Толмачев В.В., Скрипник Ф.В. Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода (2008) (1135801), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Это предположение о независимых актах рассеяния справедливо только для тонкой фольги (поэтому эксперименты и проводились с фбльгами, а не с пластинками) ..Цлина свободного пробега а-частицы в эксперименте была намногобольше толщины фольги, так что при рассеянии а-частицы на ней не происходило, как говорят, многократных рассеиваний.28ГЛАВА1фольгаАuрадиак.источниха-частицКОЛJIИМаrОР( свинц.пласт.со щелями)Рис.1.11Экспериментальная установка Гейгера и Марсдена имела вид, схематически показанный на рисунке. Измерялось число а-частиц, рассеянныхв малый интервал углов е, е+de, rp, rp+ drpпри различных углах е,rp.Направление, в котором устававливалея детектор, характеризуется не только полярным углом е, изменяющимся от О до 1r, но также и азимутальнымугломrp,изменяющимся от О до2 1r, который характеризует поворот направления от рассеивателя на детектор вокруг направления падающего пучка;в эксперименте Гейгера и Мареде па рассеяние не зависело от азимутальпого углаrp.Эксперименты по рассеянию а-частиц на золотой фольге Резерфордколичественпо описал с помощью величины, ставшей впоследствии, можно сказать, самой основпой в физике элементарных частиц, которая называется эффективным сечением рассеяния.1.3.2.Эффективное сечение рассеянияДадим формальное определение эффективного сечения для рассеянияпучка любых частиц на любой мишени.
ПУf)'Ь исходный пучок характеризуется интенсивностьюI 0.Интенсивность параллельпого пучкачисло частиц пучка, проходящих через единичную площадку,-этоперпендикулярпую пучку, в единицу времени, так что размерность интенсивностипучка равна[Io]= -1- .м2сРассмотрим частицы пучка, рассеянные в единицу времени мишепьюв элемент телесного угланаправления е,rp.Так какdfl = sin еdВШ.р, построенный около заданногоdfl бесконечно мало, то число рассеянных частиц29ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА1.3.пучок>>>мишеньРис.1.12в этот угол dП тоже будет бесконечно малым и пропорциональным dП.Таким образом,Число частиц, рассеянныхв телесный угол dП в единицу времени=1е, <рdП..Размерность появившейся в этом соотношении величины[Ie,Ie,'Р'PJ = {.Дифференциальным эффективным сечением рассеяния называется отношениетаким образом, размерность дифференциального эффективного сечениярассеяния равна'PJ[Ie,1[о-]= -[т] = с.LO1: -2- =ММ2·с'т.
е. дифференциальное эффективное сечение рассеяния имеет размерностьплощади; поэтому эту величину и называют сечением, более точно, эффективным сечением, так как всё же это не настоящая площадь.Кроме дифференциального эффективного сечения рассеяния о-(8, <р)рассматривают интегральное, или полное, сечение рассеяния, которое тожеявляется важнейшей величиной, характеризующей рассеяние частиц. Полным эффективным сечением называется интеграло-=27Гjо7ГJо-(8, <р)оsin8d8d<p;ГЛАВА301в экспериментах измеряют зависимость полного сечения О" от энергии Еналетающих частиц, т. е. функцию О"( Е).
По характеру этой зависимости,оказывается, можно сделать заключения о характере сил, вызывающих рассеяние.1.3.3.Вывод формулы связи функций эффективного сеченияи прицельного параметра от угла рассеянияПриступим к выводу формулы Резерфорда для дифференциального эффективного сечения О"( В). В силу очевидной пространствеиной симметриизтосечениенезависит отазимутального угла ер,зависит толькоот полярного угла е, позтому мы используем для него обозначение О"( В) вместополного обозначения О"( В, r.p).м 1JьоРис.1.13Рассеяние а-частицы ядром Аи происходит потому, что а-частицаи ядро Аи имеют положительные заряды и отталкиваются друг от друга кулонавекими силами, особенно сильными, когда а-частица находитсяна малом расстоянии от ядра.
Потенциальная энергия взаимодействия ачастицы и ядра Аи, находящихся на расстоянииобразом, равнаrдруг от друга, такимt<'2V(r)- ZZ'e- 41Гс:оr'гдеZe-заряд а-частицы иZ'e-заряд ядраAu,е(е =!е!) -зарядэлектрона.На рисунке изображена траектория а-частицы, налетающей на ядроАи, массу этого ядра считаем бесконечно большой, так что зто ядро всёвремя покоится в точке О. а-частица массы М прилетает из бесконечности вдоль изображённой на рисунке пунктиром прямой с некоторой ско-1.3.ростьюv,ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА31причём механической отдачей ядра при налетании на него ачастицы мы пренебрегаем.Ь=ОрОРис.1.14По мере прибJШжения к ядру а-частица отклоняется от прямолинейнойтраектории, достигает положения наибольшего сбJШжения с ядром в точке Р, а затем удаляется от ядра и улетает на бесконечность снова по пекоторой прямолинейной траектории с постоянной скоростьюростиv,v,равной скос которой она налетала на ядро.
а-частица не может передатьникакой энергии ядру, так как мы пренебрегли отдачей ядра и считаем, чтоэнергия а-частицы настолько мала, что она не может перевести ядро в возбуждённое состояние.Геометрические условия налетания а-частицы на ядро Аи будем характеризовать величиной Ь, называемой прицельным параметром, котораяопределяется как расстояние прямой, по которой частица прилетает из бесконечности, до центральной прямой, мысленно проведённой через точку Опараллельна прямой, вдоль которой налетает частица.Очевидно, что если Ь задано, то угол рассеяния е будет иметь определённое значение, и наоборот, т.
е. существует функциональная зависимость: е= В(Ь) или Ь = Ь(В).Если Ь = О, то а-частица испытывает лобовое столкновение, т. е. возвращается назад по той же прямой, по которой она прилетела из бесконечности, достигнув точки наибольшего сбJШжения Р около ядра.Если Ь будет большое, даже бесконечно большое, то а-частица не подлетит близко к ядру и поэтому будет всё время двигаться по первоначальнойпрямолинейной траектории с неизменной постоянной скоростьюv,которую она имела на бесконечности, как показано на рисунке.Оказывается, если функция Ь=Ь( О) известна, то легко рассчитатьфункцию эффективного сечения рассеяния о-(0).Чтобы найти связь функций Ь( &) и о-(&), рассмотрим в бесконечномудалении от точки О плоское кольцо, мысленно построенное перпендикулярно направлению налетания а-частиц из бесконечности, с радиусами ЬГЛАВА32и Ь1+ dЬ, показанное на рисунке.
Из пучка налетающих а-частиц рассмотрим только частицы, прицельные параметры которых заключены в интер+ dЬ . .Цля них углы рассеяния будут лежать в пекотором интервалеB+dB. При этом при положительном dЬ >О приращение dB будет отрицавале Ь, ЬВ,тельным. Все налетающие а-частицы, траектории которых пройдут черезточки рассматриваемого кольца на бесконечности, рассеются в телесныеуглы с направлениями в интервале О,Если!0-() + d(),причёмd()<О.интенсивность налетающего пучка а-частиц, то число рассеянных а-частиц очевидно равно:Io 21r Ь dЬ = - Io 21r sin BdB;знак минус появился потому, чтоdBи dЬ имеют противоположные знаки.'Рис.1.15По определению а( В)= Iв/ ! 0 , поэтому из приведённого соотношениянепосредственно заключаем, чтоа( В)sin Bd()t"= -Ь dЬ,т.
е. имеем формулуdb 1ь () 1d()а( е) = sin1которая позволяет рассчитать функцию а( fJ), если известна функция Ь( В).Здесь мы взяли модуль производной, так как производпая ~~ отрицательная. Сечение а( 8), по определению, положительно.ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА1.3.1.3.4.33Нахождение функции Ь(О). Применеине законов сохраненияэнерrии и момента импульсаНайдём теперь функцию Ь( О) для нашей задачи рассеяния а-частицына бесконечно тяжёлом ядре.Положение а-частицы в произвольной точкерактеризовать расстояниемке. Мгновенная скоростьvON = rи угломNчастицы в положениии тангенциальную составляющие: Vr иv'P.vrNимеет радиальнуюЕсли обозначить черезвектор частицы, идущий из точки О в точкуобразом, радиальная компонента равнатраектории будем хаrp, показанными на рисунN,то Vr 11rиr радиусv'P ..L r.Таким= r и угловая компонента равнаv'P = r <{;.Здесь точки обозначают производные по времени.
Следовательно,мгновенная кинетическая энергия частицы в точкеNМгновенная потенциальная энергия частицы в точкеравна:NравнаV = ZZ'e 2 .4лЕо r 'это потенциальная энергия крюновскоrо взаимодействия точечной частицы зарядаянииrZев поле точечной частицы зарядаZ' е,находящейся на расстоот неё.Рис.1.16Воспользуемся законом сохранения энергии. Сумма кинетической и потенциальной энергий движущейся а-частицы равна К+V= const во всемоменты времени движения её около ядра, несмотря на то что К идельности зависят от времени.
Найдём значение константыconst,Vпо отрассмотрев налетающую частицу в бесконечном прошлом, когда она находилась наГЛАВА341бесконечном расстоянии от точки О. Очевидно, тогда constr=оо потенциальная энергияV(r) = 0).=Mv22(приТаким образом, согласно закону сохранения энергии, получаем соотношениеразделив правую и левую его части на ~, приходим к соотношению·2+r2 ·2+rr.p21_ 22 4ZZ'eмr-v.1ГЕоВоспользуемся сокрашённым обозначениемС=2Z Z' е47ГЕо Mv 2для появившейся здесь комбинации констант (обратите внимание на v 2в знаменателе).
Введя константу С, из приведённого соотношения получимследующее дифференциальное уравнение, выражающее закон сохраненияэнергии:Воспользуемся теперь законом сохранения момента импульса. Моментимпульса движущейся частицы в положенииNравен векторному произвеr - радиус-вектор а-частицы, идущий из О в N, и vвектор мгновенной скорости частицы в ТОЧj:е N (v = r). Вектор мгновенной скорости v = Vr + v'P, причём Vr 11 r и v'P ..L r. Поэтому моментдению[r, Mv],гдеимпульса частицы даётся вектором[r, М v 'Р], а модуль этого вектора равенСледовательно, согласно закону сохранения момента импульса, име2значение входящей в негоем соотношение М r ер = const.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
