Толмачев В.В., Скрипник Ф.В. Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода (2008) (1135801), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Новых орбит в теории Бора атома водорода Зоммерфельд, однако,не получил. Случайно Бор оказался прав, ограничившись рассмотрениемтолько круговых орбит. Но построив совокупность квантовых эллиптических орбит, Зоммерфельд обнаружил среди них группы орбит, состоящиеиз нескольких орбит, имеющих одинаковую энергию, и тем самым открылочень важный в квантовой механике эффект вырождения квантовых уровней. В предлагаемом учебном пособии довольно полно изложена теорияЗоммерфельда атома водорода, с учётом эффекта «пространственного квантования» орбит.В отличие от Зоммерфельда, однако, мы оставили в теории так называемые «проникающие в ядро орбиты», представляющие собой эллиптические орбиты, вырождающиеся в дважды покрытые отрезки с одним концомна ядре (соответствующие орбитальному квантовому числуl,равному нулю), но отбросили эллиптические орбиты, представляющие собой круги(соответствующие квантовому числуl,равному главному квантовому чис-ПРЕДИСЛОВИЕ8луn).
Зоммерфельд в своей теории атома водорода проникающие орбитыне рассматривал.Во второй части нашего учебного пособия мы у;целяем большое внимание квантовой теории интегралов движения, вводим понятие «полной системы интегралов движения» и использования её собственных чисел в качестве «квантовых чисел» для нумерации стационарных состояний, соответствующих вырожденным стационарным уровням. Все эти вопросы излагаются исключительно на примере теории атома водорода. Тем самым мыизлагаем общую полную квантово-механическую теорию квантовых чисел.В предлагаемом учебном пособии мы ограничились полным изложением только вопросов, связанных с дискретными энергетическими уровнями атома водорода, и совсем не обсуждаем состояния непрерывного спектра этого атома, описывающие процессы рассеяния электрона на протонеи ионизации атома.
Не рассмотрены также и более тонкие детали спектраатома водорода, связанные с интенсивностями отдельных спектральных линий его спектра, вероятностями квантовых переходов, тонкой и сверхтонкой структурой линий и т. д. Это вывело бы нас далеко за пределы нашейосновной задачи начального ознакомления читателя с основами квантовоймеханики.Надеемся, что предлагаемое учебное пособие поможет всем желающим по возможности с меньшим трудом ознакомиться с основными идеямисовременной квантовой теории.ГЛАВА1Классическая теория атома водорода1.1.Модель атома Дж. Дж.
ТомсонаОткрыв электрон (в1897 г.), Дж. Дж.Томсон в1903г. предложил свою,ещё не совершенную модель атома (в частности, модель атома водорода,которую мы только и будем ниже рассматривать).Модель атома Дж. Дж. Томсона была в основном физически правильной, так как была электрической по своей природе. В модели считалось, чтов атоме имеется некоторое число отрицательно заряженных точечных электронов, которые погружены в «размазанный» в пространстве положительный электричесmй заряд, имеющий форму шара, который удерживает находящиеся внутри него электроны кулоновсmми силами притяжения. Положительный заряд образует «положительную сердцевину» атома, причёмДж.
Дж. Томсон предположил, что электрический заряд сердцевины равенпо абсолютной величине суммарному электрическому заряду всех электронов атома, так чтобы в целом он был бы электрически нейтрален.Модель атома Дж. Дж. Томсона сравнивали с пудингом (рисовой кашейс изюминками). Существенным недостатком этой модели было неверноепредставление о положительной сердцевине. Компактное, практически точечное атомное ядро ещё не было открыто. Его открьm Резерфорд в1911г.на основе проведённых его сотрудниками Гейгером и Мареденам экспериментов, хотя ещё в1900 г.Ленард, пропуская быстрые катодные лучи черезтонкие слои вещества, уже обнаружил, что атомы должны быть почти пустыми.Согласно модели Дж. Дж.
Томсона, положительный заряд атома водорода представляет собой однородно заряженный шар радиуса а с обьёмнойплотностью электрического заряда, равной. 4р = е . 31Газ_-Зе47Газ'ГЛАВА101где е= \е\- абсолютная величина заряда электрона. В этот шар погружёнодин-единственный электрон. Так как атом водорода электрически нейтрален, то положительный заряд шара должен равняться е (тогда е+ (-е) = 0).Найдём электрическую потенциальную энергию V(r) = -е cp(r) электрона, находящегося в точкеcp(r)-в модели атома Дж.
Дж. Томсона; здесьrпотенциал электрического поля, создаваемого положительной сердцевиной в точкеr.Е----- ...//''''(\11,\\(''///...... ---Рис.1.1Рассчитаем абсолютное значение модуля напряжённости Е( r) элекrрического поля положительно заряженного шара в произвольной точке М нарасстоянии r от центра шара.Рассмотрим сначала случайr<а, когда электрон находится внутризаряженного шара.
Через точку М, в которой мы хотим рассчитать напряжёность электрического поля, проведём воображаемую сферу с центром, совпадающим с центром О шара. Применим к ней теорему Гаусса.Электрический поток, т. е. поток векторного поля электрической индукции,вытекающий наружу через указанную сферу, равен,",.JDn dS=4n r 2 Е оЕ;sзарядQ,находящийся внутри этой сферы, равенQ = 4n rз р = 4n rз . ~ = е r334n азСледовательно, согласно теореме Гаусса,4nr2Е:оЕ=еrз3,а3аз.1.1.МОДЕЛЬ АТОМА ДЖ. ДЖ.
ТОМСОНА11а потомуE=E(r)=erКак видим, напряжённостьнейно возрастает с увеличением= еj41ГЕоа 2 припри41ГЕо а 3r:::;а.E(r) электрического поля внутри шара лиr от значения Е( О)= О до значения Е(а) =r =а.E(r)rаоРис.Рассмотрим теперь случайr >1.2а, когда точка М находится вне шара.Применяя теорему Гаусса к воображаемой сфере с центром в центре Ошара, проведённой через точку М, находящуюся на расстоянииr от центрашара, получимЗаряд Q внутри сферы любого радиусаобразом, вне шараE=E(r)=е41ГЕо r 2r ;::::а равен заряду е шара. Такимприr;::::а;получили результат, как если бы вместо заряженного шара имели точечныйзаряд величины е, находящийся в центре О шара.График зависимостиE(r)отrвыглядит так, как показано на рисунке.Найдём теперь потенциал ер рассматриваемого электрического поля.В силу сферической симметрнии электрического поля заряженного шара,потенциал ер зависит только от расстояния rцентра шара, т.
е. ep(r) = ep(r). Так какЕ = -gradер,=Jrl от точки набmодения доГЛАВА121то для радиальной компоненты напряжённости электрического поля имеемследующее соотношение:Er(r)d <p(r)= E(r)Интегрируя это равенство поr=----;у;:-·от векоторогодо оо, с учётом услоrвия <р( оо) = О (предполагаем, что значение электрического потенциала набесконечности равно нулю), получаемoofoo d I.P( r)f E(r) dr = - -а;;:- dr = <p(r ).rrСледовательно, для потенциала имеем простую формулу:J00<p(r) =E(r) dr.rr>Рассмотрим сначала случай, когда<p(r)=fооrв случаеr <е4nE: 0 r 2dr= __е_ l4пеоlroorе4nE:or'а получаем, чтоJа<p(r)=E(r) drе8псо азJf~ еа+ <р(а) =r=а; тогдаrr21a + __е_r4nE:o а4nco азе_ _е= __8псо аrdr8пЕ:о аз+_е-=4nco аr2 + __е_ =4nE:o а2- Зе- - - er8nco а8псо аз·Таким образом, потенциальная энергия электрона, находящегося нарасстоянииrот центра шара, равнаV (r)=-е <р( r) (знак минус здесь1.1.МОДЕЛЬ АТОМА ДЖ.
ДЖ. ТОМСОНА13появился по той причине, что заряд электрона равен минус е). Таким образом,график зависимостиV(r)приr~а,nриr~а;показан на рисунке.V(r)параболаРис.Получимтеперьуравнения1.3движенияэлектронавмоделиатомаДж. Дж. Томсона. Это нужно сделать, чтобы найти спектр электромагнитного излучения, испускаемого возбуждённым атомом.Если электрон в начальный момент находился в центре О положительно заряженного шара и имел нулевую скорость, то он и в дальнейшем будет оставаться в точке О, будет покоиться в этой точке, никакого движенияэлектрона в атоме не nроисходит. Имеем так называемый «невозбуждённыйатом», находящийся, как говорят, в «основном состоянию>.Так как электрон в этом состоянии атома не движется, то атом не излучает никаких электромагнитных волн, а согласно классической электродинамике, чтобы электрон излучал электромагнитные волны, он должендвигаться ускоренно.Предnоложим теперь, что электрону, находящемуся в основном состоянии, сообщили каким-то образом дополнительную энергию, скажем, в момент времениt =О его сместили из центральной точки О в другую точку Авнутри или вне заряженного шара и отпустили.Тогда приt~ О электрон начнёт двигаться и двигаться ускоренно поддействием потенциального поля сил, nритягивающего его к точке О.
Приэтом электрон начнёт излучать электромагнитные волны и неnрерывно те-ГЛАВА 114рять свою энергию, пока наконец через бесконечное время не потеряет всюэнергию возбуждения и снова не окажется в точке О. Возбуждённый атомвернётся тогда в основное состояние.Изучим движение электрона в возбуждённом атоме. Не будем рассматривать самое общее движение электрона в поте:нциальном поле V(r), когдаэлектрон часть времени проводит вне заряженного шара или вообще всёвремя движется вне шара.
Такие движения в модели Дж. Дж. Томсона атома водорода не имеют физического смысла.Рассмотрим только важный случай, когда энергия Е электрона отрицательная и близка к энергии основного состояния атома. В основном состоянии электрон покоится в центре заряженного шара.Тогда электрон будет двигаться в малой окрестности точки О. Приэтом потенциальную энергию V (r) можно приближённо считать заданнойв следующем упрощённом «осцилляторном виде»:V(r)fr2= -Vo + 2 ,где2ЗеVo=-коэффицентfе2f=81reo а'·47rEo а3 'называется «коэффицентом квазиупругой силы».
Сила, действующая на электрон, теперь даётся формулой:F=-gradV=-fr;это обычная механическая сила.Характер движения электрона в окрестности центра О шара при малойэнергии Е ~-Vo,Е> - Vo, иллюстрирует частный случай, когда электрондвижется по малому отрезку вдоль прямой, проходящей через центр шара,например, вдоль оси х. Тогда уравнение'"движения запишется в виде:mx=Fx=-fxилиmx+fx=O;отсюда, разделив обе части уравнения наm,ческих колебанийх +ш 02 х= о,2f00wo = 1n'получим уравнение гармони1.1.МОДЕЛЬ АТОМА ДЖ. ДЖ. ТОМСОНА15общее решение которого имеет вид:хгде С1, С2-=с1 cos(wot)+ с2sin(wot),произвольные константы интегрирования.
Общее решениеуравнения гармонических колебаний можно представить также в виде:х =а cos(wot+ l.f'),где а, 'Р- произвольные постоянные (а- амплиrуда, 'Р- начальная фаза).Легко показать, что самое общее движение электрона при малой энерЕ > - V0 будет периодическим с частотойгии Е ~Vo,Рассматриваемые движения при Е ~ - V0 , Е > - V0 описывают «возбуждённые состояния» атома. Двигаясь ускоренно с частотой v 0 , электронизлучает электромагнитные волны с этой частотойvo,теряет энергию возбуждения и переходит через бесконечное время в основное состояние, т. е.поnадает в точку О и далее остаётся в этой точке.Так что линейчатый сnектр атома водорода в модели Дж. Дж. Томсонасостоит из одной-единственной сnектральной линии частотыv 0 .
На самомделе атомный спектр атома водорода имеет не одну, а много, даже бесконечное число спектральных линий.Если теперь предположить, что частотаvoпо порядку величины равна экспериментально наблюдаемой частоте колебаний электронов в атомах,т. е., грубо говоря, частоте световых волн (возбуждённые атомы испускаютэлектромагнитные волны в основном в оптическом диапазоне), то можносчитать, что v 0 = 10 15 Гц, т. е. что частота vo нам известна по порядку величины. Тогда из приведённой формулы для vo можно рассчитать значение«радиуса атома»:Подставив в эту формулу значения атомных констант:е=1, 6. ш- 19 Кл,т = о, 9 · 10- 30 кг,с: 0 = о, 885 · 10- 11 Ф/мГЛАВА 116и значениес-1, получимvo = 1015а= 1,86 ·10- 10 м,приходим к правильному порядку величины размера атома водорода, имеющего линейные размеры порядка 1 А= 10- 8 см= 10- 10 м.Модель Дж.
Дж. Томсона, как видим, предсказывает правильный порядок размеро6 атома6.Несмотря на грубость и даже ошибочность (в отношении существования уатомаатомногоядраточечных размеров),модельатомаДж. Дж. Томсона даёт хотя и грубое, но в основном правильное описаниеатома и процесса излучения им электромагнитных волн.Ввидемодели«упруrосвязанногоэлектрона>>модельатомаДж. Дж. Томсона широко используется в настоящее время для полученияоценок порядковвеличинпроцессовизлученияатомамиэлектромагнитных волн и взаимодействия электромагнитных волн с атомами. Эта модель впоследствии была заменена правильной квантовой моделью БораРезерфорда.Классический эффект Зеемана1.2.Знаменитый голландский физик Лоренц, начиная с первой своей работы1875г., трудился над созданием общей теории вещества, которуювпоследствии стали называть «электронной теорией)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
