Толмачев В.В., Скрипник Ф.В. Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода (2008) (1135801), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КАК РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 89то можно считать, что М=оо и чw проwн, являющийся ядром аwмаводорода, покоится.Эти упрощающие предположения были использованы в первых рабо­тах по квантовой механике Шредингера и Гейзенберга.Вместе с тем в настоящее время существует также и полная квантоваятеория аwма водорода без указанных упрощений, но ею мы заниматься небудем.Таким образом, рассмотрим атом водорода Н как квантовую системус одним электроном, представляющую собой тяжёлый проwн с зарядом еи массой М = оо и движущ}фся около него лёгкий электрон с зарядом -еи массой т (е=jej- абсолютная величиназаряда электрона), протон при­тягивает к себе электрон электрической силой кулоновского притяжения.Атом водорода является простейшим атомом и простейшей реальнойквантовой системой. Кванwвая механика позволяет теоретически рассчи­тать все детали его спектра.4.1.1.Стационарное уравнение Шредингера для атома водородаОсновной задачей волновой квантовой механики любой кванwвой си­стемы является решение так называемого стационарного уравнения Шре­дингера для этой системы.Результаты решения стационарного уравнения Шредингера для атомаводорода находятся весьма в удовлетворительном (можно сказать, отлич­ном) согласии с эксперименwм в ультрафиолетовой, оптической и инфра­красной областях его спектра.Задачу об атоме водорода мы сводим к задаче о движении электронав фиксированном центральном поле сил с потенциалом V(r) = -е 2 /41ГЕоr,гдеr-расстояние от электрона до начала координат, где находится непо­движное ядро, е - абсолютное значение заряда электрона.Используя для потенциала обозначение V(r), запишем стационарноеуравнение Шредингера в приближении центрального поля в следующемвиде:2-;т D..ф + V(r)ф = Еф;здесь ф-волновая функция стационарного сосwяния, Е-энергия стаци­онарного состояния, лапласпаи является дифференциальным оператором:90ГЛАВА 4уравнение Шредингера рассматривается во всём бесконечном трёхмерномпространстве, т.

е. функция ф(х, у,у, z < +оо.z)считается заданной при -оо <х,Требуется отыскать решения приведённого уравнения Шредингера какпри Е<О (связанные состояния), так и при Е;;?:О (состояния ионизациии рассеяния). Ниже будем рассматривать только связанные состояния (приЕ<0).При Е < О следует требовать, чтобы решения уравнения Шрединге­ра- волновые функции ф(х, у, z)- достаточно быстро убывали на беско­нечности. При Е;;;:: О (состояния ионизации и рассеяния) следует требоватьтолько, чтобы функции ф(х, у,z)были ограничены (не возрастали на бес­конечности).Решить уравнение Шредингера для стационарных связанных состоя­ний означает, что надо найти все те значения Е, для которых это урав­нение имеет нетривиальные, т. е.

не равные тождественно нулю решения,которые быстро убывают на бесконечности так, чтобы приведённый ни­же так называемый «нормировочный интеграл» сходился. Разумеется, надопостроить также и сами решения- волновые функции ф(х,у,z)- длякаждого такого Е.Стационарные состояния уравнения Шредингера атома водорода явля­ются точными аналогами квантовых орбит старой квантовой механики.Электрон в атоме в рассматриваемой теперь строгой квантовой механике недвижется в атоме ни по какой траектории или орбите: он как бы находитсяодновременно сразу во всех точках бесконечного трёхмерного пространстваоколо ядра, так как описывается заданной во всём пространстве волновойфункцией ф(х, у,z).Позтому в строгой квантовой механике говорят не об«орбитах», а об «электронных облаках» или «электронных состояниях».4.1.2.Физический смысл волновых функцийФизический смысл волновой функции ф(х, у,z)электрона состоитв следующем.

ВеличинаIФ(х, у, z)l 2 dx dy dz,гдеах, у, z координаты пекоторой точки пространства околоdx dy dz - некоторый бесконечно малый обьём, окружающий этуядра,точку,является вероятностью найти электрон, как точечную частицу, в объёмеdx dy dzоколо точки х, у,zпри условии, что электрон пребывает в со­стоянии, описываемом волновой функцией ф(х, у,z).4.1.СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КАК РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА91Так как случайные события найти электрон в окрестности точкиz1х1, у1,z2или в окрестности точки х2, У2,независимые друг от лругаи взаимно исключающие, то вероятность найти электрон в состоянии, опи­сываемом функцией ф(х, у,обьёмаVвнутри какого-нибудь заданного конечногоz),в простаястве около атомного ядра даётся интегралом:Р=JJJ\ф(х, у,2z)\ dxdydz.vСогласно сформулирощ~ному физическому смыслу волновой функ­z), вероятность найти электрон, иребывающий в стационарномсостоянии, описываемом волновой функцией ф(х, у, z), вообще в какой­ции ф(х, у,нибудь точке бесконечного пространства (неважно какой) даётся интегра­лом:+ооJJJ\Ф\2dxdydz,-(Х)и так как это случайное событие-достоверное (которое обязательно про­изойдёт), то его вероятность равна единице, и поэтому+ооJJJ\Ф\2dxdydz = 1;-ооэто и есть упомянутое выше «условие нормировки» волновой функции.4.1.3.в-состояния атома водородаПриступим к решениюстационарного уравнения Шредингера длясвязанных стационарных состояний атома водорода.

Сначала рассмотримсферически симметричные решения,соответствующие так называемым«в-состояниям», т. е. решения, для которых волновая функция сферическисимметричная и зависит только от r =ф =гдеf-пекоторая функция отдфдх=!' дrдх=~ f'r'r,J х2 + у2 + z2:J(r),которую мы и будем искать.

Очевидно:92ГЛАВА 4поэтомугде штрихи обозначают производные поПодставляя полученную форму­r.лу для дf в уравнение Шредингера, получаем уравнение:_ll_2m(2:.!'+/')_Llf=Efrr'4nfo/' +'l:.f'+ 2mL1.J= _2mEf.п}r4m:o rh2Величина 4nc: 0 h 2 jme 2 = r 0 имеет размерность длины и называет­ся «боровским радиусом». Энергию Е выразим через безразмерный пара­метр Л, такой чтоТогда придём к уравнению"22f + r f + ror ff=1= Лf.Оказывается, наиболее простое решение этого уравнения имеет видe-ar, где а - некоторая постоянная. Чтобы убедиться в этом (и найтизначения констант а и Л), проведём следующие вычисления:f'= -ae-ar,f"=а 2следовательно, приходим к двум соотношениям:а=1ro'Таким образом, мы построили решениеe-ar,.,.4.1.СТАЦИОНАРНЬIЕ СОСТОЯНИЯ КАК РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРАстационарнот уравнения Шредингера атома водорода, в котором С-93нор­мировочная постоянная, значение которой следует искать из приведённоmусловия нормировки.Оказывается, найденное решение соответствует связанному стацио­нарному состоянию электрона в атоме водорода с самой низкой энергией,т.

е. так называемому «основному состоянию» атома.~з~~~~~~Зв~2sE1 --------~L--lsРис.4.1.Существуют также и другие s-решения рассматриваемоm стационар­нот уравнения Шредингера для атома водорода, соответствующие значе­ниям энергии: Е2= Е 1 /4,Ез=Е1/9 и т. д.

Вообще, можно показать,что любое s-решение имеет видPп-l(r) е-<>пт,гдеPn-l(r) -некоторый полином отrстепени n -1, an -пекотораяпостоянная. Энергия этого s-решения даётся формулой:числу нулей функции ф(r).числоn- 1 равно4.1.4.р -состояния атома водородаРассмотрим теперь решения стационарнот уравнения Шредингерадля атома водорода следующеm вида:Ф=xf(r),гдеf -пекоторая функция, зависящая отr.96ГЛАВАгде Pn~2- некоторые полиномы(n-42)-ой степени.Энергии трёх приведённых решений 'Фпрх,у,zЕп =с n=Е1- , т. е. равны энергии состоянияn2?: 2 имеем,одинаковыи равныДля любого уровня Епns.таким образом, по три независимых р-решения.d-состояния и более сложные стационарные состояния атома4.1.5.водородаНаше рассмотрение можно продолжить и построить решения, которыедаются произведениями функции, зависящей отнаций координат х, у,z.r,и квадратичных комби­В качестве таких комбинаций можно взять одну изследующих шести комбинаций:из трёх последних функций только любые две линейно независимы.Проводя аналогичные рассуждения, как дляs-и р-состояний, можноприйти к следующему результату.

Указанные шесть (независимых пять) со-стояний соответствуют одной и той же энергииEn =Е~ при n ?:n3.Этирешения описывают так называемые «d-состояния».Рассматривая решения в виде произведений функции, зависящей толь­ко отr,и кубических комбинаций х, у,z,можно получить «/-состояния»и т. Д.Стационарные состояния как собственные функции4.2.и собственные значения гамильтонпава атомаводорода4.2.1.Оператор Гамильтона для атома водородаПримелим теперь к атому водорода операторную квантовую механику.Задачу решения уравнения Шредингера для атома водорода и отыскания егостационарных состояний в операторной квантовой механике надо заменить,.4.2.СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КАК СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ97на проблему отыскания собственных функций и собственных значений опе­ратора Гамильтона (или «гамильтониана») атома водорода.

Гамильтонианоматома водорода называется линейный оператор:действующий в пространстве волновых функцийв бесконечном трёхмерном пространстве -оо-< х,у,1/J(x, у, z), заданныхz < +оо; здесьоператор Лапласа.С помощью оператора Гамильтонаfiстационарное уравнение Шре­дингера можно записать в следующем виде:т.

е. в виде «уравнения на собственные функции и собственные значения»оператора Н (Е - энергия соответствующего стационарного состояния);функции1/J(x,у,z),заданные во всём трёхмерном пространстве, таковы,что для каждой из них интеграл+ооj j j \'Ф\ 2 dxdydz = 1-00сходится.4.2.2.Операторы физических величинОсновная идея операторной квантовой механики состоит в том, чтов ней все физические величины описываются не алгебраическими числами,как в классической механике и физике, а операторами: более точно, «линей­ными эрмитовымя операторами, действующими в пространстве волновыхфункций» рассматриваемой квантовой системы.В случае атома водорода волновыми функциями состояний системыявляются комплекснозначные функции 1/;(х, у,трёхмерном пространстве: -оо< х,у,z <z),заданные в бесконечном+оо.В отличие от алгебраических чисел, для которых не важен порядок ихв произведениях, для операторов порядок их следования в произведениях98ГЛАВА4важен, так как операторы, вообще говоря, не коммутируют друг с другом(следовательно, в произведениях их, вообще говоря, переставnять нельзя).Разумеется, приборы, с помощью которых производятся измерениязначений физических величин в тех илн иных состояниях системы, при из­мерении этих значений дают показания в виде действительных чисел (а неоператоров).В операторной квантовой механике считается, что числовые зиачеиияфизической величииы, которые показывает прибор, с помощью которогоэта величииа измеряется,-это одио из собственных зиачений оператораданной физической величины.Функпиональное пространство квантовой системы, например, рас­сматриваемого сейчас атома водорода, обладает такими же математически­ми свойствами, как п-мерное векторное пространство, изучаемое в линей­ной алгебре.

В частности, для него существуют понятия линейной зави­симости и независимости волновых функций, базисных систем волновыхфункций и т. д. В отличие от п-мерного векторного пространства элементыфункпионального пространства называются не «векторами», а «функция­ми», точнее, «волновыми функпиямю>. Они действительно функции, при­нимающие, вообще говоря, комплексные значения, т. е. значения, задавае­мые коммексными числами.Теперь, однако, как правило (но не всегда), функциональное простран­ство, в отличие от п-мерного векторного пространства линейной алгебры,бесконечномерное, т. е.

его размерностьnбесконечная (причём множествобазисных волновых функпий не обязательно счётное: может случиться да­же, что частично или полностью континуальное).Как в алгебраическом п-мерном векторном пространстве, в функцио­нальном пространстве волновых функций существует скалярное произведе­иие.Вфункциональномпространствеволновыхфункцийатомаводо­рода скалярным произведением двух произвольных волновых функций<р(х, у,z)и ф(х, у,z)(<р, ф) = jназывается комплексное число:+ооjj<р(х, у, z)*ф(х, у, z)dxdydz;-ооэто число кратко обозначается как(tp,ф).

Характеристики

Список файлов книги