2 + sin 2 е -ф 2 'имеем соотношение, связывающее углы ф, е и r.p.Теперь, так както= mr 2 02 + mr2 sin2 е -ф 2 == mr2 {iP + sin2 е -ф 2 } = mr2 cj}.Ре iJ + Р.р -фТаким образом,1<'тjтР.р dф + j Ре de =j Р.р ф dt + jтт=jРе iJ dt =оооотт{mr iJ +mr sin 2 eф 2 }dt=222j {mr {B +sin eф }dt=2оотт=Jmrо2ср2dt =JРсроdr.p.2222.3.ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА КВАНТОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕИНЫХ ОРБИТ63Следовательно,ne+ n.p =n'P.Получили соотношение между пространствеиными квантовыми чис­ламиneии плоскостным квантовым числомn.pn'P.Выясним физический смысл обобщённого импульса Р.р.

для чего вы­числим проекпию вектора момента импульса электронаLна осьOz.ТаккакLz =m(xy-yx),тоLz = mrsinecos ф (rsinesin ф + rcosesin ф iJ + rsinecosф ф)­-m r sin е sin ф (r sin е cos ф + r cos е cos ф iJ - r sin е sin ф ф)2= m{rr sin е соsф sinф- rr sin 2 е соsф sinф)+=+В r 2 (sin е cos е cos Ф sin Ф- sin е cos е cos Ф sin Ф )++Ф r (sin е cos ф + sin е sin 2 ф)} = т r 2 sin 2 е ф = Р.р.2222Таким образом, обобщённый импульс РФ является проекцией моментаимпульса электронаLна осьOz.При плоскостном рассмотрении эллиптической орбиты мы установи­ли, что физический смысл обобщённого импульса р'Р состоит в том, что онявляется модулемLвектора момента импульса электронаL.Так какLz = L cosa,тоР.р= р'Рcos а;а следовательно,ттj Р.р dф j р'Р cos а dcp,=оото естьh n.p = hn'P cos а.Видим, что квантовые числаn.p и n'P связаны соотношениемГЛАВА642и, следовательно,n.pcosa = nrp,где n.p и nrp -целые числа, причём ln.p 1 ~ nrp, так кактолько значения, заключённые отдо-1+1.cos а принимаетТаким образом, приходим к выводу, что при фиксированном квантовомчисле nrp квантовое число n.p принимает2 nrp+ 1 значение:Положения в пространстве эллиптических орбит не произвольные.Они квантуются.На рисунке изображена эллиптическая орбита в трёхмерном простран­стве с декартовыми осямиOxyz.В начале координат О, в фокусе эллипса,находится атомное ядро.

Рассматриваемая система координатизвольная, осьOzOxyz-про­направлена произвольно.Согласно теории Зоммерфельда, квантовая орбита может занимать та­Lz вектора моментакие положения в пространстве, для которых проекцияимпульсаLэлектрона может принимать только следующие дискретныезначения:гдеm 1 -целое(положительное или отрицательное) квантовое число про­екции момента импульса. При этомILzl ~L.•Рис.Так какL= hnrp,2.11то отсюда заключаем, чтоlm1l~ nrp, то есть65При заданном квантовом числе n'P квантовое число m 1 принимает2 n'P+ 1 значение.Рассмотрим важные случаи, отвечающие значениям n'P =О,1, 2.Натрёх приведённых рисунках по казаны пространствеиные ориентации векто­ров момента импульса, соответствующие различным значениям орбиталь­ного квантового числаn'P.Как видим, не все направления этих векторов в пространстве возмож­ны.

Имеем так называемое «пространственное квантование».Дополнение к гл.2Классическая атомная задача КеплераЭто задача классической механики для планетарной модели Резерфор­да атома водорода. Задача эта математически эквивалентна известной за­даче Кеплера о движении точечной планеты массы т вокруг покоящегосяточечного Солнца массы МтенциаломV(r)=»-"(m Mjr,mпод действием гравитационных сил с по­где 'У -гравитационная постоянная. Дляпланетарной модели атома водорода следует рассмотреть задачу о произ­вольном движении точечного электрона массыm,заряда -е в поле точеч­ного покоящегося ядра заряда е под действием кулоновских сил с потенци­алом V(r) = -е 2 /41ГЕо r.Как и в классической задаче Кеплера, произ­вольное движениесвязанного электрона в «элек­тронной атомной задаче Кеплера» происходит поэллиптической орбите.~Атомную задачу Кеплера о движении электро­на вокруг ядра нужно решать в предположении, чтоэлектрон и ядро являются материальными точкамис массами m1 =mи m2 =М соответственно.ц.м.Рассмотрим инерциальную систему отсчёта,Рис.связанную с центром масс ядра и электрона.

Пусть2.12в этой системе положения электрона характеризуются радиус-векторомr1и ядра- радиус-векторомr2,отсчитанными отцентра масс ц. м.Уравнения второго закона Ньютона для движений электрона и ядраимеют вид:66гдеДОПОЛНЕНИЕ К ГЛ.F 12-2сила кулонавекого притяжения, действующая на электрон со сто­роны ядра, F21 -сила кулонавекого притяжения, действующая на ядросо стороны электрона. Согласно третьему закону Ньютона, F21 =- F 12 ,а согласно закону Кулона,где r12 =lr12l -е2rl - r247ГЕQ TI2Т12расстояние от электрона до ядра.Сложим оба приведённых уравнения движения, учитывая, что, соглас­но третьему закону Ньютона, F 21+ F12 =О.

Получим тогда простое урав-не ниев которое входит радиус-вектор центра масс нашей системы из ядра и элек­трона:rc=m1r1 +m2r2m1+m2Как видим, скорость центра массdrc / dtявляется некоторым посто­янным вектором, т. е. центр масс нашей системы из ядра и электрона либопокоится, либо движется прямолинейно и равномерно; будем считать, чтоон покоится.Разделим теперь первое уравнение движения на m1, а второе- на m 2и вычтем второе уравнение из первого. Тогда получим уравнение~уr 1 - r 2 , характеризующий положение электрона относительно ядра. Таким образом, для этогов которое входит только относительныи радиус-векторотносительного радиус-векторагде J1, -r = r1 - r2получаем уравнение движения«приведённая масса электрона», определяемая из соотношенияКЛАССИЧЕСКАЯ АТОМНАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА67Выведенное уравнение описывает движение материальной mчки мас­сыJ1в поле силового центра, действующего на неё центральной силойF=-е247rco r 2r..r'центр поля всё время находится в фиксированной mчке пространства, от­носительно коmрой отсчитывается радиус-векmрr.Масса ядра М много больше массы электрона т, и поэmму при­ведённая массаf1 незначительно отличается от массы электрона т.

Так чтодвижением ядра, действительно, можно пренебречь и предполагать, что яд­ро всё время покоится и является просто центром силового поля.Уравнение второго закона Ньютона для электрона массы т, движуще­гося около покоящегося ядра с бесконечной массой, имеет вид:т~; =F,где т-масса электрона,v -его мгновенная скорость,F -сила кулонав­Fr,екого прИ1яжения электрона к ядру.Электрон при1Ягивается к ядру центральной силой11прямо про­порциональной заряду ядра е, заряду электрона -е и обратно пропорцио­нальной квадрату рассmяния между ядром и электроном:е2F=гдеr -r47rco r2.r'радиус-векmр, проведённый от ядра к электрону.

Имеем, такимобразом, следующее уравнение движения электрона:т dvdt= _е247rc:o r2.~r.Докажем для этого уравнения закон сохранения момента импульса.Рассмотрим векторное произведение приведённого уравнения движенияи радиус-вектораr:= - е [r ·r] = О;[r·т dv]dt47rc:o r23правая часть равна нулю, так как[r · r][r.

~;] [r ·~:~]==О. Очевидно далее, что=it [r ·~;] ,ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛ.682поэтому[r. dr] =О!l'dtdtт. е. приходим к следующему закону сохранения ~wол1ента импульса:L = [r · mv] = const,гдеL-момент импульса электрона относительно центра сил,торая векторная константа, не зависящая отмомент импульсаLt.const -веко­Во все моменты времениэлектрона одинаков.Рис.2.13В качестве первого следствия закона сохранения момента импульсаполучаем, что траектория электрона является плоской кривой.

Действи­тельно, векторdr=v dtrперпендикулярен постоянному векторутоже перпендикулярен векторужать в той же плоскости, что и векторr,L,то векторL. Так как векторr + dr должен ле­а следовательно, и вся траекторияэлектрона лежит в этой плоскости.В качестве второго следствия закона сохранения момента импульсаполучаем, что величина1[r ·~~]1= const,т. е. не зависит от времени.Интерпретируем появившийся вектор[r · dr]геометрически. Он пер­пендикулярен плоскости траектории электрона и равен удвоенной площадиdSсектора, «заметаемого» радиус-вектором электрона за интервал време­ниt, t+ dt. Обозначив через n единичный вектор (lnl=1),направленныйперпендикулярно к плоскости траектории электрона по правилу буравчика,ввинчиваемого в траекторию электрона, имеемdS=ndS=~ [r·dr];69КЛАССИЧЕСКАЯ АТОМНАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРАтаким образом,dS / dtобозначает скорость изменения площади сектора, за­метаемого радиус-вектором электрона, т.

е.так называемую «секториаль­ную скорость». Видим, что секториальная скорость электрона при дви­жении его по траектории постоянна.Рассмотрим снова исходное уравнение движения электронаrrи докажем теперь закон сохранения энергии. Возьмём скалярное произведе­ние этого уравнения с вектором v~~ :=Очевидно:dv2 =dt.!!:.. (v . v)dt=2(v. dv)dt 'Следовательно, имеем равенство.!!:..dt(mv2)21 dr 2е23471Eor 2 dtа потому1t (~v2 -41Г:2о r) =О.Интегрируя по времени, отсюда приходим к закону сохранения полнойэнергии электрона:v2е2m- - - - - = const·-241ГЕ:оr'const -эта величина постоянная во все моменты времени,зависящая от времени t. В полученном соотношении Квенная кинетическая энергия электрона, Vпотенциальная энергия.2= - е41ГЕ:о r=константа, нет;2-мгно--его мгновенннаяДОПОЛНЕНИЕ К ГЛ. 270уРис.2.14Как и в классической задаче КеiШера, электрон в классической IШа­нетарной модели атома водорода движется по эллиптической траектории,уравнение которой в полярных координатах имеет видr=где р(с:=< 1).-Ь 2 /ар1 +c:cos<p'«параметр» эллипса, с:=с/ а-его «эксцентриситет»Обратите внимание, что центр полярных координат находится нев центре, а в фокусе эллипса, в котором расположено ядро, угол <р отсчи­тывается от направления, проведённого из этого фокуса в точку перигелияорбиты.мРис.2.15.Покажем, что кривая, задаваемая приведённым уравнением при с:«1,действительно является эллипсом.

Характеристики

Список файлов книги