Толмачев В.В., Скрипник Ф.В. Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода (2008) (1135801), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При этом докажем, что р = Ь 2 /а и с: ==с/ а, где а-большая полуось эллипса, Ь-его малая полуось,2с -расстояние между фокусами.Эллипсом называется плоская кривая, сумма расстояний точек которой до двух заданных точек на плоскости (фокусов) есть величина постоянная.На рисунке2.15мы изобразили эллипс, его фокусыF1иF2и произ-КЛАССИЧЕСКАЯ АТОМНАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА71вольную точку М на нём. Положение этой точки характеризуется полярными координатамиrиТак какr.p.F1rгде а-М+НМ=+ r' =const,то2а,большая полуось эллипса.
Из треугольникаF1МF 2,согласно теореме косинусов, имеем соотношениеr'.jr 2 + 4 с2 -4 rc cos(1r-r.p);+ .jr 2 + 4 с2 + 4 rc cos r.p =2 а,=таким образом, справедливо равенствоrтак какr'= 2а- r.Следовательно, должно выполняться равенство.jr 2 + 4 с 2 + 4 rc cos r.p =2 а - r;возводя его в квадрат, получаем уравнение(r- 2а) 2=r2+ 4с + 4rccosr.p,2так что4(а 2 - с2 ) = 4r(a + ccosr.p).Ь 2 , где Ь-малая полуось эллипса. Поэтому окончательноимеем уравнениеrгде р =Ь 2 /а-ьzа+ с cos r.pр- ...,...----'-- 1 + с: cos r.p '«параметр» эллипса, с:= с/ а- его «эксцентриситет».Такимобразом,мывывелиуприведённое выше уравнение эллипса в полярных координатах, а также установили связьмежду параметром эллипса р и его эксцентриситетом с: с его большой и малой полуосями а и Ь.Непосредственныйгеометрическийсмысл параметра р эллиптической орбитыпроиллюстрирован на рисунке.
ПоложимРис.2.16ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛ.722ер = ~ в уравнении эмипса в полярных координатах. Тогда cos ера следовательно,r ==О,р. Таким образом, параметр р равен длине отрезкана прямой, проведёююй через фокус эллипса перпендикулярно его большойполуоси, от точки фокуса до точки пересечения с кривой эллипса.ГЛАВА3Теория многоэлектронных атомов3.1.Спин электрона. Эксперимент Штерна-ГерлахаК1925г. в атомной спектроскопии накопился экспериментальный материал, который позволил Гаудсмиту и Уленбеку высказать оказавшуюсявпоследствии правильной важную гипотезу о том, что электрон, кроме координат х, у,z,обладает ещё и «сnиновой координатой», принимающейдва значения. Идею о спине электрона в1924 г.предложил Паули, которыйпостроил квантово-механическую теорию спина в1927 г.
Строгую реля1928 г. Дирак. ВажныйТомаса и Френкеля 1926 г.тивистскую теорию спина электрона разработал ввклад в теорию спина электрона внесли работыВ качестве величины, характеризующей внутреннюю спиновую степень свободы электрона, берут значение проекции спина электрона на осьzиспользуемой декартовой системы координат.Спин электрона всегда (для любых электронов ~ в атомах, молекулах,твёрдых телах, в свободных электронных пучках) имеет значенияs = 1/2;его величина никогда не меняется. Может изменяться, и действительноменяется, проекция спина а z =осьh т,на произвольную рассматриваемуюгде т, = ±1/2 называется «квантовым числом проекции спина».Тот факт, что спиновая координата электрона принимает два значеOz,ния, наглядно в1922г.
проиллюстрировал эксперимент Штерна и Герлаха,в котором использовался пучок быстро летящих с постоянной скоростьюнейтральных атомов серебра, находящихся в своих основных состояниях.Атом серебра имеет один валентный электрон. Имеющиеся в этом атоме другие электроны, заполняющие замкнутые электронные оболочки, в совокупности обладают нулевыми орбитальным и спиновым моментами импульса, а следовательно, суммарный магнитный момент этих внутреннихэлектронов равен нулю. Так что магнитный момент атома серебра в его основном состоянии определяется спиновым моментом его валентного электрона.74ГЛАВА3Обозначая магнитный мо.«ент валентного электрона через р, а черезS-его спиновый момент импульса, имеем соотношение (так называемое гиромагнитное соотношение):11.=-~S,...т'где е- абсолютная величина заряда электрона (е=/е/), т- масса электрона.
Магнитный момент атома серебра в основном состоянии равен р.Штерн и Герлах заставили пучок быстро летящих атомов серебра, пребывающих в своих основных состояниях, пролетать область с неоднородным магнитным полем. Эта область внутри магнита специальной конструкции схематически показана на рисунке3.1.zмагнитпечка~-------------- --------------------------------1111----~~це~пучокоoefJвиднавстречу пучкуРис.3.1.Магнитное поле направлено вдоль осинородность вдоль оси Oz: ~~= constOzи имеет постоянную неод# О.На точечный магнитный момент, помещённый в леоднородное магнитное поле, действует силаF= ( р.
grad) В;следовательно, в установке на рисунке эта силаFнаправлена вдоль осии её величина равнаFdB= Fz = f.-tz dz= J.-tCOS ()dBdz,z,СПИН ЭЛЕКТРОНА. ЭКСПЕРИМЕНТ ШТЕРНА-ГЕРЛАХА3.1.где е ~ угол между вектором магниnюго моментаJ.iи направлением магнитного поля В, направленного в установке на рисунке по осиоднородного магнитного поля, когда ~~=75Oz.В случаеО, рассматриваемая сила равнанулю.Таким образом, силапо или против осиz,F,действующая на атом серебра, отклоняет егов зависимости от того, будет лиcos еположительнымили отрицательным.Кроме того, магнитное поле В стремится повернуть в пространствемагнитный момент леUЩJ;его атома серебра и направить его по полю, т. е.вдоль осиOz.Однако в эксперименте Штерна и Герлаха область с магнитным полем бьша небольшой и магнитный моментJ.iатома не успевалзаметно повернуться во время пролёта этой области.
Поэтому можно бьшосчитать, что магнитный моментJ.iлетящего атома серебра имеет некотороефиксированное в пространстве направление.В пучке атомов серебра, влетающих в магнитное поле, магнитныемоментыJ.iнаправлены хаотично по всем направлениям. Таким образом,после пролёта пучка атомов серебра через область с леоднородным магнитным полем вместо центрального пятна на экране при включённо:м :магнитном поле должна была бы получиться полоска, показаипая на рисунке,в разные точки которой попадают атомы с различными значениямиИЗМеНЯЮЩИМИСЯ ОТ-1ДО+1(на краях ПОЛОСКИ COS е=cosе,±1).экранРис.Эксперимент Штерна и Герлаха3.2.1922г. показал, что на экране наблюдается не полоска, а два пятна, симметрично расположенных относительно центрального места, в которое попадает пучок при выключенном магнитном поле, как это показало на рисунке3.2.Эксперимент, таким образом, показал, чтозначения:cosе =±1.cos е принимает только дваСледовательно, с учётом соотношенияp==-ejmS,ГЛАВА763он показал, что проекпия спина электрона а z тоже имеет только два значения.3.2.Принцип запрета Паули и периодическая системахимических элементовТеория атома водорода Зоммерфельда позволяет поиять устройствоатомов остальных химических элементов, содержащих более одного электрона; для этого надо учесть три следующих положения.Во-первых,вое число n'Pучесть, что в теории Зоммерфельда орбитальное кванто=l,характеризующее величину орбитального момента импульса электрона, принимает значения О,товое число.
При фиксированноммомента пФ=m 1 принимаетВо-вторых,1, ... , n-1,гдеn- главное кванквантовое число проекпии орбитальногозначения:m1=-l, -l + 1, ... , l -1, l.учесть, что электрон обладает собственным механическим моментом импульсаs = 1/2,l-спином, квантовое число которого всегда равнопроекция спина принимает два значения:m 8 = ±1/2,гдеm8-квантовое число проекпии спина. Поэтому состояния электрона в атомеводорода характеризуются не тремя квантовыми числами: главным, орбитальным и проекцией орбитальноготырёх квантовых чиселекции спинаn, l,m1 , а набором значений чевключающих и квантовое число проm8 •В-третьих,ули». Вn, l, m1, m 8 ,1924-25учесть наличие так называемого «принципа запрета Пагг.
Паули открьm этот важнейший принцип современнойквантовой физики.Согласно принцилу Паули в атоме не может быть более двух электронов, находящихся в одном и том же одноэлектронном состоянии безучёта спина, в любом состоянии системы невзаимодействующих электронов.«За открытие принципа, названного его именем» в1945г. ему бьmаприсуждена Нобелевская премия.Главное число принимает значения п =1, 2, .
. . При фиксированном1, ... , n -1. При фиксированном l число m 1 принимает 2l + 1 значений m1 = -l, -l + 1, ... , l -1, l;число m 8 принимает всегда два значения m 8 = ±1/2.nорбитальное число принимает значенияl=О,При рассмотрении состояний многоэлектронных атомов приближённоможно считать, что электроны атома не взаимодействуют друг с другом,т.
е. система электронов в многоэлектронном атоме, как говорят, идеальная.""ЗАПРЕТА ПАУЛИ3.2. ПРИНЦИП77В хорошем приближении кулоновским межэлектронным взаимодействиемможно пренебрегать и считать, что каждый электрон взаимодействует только с атомным ядром.При рассмотрении многоэлектронного атома следует чётко разJШЧатьего состояния и состояния отдельных электронов в нём. Имеется два типасостояний, и их не надо путать.Так как мы рассматриваем систему электронов в многоэлектронноматоме идеальной, то различные состояния атома можно описывать, указывая все те состояния, которые занимают электроны в состоянии многоэлек-~тронного атома.Состояния же отдельных электронов в многоэлектронном атоме с идеальной системой электронов характеризуются совокупностями квантовыхчиселn, l, mt, m 8 ,т.
е. считается, что они такие же, как состояния электрона в атоме водорода.Использование одноэлектронных состояний атома водорода для описания состояний электронов в атомах возможно потому, что взаимодействиематомных электронов между собой в многоэлектронном атоме мы пренебрегаем.111IIIIVvVIVIIВевсNоFНенLiVIIINeОсновным состоянием многоэлектронного атома называют состояниес .минимальной энергией; в этом состоянии многоэлектронного атома егоэлектроны занимают одноэлектронные состояния с самыми низкими энергиями с учётом принципа запрета Паули.Для атома водорода в основном состоянии электрон находится в состоянии с n = 1, l =О, mt = О, причём таких состояний два (си m 8 = -1/2) и оба они имеют одинаковую энергию.ms=1/2Электроны в основном состоянии следующего атома гелия находятсявm8с n = 1, l = О, mt = О, причём для одного электрона+1/2, а для другого m 8 = -1/2.
Имеем полностью заполненную,состояниях=или замкнутую, электронную атомную оболочку:ls 2 (n=l,l=O).Гелий обладает очень устойчивой электронной оболочкой, которуюневозможно разрушить в химических реакциях. Поэтому гелий и являетсяинертным химическим элементом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
