Толмачев В.В., Скрипник Ф.В. Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода (2008) (1135801), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Так как в точках перигелия и афелияv r <{:;,то для этих точек (т. е. при ер= О и 'Р 1r)орбиты (и только в них)==имеем формулу2~~mv 2Е=----=----41ГЕоr'2mr241ГЕоr2L~в которои мы учли, чтоv = v'P,LL = mv r, v = mr·2.2.ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА АТОМА ВОДОРОДА51Подставим в эту формулу значения радиальной переменнойrв точкахперигелия и афелия:рr=-p-r= 1+с:'1-Eи приравняем друг другу значения энергии Е электрона в обеих эmх точках. Так получим следующее равенство:то есть равенствоL22mp2--{(1+с:)2-(1-с:)22е}=--{(l+c:)-(1-c:)},41ГЕоРиз которого следует, чтоL2-2mp 2{(1 +Е)- (1- Е)}{(1 +Е)+ (1- t:)}= - е241ГЕоР{(1 +Е)- (1- Е)}.Таким образом,где ргде-roпараметр эллиптической орбиты, а потому= 41ГЕоh2- -2-боровекий радиус.теХотя в этой формуле и появилась постоянная Планкаh, но эта формулаклассическая, так как постоянная Планка в ней возникла искусственно: изза того, что мы ввели боровекий радиусro,который содержитh.Получили очень простую формулу, связывающую значения геометрического параметра р эллипmческой орбиты со значением интеграла момента импульсаLдля этой орбиты.52ГЛАВА 2Для энергии Е электрона в точке перигелия имеем формулутаким образом, приходим к следующему результату:Получили формулу, связывающую энергию Е электрона, движущегосяпо эллиптической орбите, с эксцентриситетом Е: этой орбиты и значениеммомента импульсаLэлектрона на этой орбите; при Е:отрицательную энергию; здесь2.2.1.r0-< 1имеем Е<О,боровекий радиус.Квантование эллиптических орбитРассмотрим обобщённые импульсы Pr и р'Р, соответствующие обобr и r.p электрона, движущегося по эллиптической орщённым координатамбите.Эти обобщённьrе импульсы формально определяют следующим образом.
Надо взять выражение для кинетической энергии электрона, выраженное в обобщённых координатахr, r.p:и продифференцировать его по обобщённым скоростямPr =дКдr=.mr,р'Р=дКдер=r и rp:2.mr r.p,так получаем формулы, определяющие обобщённые импульсы.Как видим, угловой обобщённый импульс р'Р равен величине, сохраияющейся при движении электрона, в силу закона сохранения момента импульса электрона. Когда орбита электрона круговая, тогда=const,гдеv-r=О иrcp = v =постоянная скорость электрона на круговой орбите.ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА АТОМА ВОДОРОДА2.2.53Условие квантования Бора для круговых орбит Зоммерфельд записалс помощью обобщённого импульсаPrpв виде:211"jPrp d<p = n h,о=где n1, 2, ...иh- неперечёркнутая постоянная Планка.Действительно,для круговой орбиты211"j211"р'Р d<p =оjmrv d<p =27Г mrv,оа следовательно, согласно условию Зоммерфельда,mvrгде1i -= nh,перечёркнутая постоянная Планка, т. е.
имеем условие квантованияБора.Для эллиптических орбит Зо.м.мерфельд предложил два следующихнезависи.мых условия квантования:rmax2jPr dr = nr h,Tminгдеh -неперечёркнутая постоянная Планка,n'Pиnr -положительныецелые числа, которые называются «угловым квантовым числом» и «радиальным квантовым числом».Второй интеграл поr,как и первый интеграл по <р, берётся по полнойорбите электрона.
Поэтому в качестве пределов второго интеграла мы взялиrmin и rmax- расстояния от ядра до перигелия и до афелия эллиптическойорбиты и результат умножили на2.Рассмотрим теперь условия Зоммерфельда квантования эллиптическихорбит.Для произвольной эллиптической орбиты величина r 2 <{; не зависит отвремени в силу закона сохранения момента импульса, таким образом, угловой обобщённый импульс р'Р = mr 2 <{; является интегралом движения.ГЛАВА 254Рассмотрим первое условие квантования Зоммерфельда.
Так как Рор-интеграл движения, Рор можно вынести из-под знака интеграла и получитьформулу21ГJРор21Гd<p =РороJdrp =21Грор = пор h,оиз которой непосредственно следует, чтот. е. значение углового импульса Рор на квантовой эллиптической орбитеквантуется порциямиhи определяется значением квантового числа пор.Рассмотрим теперь второе условие квантования Зоммерфельда. Имеемдля него формулутак что надо вычислить появившийся здесь интеграл:2.2.2.Вычисление интегралаВозьмём этот интеграл. Дифференцируя по углу <р уравнение эллиптической орбитыполучим формулуpE:sin<p1 drr d<p2.2.ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА АТОМА ВОДОРОДА55Используя её, имеем следующее выражение для рассматриваемого интеграла:2кjI =2кс:2 sin 2 ерdep =( 1 + с: cos ер) 2оjс: sin ер d (1) =1 + Е' cos ероJ2кc:sinep 1= 1+Ecosepо2к-оJ2кE'COSep d1+Ecosep ер=- 2к+оdepl+c:cosep·Очевидно, что2кJ1 +Ecosep=ок2w -dep1 +Ecosep +1 + Е' cos ер-dep1 +Ecosep=кJоdepогде ер :=J2ко-1-Jкdep-1 + с: cos ер' -кJк1dep2dep1 + Е' cos ер 'оер'.
Далее,00а= _4_ . l arct ~1-fga1 -Е' =2к1-f~~'= ~01гдех- t g ер-2'21 +с:а = 1-f·ГЛАВА 256Таким образом, приходим к окончательной формуле:1=-27Г+ п=27Г(h-1).11Е:Используя это значение интегралаЕ:2I,второе условие квантования Зоммерфельда можно представить в следующем виде:Так как согласно первому условию Зоммерфельда р'Р ·=h n'P,то отсюда получаем, что1~и окончательногдеn-21r =1i n'P · 27Г =_ 1 =nrn'P'соотношение== nr + n'P -квантовое число, называемое «главным квантовым числом».Получили формулу для эксцентриситета квантового эллипса:приnr=О имеем круговую орбиту, эксцентри~тет которой Е:= О.Эксцентриситет эллиптической орбиты определяется значениямиквантовых чиселnrиn'P.Подставляя значение для Е: 2 в формулу для энергии Е электрона, приходим к следующей окончательной формуле для полной энергии электронана квантовой эллиптической орбите:гдеn= nr + n'P -главное квантовое число.2.2.ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА АТОМА ВОДОРОДА57Энергия квантовой эллиптической орбиты определяется значениемсуммыn= nr + nrp кван.товых чисел nr и nrp, а не значениями этих чиселпо отдельности.Следовательно, может случиться, что несколько плоских квантовых эллиптических орбит будут иметь одинаковую энергию (этокоторых сумма nr-орбиты, для+ nrp одинакова).Такое явление, когда одному и тому же зн.ачен.ию энергии, т.
е. одномуи тому же эн.ергетическому уровн.ю, соответствует несколько квантовыхсостояний движения, т. е. несколько квантовых эллиптических орбит, называется «вырождением», а энергетический уровень называется <<вырожденным».В теории Бора никаких вырожденных уровней нет. В более полной теории Зоммерфельда, а также и в экспериментальном спектре атома водородаони существуют.На рисунке изображены самые важные квантовые эллиптические орбиты. Эллиптические орбиты с нулевым квантовым числом nrp = О в своей теории Зоммерфельд отбросил.
,IJ.ля таких орбит Е =1,и они являются дважды покрытыми отрезками, один конец которых расположен в ядре.Эти орбиты, как сказал Зоммерфельд, «проникают внутрь ядра» и поэтомуих следует отбросить, он посчитал эти орбиты не имеющими физическогосмысла.Однако правильно в теории Зоммерфельда исключить не эти орбиты,а орбиты, для которых n'P= n, хотя они и соответствуют боровским круговым орбитам. Так именно мы и поступим и будем считать, что при фиксированном n = 1, 2, .
. . угловое квантовое число принимает значенияnrp =О,1, ... , n- 1;т. е. принимает n значений, причём значение nrp= nисключено.На рисунке представлены квантовые эллиптические орбиты nри=n =1, 2, 3.Рассчитаем большую и малую полуоси квантовой эллиптической орбиты. Так как Е = cj а, с2=а 2 - Ь 2 , то Ь = а~. Таким образом, знаяэксцентриситет и большую полуось квантового эллипса, его малую полуосьможно вычислить по этой формуле. Большую полуось можно найти, знаяпараметр р квантовой эллиптической орбиты. Действительно,r= ..,.-----=-Р __1 + ECOScp'ГЛАВА58поэтому приrp =2О получаемррa(l-E)= l+E'---2.1-Еа=Так как2р= roPrpn22= ro nrp,то для большой полуоси квантовой эллиптической орбиты имеем оченьпростую формулу:для малой полуоси I<Вантовой эллиптической орбиты имеем формулуЬnтаккак ~ = ;:.Как видим, при nrp=n= ronnrp,имеем Ь = а, в этом случае квантовая эллиптическая орбита круговая.n=l,niP=l...../(1-- 'n=l,niP=O-+--....'\;' ......
_,....,'1ft-----, __ _\\''\\\1111111JJ1,/_...Рис.2.8--............. "'112.3.2.3.ТЕОРИЯ 3ОММЕРФЕЛЬДА КВАНТОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕИНЫХ ОРБИТ59Теория Зоммерфельда квантованияпространствеиных орбитМы подробно рассмотрели квантование по Зоммерфельду плоских эллиптических орбит при помощи азимутального nr.p и радиального nr квантовых чисел. Расскажем теперь, как по Зоммерфельду проквантовать положения эллиптических орбит в трёхмерном пространстве.умхРис.2.9При рассмотрении плоских эллиптических орбит положение М электрона на орбите мы характеризовали двумя полярными координатамиrиr.p,как показано на рисунке.
При рассмотрении пространствеиных эллиптических орбит положение М электрона на орбите будем характеризовать тремясферическими координатамисистемойOxyz.r,е, ф, с пекоторой произвольной декартовойАтомное ядро атома находится в точке О, являющейся одним из фокусов эллипса.Считаем ради простоты, что эллиптическая орбита, изображённая нарисунке, близка к круговой. Радиальное расстояниеэто угол между осьюOz и отрезкомr-это ОМ, угол еОМ, угол ф- это угол между осью Охи полупрямой ОК, так называемой «линией узлов», уголплоскости рассматриваемой эллиптической траектории,осью Ох' и отрезком ОМ.Так какх =r sin е cos ф'у =r sin е sin ф'rcose,z=-r.p, показанный наэто угол между60ГЛАВА 2zz'Рис.то, дифференцируя по времениt,2.10получимх = rsinBcosф + rcosBcosфO- rsinBsinфф,у=r sin е sin ф + r cos е sin ф о + r sin е cos ф ф'i = rcos е - r sin е о.Таким образом, для кинетической энергии электрона имеем следующее выражение:к·2·2} =t,= m{·2x+y+z222 22222 2= т {r sin В cos ф + r sin Bsin ф + r cos В+2+r 2 cos 2 е cos 2 ф 02 + r 2 cos 2 е sin ф 02 + r 2 sin 2 е 02++r 2 sin 2 Bsin2 ф ф 2 + r 2 sin 2 В cos 2 ф ф 2 ++2r0 r sin е cos е cos2 ф + 2r0 r sin е cos е sin2 ф - 2r0 r sin е cos e-2rфrsin2 Bcosфsinф + 2rфrsin 2 Bcosфsinф--2iJфr2 sinBcosBsin фсоsф + 2Офr 2 sin е cosesin фсоs ф} ==r;; {r2 + r202 + r2 sin2 еф2}.ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА КВАНТОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕИНЫХ ОРБИТ2.3.61Следовательно,Таким образом, обобщённые импульсы при пространствеином рассмотрении эллиптических орбит имеют вид:_Pr=ак8r._акР&=-.= mr,=mrае_2 ·В,Р.рак= -.8ф=mr2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
