Толмачев В.В., Скрипник Ф.В. Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода (2008) (1135801), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Определимконстантыconst.Рассмотрим снова налетающую частицу, когда она былав бесконечном прошлом, т. е. очень далеко от точки О. Тогда модуль момента импульса нашей частицы очевидно был равен М v r sin r.p, так какl[r, М v'P]/=М v rsin(1r ~ r.p) =М v r sin( r.p), поэтому const =М v r sin r.p.ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА1.3.Очевидно, чтоr sin ер =35Ь, где Ь- прицельный параметр, что непосредственно видно из треугольника АОС на рисунке.
Таким образом, имеемсоотношениеMr 2 <j; = Mvb;разделив правую и левую его части на !vf r 2 , получим дифференциальноеуравнение:.'Р=vb-·2 'rоно выражает закон сохранения момента импульса.Mv~оРис.1.17Подставим теперь полученное выражение для<jJв дифференциальноеуравнение, полученное из закона сохранения энергии. Придём тогда к дифференциальному уравнению2 2ЬCv 22r·2 +r 2v--+2--=vr4rили уравнению2сvr·2 =v 2 -v-2Ь- -2-r-·22rСледовательно,.
vr=±v 1 -Ь - -2С-·r2r '2знак плюс следует брать для удаляющейся части траектории, т. е. траектории после достижения частицей точки наибольшего сближенияа знак минус-r = r0 ,для приближающейся части траектории, т. е. траектории додостижения частицей точки наибольшего сближенияr= ro.ГЛАВА361Из вида полученного дифференциального уравнения можно сразу заключить, что траектория нашей частицы является симметричной кривой(до точки r = r 0 и после точки r = ro). На самом деле траектория являетсяветвью гиперболы с фокусом в точке О.Рассмотрим удаляющуюся часть траектории, взяв знак плюс перед корнем.
Тогда имеем два дифференциальных уравнения:разделив второе уравнение на перво~, получим ещё одно дифференциальное уравнение:dtpdrиз которого времяцию 'Р =tьвыпало. Интегрируя это уравнение, можно найти функtp(r).Рис.1.18Проинтегрируем правую и левую части приведённого уравнения по rотr = roдоr =оо. Учтём симметрию траектории относительно отраженияв прямой, соединяющей точку О с точкой наибольшего сближения Р. Легко1Г-евидеть, что 'РО = - и что 'Роо = 1Г2-е. Таким образом,00Jdtpdr drro= 'Роо - 'РО=1Г-е1Г-е- -21Г-е= - 2- ,1.3.ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА37то естьВ точке наибольшего сближенияr = r0имеем условиеr =О (так какрадиальная переменная r принимает в этой точке минимальное значение),т. е.
точкаr=r0является корнем уравненияЬ21- 2 r2с---:r=о,как это следует из полученного дифференциального уравнения для1.3.4.1.r.Вычисление интеграла1Г-ВЧтобы взять интеграл в полученной формуле длязамену переменной интегрирования и=~. Тогда du =- -,2-используемd~ иr1Г-В-2-Чтобы взять интеграл в правой части, дополним квадратичный трёхчлен в подкоренном выражении до полного квадрата:гдеГЛАВА 138следовательно,Jdxxoс;Ьгде х 0-= arcsin~ хос;Ьvfa2- х2корень уравнения а2-х 2 = О (при котором подкоренное выражение в знаменателе обращается в нуль), а следовательно, хо =а (следуетвзять положительный корень).
Таким образом, окончательнос87r7r2 - 2= 2 -ь.arcsшГС2V'-'Ь2Вычислив интеграл, мы приходим к формуле. (-8 = arcs1n2vьzс+ с2),а потомуsin~=2ctg2уfЬ2С,+ C'l~ = _1_2- 1=.z8ffill 2ьz + с2 С2у1=!i_С2 'т. е. окончательно имеем формулуЬ = Ь( 8)=С ctg ~,которая определяет вид функции Ь( 8), описывающей зависимость прицельного расстояния Ь от угла рассеяния8.ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА1.3.1.3.5.39Формула РезерфордаПолучив функцию Ь(8), найдём теперь функцию дифференциального эффективного сечения рассеивания <Т(8). Используя выведенную вышеформулу, связывающую функции <Т( 8) и Ь( 8), и только что полученнуюформулу для функции Ь(8), получим, чтоdbd8С ctg~с<Т( 8 )2 sin 2 fj_'=сsin82т. е.
окончательно приходим к знаменитой формуле Резерфорда<Т( 8) =z Z' е2() 28mo-o Mv 21sin4 fj_2для дифференциального эффективного сечения рассеяния а-частицы на ядре атома золота Аи, которая количественно очень хорошо описала результаты экспериментов Гейгера и Марсдена. Из сравнения теоретических и эспериментальных кривых можно бьшо определить, в частности, что для ачастицыZ = 2,М =т. е. что а-частица является ядром атома4 mp,гелия.Скоростьvчастиц взятого радиоактивного источника а-частиц былаизвестна из экспериментов по отклонению пучка а-частиц этого источникаэлектрическим и магнитным полями, из которых эта скорость была найдена по методу Дж.
Дж. Томсона.<Т( О)\\\\\о' ' ' ..1ГРис.1.19ГЛАВА401На рисунке мы приводим график функции дифференциального эффективного сечения ст( В) с наложенными на него экспериментальными точками. Пунктяром изображена кривая эффективного сечения ст( В) для модели Дж.Дж. Томсона. Различие этих кривых в особенности в области угловВ>1Г/2 и позволило Резерфорду открыть атомное ядро в атоме.ГЛАВА2Квазиклассическая теория атомаводорода2.1.Теория Бора атома водородаЗаймёмся теперь планетарной моделью Резерфорда атома водорода,в которой положительный заряд атома водорода и практически вся масса атома сосредоточены в атомном ЯдРе, которое можно считать точечными неподвижным, так что для потенциальной энергииV(r)электрона в атоме водорода имеем формулу:е2V(r) = - - - .41Гсо rГрафик функцииV (r)показан на рисунке2.1.
Этафункция всюду отрицательная, что соответствует силам притяжения. При rО функция V (r) обращает-V(r)ся в отрицательную бесконечность. Поэтому электронО~ r=в основном состоянии атома водорода в модели Резер-форда, согласно представлениям классической физики,должен находиться на ЯдРе и обладать бесконечной от-рицательной энергией, что физически бессмысленно.Так что в классической модели атома Резерфордаатом не имеет основного состояния.Рис.2.1.Двигаясь в возбуждённом состоянии ускоренно поорбите вокруг ядРа, электрон должен всё время непрерывно излучать электромагнитные волны и терять свою энергию, стремясь перейти в состояниесо всё меньшей и меньшей энергией, при этом радиус его орбиты долженуменьшаться, так что в конце концов электрон должен упасть на ЯдРО.
Приэтом должна выделиться бесконечная энергия, так какr = О, чего быть не может.V(r)=-оо приГЛАВА 242Неразрешимую в рамках классической физики проблему отсутствияпадения на центр в планетарной модели Резерфорда атома водорода решила квантовая механика.В1913г. Бор, исходя из квантовой гипотезы Планка, предложилуспешную (т. е. очень хорошо согласующуюся с экспериментом- с точностью5-6значащих цифр, достижимой в оптических экспериментах) квантовую теорию Шiанетарной модели атома водорода.Атом водорода излучает не одну частоrу (частоrуwo,как атом водорода в модели Дж. Дж. Томсона), а целый набор частот.
Его спектр состоит измногих спектральных линий.С целью объяснения экспериментально наблюдаемого линейчатогоспектра атома водорода в рамках модели Резерфорда Бор в основу своейтеории положил два постулата, так называемых «постулата Бора», которыефиксировали явным образом противоречия его теории с известными положениями классической физики (классической механики и классическойэлектродинамики).Постулат1.Из возможных в классической механике д«ижений электрона в атоме водорода в природе осуществляются только некоторые:происходящие по так называемым «квантовым орбитам».
Чтобы найтиэти разрешённые прирадой орбиты электрона, надо при.менить «условияквантованию>.Двигаясь по разрешённой квантовой орбите, электрон обладает энергиейEn,где n -целое число, обозначающее номер орбиты.Согласно этому посrулаrу, движение электрона в атоме можно изучать,применяя законы классичесКой механики, т. е. это движение происходит поодной из орбит классической механики, но надо учесть, что природа извозможн,ых в классической механике движений (из всех возможных решений классических уравнений движения) выбрала, по известным только ейпричинам, лишь некоторые определённые.
Только движения электрона поотобранным орбитам обладают физическим смыслом и действительно происходят. Остальные движения, которые возможны в классической механике,не имеют физического смысла, никогда не осуществляются.Постулат2.Д«игаясь в атоме по квантовой орбите, несмотря насвоё ускоренное д«ижение, в противоречии с классической электродинамикой, электрон не излучает электромагнитных волн. Но .могут происходить резкие перестройки д«ижения электрона, при которых он совершает«квантовые скачки» с орбиты на орбиту.При этом, если скачок совершается с орбиты с большей энергией Еп1на орбиту с .меньшей энергией Еп2, атом излучает фотон, частота кото-2.1.ТЕОРИЯ БОРА АТОМА ВОДОРОДА43рога определяется следующим условием Бора:En1 - En2 =hv = hw.Если скачок совершается с орбиты с меньшей энергией Еп2 на орбитус большей энергией Enl (такое может произойти, только тогда, когдаатом находится в поле внешней электромагнитной волны), ато.м поглощает фотон (из электромагнитной волны), частота которого тоже определяется из условия Бора:En1- Еп2Согласноэтомупостулату,= hv =законыnw.классическойvэлектродинамики, в частности, описывающие излучениевозбуждёнными атомами электромагнитных воJПI, неверны.
Во-первых, движущийся ускоренно в возбуждённоматоме электрон по пекоторой разрешённой для него орбите, не излучает в противоречии с классической электродинамикой никаких волн (хотя и движется ускоренно). Во-вторых, его орбита непрерывно деформируется.В какой-то момент времени в атоме происходит внезап-ная «катастрофа», после которой электрон начинает дви-Рис.
2.2гаться по другой орбите, с меньшей энергией, снова неизлучая никаких волн («перескакивает» с орбиты на орбиту). При этойкатастрофе одновременно со скачком электрона из атома вьшетает фотонс такой энергией, чтобы для атома в целом выполнился закон сохраненияэнергии.Следуя Бору, рассмотрим только круговые орбиты электрона в атомеводорода в классической модели Резерфорда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
