Толмачев В.В., Скрипник Ф.В. Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода (2008) (1135801), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Обозначим черезкруговой орбиты и черезvrрадиусскорость электрона на этой орбите. Очевидно,центростремительная сила, действующая на электрон на этой орбите, ~ этокулоновекая сила, с которой положительно заряженное ядро притягиваетотрицательно заряженный электрон. Следовательно,то естьmv2е= ---.24Jrt:o r44ГЛАВА2Энергия электрона на рассматриваемой круговой орбите равна суммеего кинетической энергии и потенциальной энергии:Е= mv2- _i3_4кео r2= _i3_- __tL_r4кеоОбратимсятеперь8кео= ___tL_8кеоrкr·условиюквантования.Здесь, однако, отступим от оригинального рассуж­дения Бора и воспользуемся дебройлевской дли­ной волны электрона. Работа де Бройля появилась в1923 г., на десять лет позже рассматриваемой сейчасработы Бора.С электроном, вращающимся со скоростьюvпо круговой орбите, по де Бройлю, связана волнас длиной Л=h/mv.Потребуем, чтобы на длинеорбиты укладывалось ровно целое число длин де­Рис.бройлевских волн, т.

е. потребуем, чтобы выполня-2.3лось условие квантования:2кr = пЛ,где n = 1, 2, ... - целое число, которое называется главным квантовымmv, точислом (это номер квантовой разрешённой орбиты). Так как Л =h/отсюда имеем условие:2кr = ::n~.Следовательно,mrvгде=nh,= h/2к- перечёркнутая постоянная Цl;!анка.Как видим, условие квантования можно сформулировать по-другомуh(пользуясь некоторыми своими соображениями, его фактически сформули­ровал Бор). Момент импульса электрона квантуется целыми порциями­квантами, равнымиh.Таким образом, для п-й квантовой орбиты имеем следующую системудвух линейных алгебраических уравнений:е2mv 2 = - - 4кео{m11r=nh,r'2.1.

ТЕОРИЯ БОРА АТОМА ВОДОРОДАразрешая которую, можно найти значенияrиv.45Имеемследовательно,получили формулу для радиуса п-ой кванrовой круговой орбиты.Приn= 1 имеем основную орбиту, ра­диус коrорой равенro,гдеro -так называ­емый боровекий радиус, равныйroh24m::o - -2 = О, 5 Аme=о, 5. 10- 10 м.==Радиус п-й боровекой орбиты даётся фор­мулойонлазависитnотглавногоквантовогочис­Рис.2.4квадратичным образом (пропорциона­лен п2 ).Изформулы,екий радиусr0 ,определяющейборов­получаем полезную формулудля характерной комбинации величин, входящих в кулоновскую силу при­тяжения электрона к ядру.Вычислим теnерь энергию электрона, движущегося на п-ой кванrовойорбите. Согласно выведенной выше формуле для энергии такого электронаимеемГЛАВА462при этом мы воспользовались только что приведённой формулой для ком­бинации величин, входящих в кулоновскую силу.Подставляя в формулу для энергиировский радиусr0 ,выражение, определяющее бо­Enнепосредственно приходим к следующей формуле дляэнергии n-{)й боровекой квантовой орбиты:Как видим, энергии2rv 1jn .Enвсех квантовых орбит отрицательные и зависятот n по законуУровень энергии Е 1 , взятый со знаком минус, даёт энергию ионизацииатома водорода, которая приблизительно равна13,6эВ.

Это энергия, кото­рую надо затратить, чтобы оторвать электрон от ядра в невозбуждённоматоме водорода (т. е. ионизовать невозбуждённый атом водорода, находя­щийся в основном состоянии).ЭнергииEnназываются «уровнями энергию> или квантовыми уровня­ми. Они изображены наглядно на энергетической диаграмме, показаинойна приводимом рисунке.n=з-------- Езn=2''f'11Е2н уссериисерииБаЛъмераПаШенаfСС{!ИИЛайманаn=I------------~Рис.2.5Уровень Е 1 называется основным. На этом уровне находится электронв невозбужденном атоме водорода.

УровниEnприn~2называются воз­буждёнными. На одном из этих уровней находится возбуждённый электрон.Согласно Бору, квантовые переходы с излучением фотона могут совершать­ся при переходах электрона с возбужденного уровня на основной уровеньили на более низкий возбуждённый уровень.472.1. ТЕОРИЯ БОРА АТОМА ВОДОРОДАПри переходе электрона с уровней1излучаются спектральные линииn ;:: 2на основной уровеньолетовой области спектра).

При переходе электрона на уровень nуровнейn =(они лежат в певидимой ультрафи­= 2 сизлучаются спектральные линии серии Бальмера (они ле­n ;:: 3жат в видимой оптической области). При переходе электрона на уровеньn = 3с высоких уровнейn ;:: 4излучаются линии серии Пашена (онилежат в певидимой инфракрасной области спектра). Имеются также и дру­гие серии линий в спектре атома водорода, соответствующие переходам науровнис более высоких уровней.n = 4, 5, ...Частота спектральной линии, излучаемой атомом водорода при кван­товом переходе с уровняhV=Enlна уровеньEnl - En2=En2,даётся формулой:~(~- ~);2mrnn021из этой формулы следует, что для обраrnой длины волны спектральнойлинии спектра атома имеем формулу1vEn1- En2..\с21rnc47rmcrбКонстанту в последней формуле называют постоянной Ридберга и обо­значают буквойформулуR.Таким образом, мы вывели знаменитую спектральную1=.\R(_l_n~ - _l_)niдля длин волн спектральных линий в спектре атома водорода.Эта формула бьша открыта чисто эмпирически путём угадыванияв1885 г.школьным учителем математики Бальмером до теории Бора, когдастали известны значения четырёх длин волн линий оптического спектраатома водорода (которые видны в спектрографе не очень большой разреша­ющей сильr).Если в спектральной формуле положить n2длины волн серии Лаймана; если положитьn2= 1 и n 1 ;:: 2, то получим= 2 и щ ;:: 3, то будемиметь длины волн серии Бальмера; если считать, чтоn 2 = 3 и n 1 ;:: 4, тополучим длины волн серии Пашена и т.

д. Для постоянной Ридберга имеемследующее теоретическое значение:R=4me=109737см- 1 ,4пn с ( 4m=: 0 ) 23ГЛАВА48совпадает с экспериментальным значением,оноВальмера с точностьюэВ = = 8067,5 см- 1 ).мулы(12донайденнымвыписанных6из фор­значащихцифрВ заключение приведём общий вид спектральной серии, как она вы­глядит в спектральном приборе (на экспериментальной спектрограмме).ICDpOТIIOBOJПIOвaяграни~а серии~111111-~;:!{/ЛголовLЛИНИJ1 серииРис.2.6Ещё раз обратим внимание на то, что теория Бора атома водорода, в ко­торой была получена спектральная формула Бальмера, давала длины волнспектральных линий, совпадающие с экспериментальными с точностьюдо5-6 знаков,т. е. с точностью, с которой эти длины волн измерялись наэксперименте.

В этом был её фантастический успех.«За заслуги в изучении строения атома» Бору была присуждена Нобе­левская премия2.2.1922 г.Теория Зоммерфельда атома водородаЗоммерфельд в 1916 г. обобщил теорию Бора атома водорода. Он рас­смотрел для планетарной модели Резерфорда аU~ма водорода общую задачуо произвольнам движении электрона массы т заряда -е в поле точечногопокоящегося ядра заряда е, под действием кулонавекой силы с потенциаломе2V(r)= - 4moar·Зоммерфельд сформулировал условия квантования для произвольныхдвижений электрона по эллиптическим орбитам, обобщив условие кванто­вания Бора для круговых орбит.На рисунке изображена эллиптическая орбита электрона в атоме во­дорода.

В правом фокусе эллипса О, по предположению, находится ядро.Положение электрона на орбите будем характеризовать радиальной пере-2.2.ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА АТОМА ВОДОРОДА49хРис.менной ОМ=r2.7и азимутальным углом ер, отсчитываемым от направленияиз ядра О на перигелий в направлении против часовой стрелки.Электрон находится в точке М, его мгновенную скоростьложили на радиальную компоненту Vr и угловую компонентуv== Vr + v'P. Легко видеть, что VrОбозначим черезrr,:=: lvrl =v мы раз­v'P, причёмv'P :=: lv'PI = rep.радиус-вектор электрона, находящегося в точке М,который отсчитывается от точки О, так чтоr= ОМ. Таким образом, Vr 11r,v'P..lr.Момент импульса электрона равен L = m [r.f] = m [r.

vcp], потому чтоVr 11 r. Модуль момента импульса L =:=: ILI поэтому(r. vr] = О, так какравен.L =mrvcp=mr2 ер.Вектор момента импульсаLперпендикулярен плоскости движенияэлектрона и направлен таким образом, что буравчик, ввинчиваемый в эл­липтическую орбиту в направлении движения электрона, смотрит по век­торуL.Так как кулонавекие силы центральные, то в силу закона сохранениямомента импульса имеем соотношениеL=m r 2 ер =const,означающее, что величина r 2 ер при движении электрона по эллиптическойорбите остаётся одинаковой во все моменты времени, т.

е. не зависит отвремени.Кинетическая энергия движущегося по эллиптической орбите электро-ГЛАВА 250на равна:а следовательно, в силу закона сохранения полной энергии имеем соотношениеЕ= m (i 22+ r 2 <j})- - е24 1ГЕоr=const;полная энергия электрона nри его движении по эллиптической орбите оди­накова во все моменты времени.Электрон движется по эШIИптической траектории, уравнение которойв рассматриваемых полярных координатах имеет вид:рr=..,------1 +Ecosep'где р = Ь 2 /а-параметр ЭJШИпса, Е = с/ а-его эксцентриситет (Е< 1).Обратим внимание, что центр полярных координат помещён не в цен­тре эJШИпса, а в его фокусе, в котором находится ядро.

Угол ер отсчиты­вается от направления, проведённого из этого фокуса в точку перигелияорбиты.Эмиптическая орбита электрона характеризуется значениями двух- :момента импульса и энергии. Найдём значенияинтегралов движенияэтих интегралов для конкретной эллиптической орбиты.Модуль момента импульса равенон не зависит от времени.Рассмотрим интеграл энергии.

Характеристики

Список файлов книги