Толмачев В.В., Скрипник Ф.В. Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода (2008) (1135801), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ и КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА107Средuее зиачеиие иuтеграла движеuия А совпадает с собствеииымзuачением йп его оператора А.Вычислим uеопределёиuость д. А интеграла движения А в стационарном состоянии 'Фп· Имеем следующий результат:(д.А)2= ('1/Jп,А2А '1/Jп)- ('1/Jп,~A'I/Jn)2=~)222= ( '1/Jп, A(aп'I/Jn) -an=O:'n-O:'n=O.В стациоиарuом состоянии 'Фп квантовой системы не только неопределённость энергиv,. д. Е равна нулю, но также равна uулю и uеопределёиность д. А любого иитеграла движеuия.То есть как энергия, так и все интегралы движения имеют точные значения в стационарных состояниях.4.3.2.Квантовые числаОстановимся на припятом в современной квантовой механике удобномспособе нумерации так называемыми «квантовыми числами» стационарных состояний квантовых систем, в частности, стационарных состоянийатома водорода.Нумерация эта основана на теореме, которую мы приводим здесь бездоказательства, а также на определении понятия «полной системы физических величин», которое основано на этой теореме.Теорема.
Для системы попарuо коммутирующих друг с другом эрмитовых операторов А, В, ... , 8 можuо построить полuую систему одuовременных собственных фующийОпределение. Система попарно коммутирующих эрмитовых операторов А, В, ... , д называется полной, если у одновременной системы собственных функций 'Фп этих операторов не существует таких двух функций 'Фп1 и 'Фп2, у которых наборы собственных чисел йпl, fЗп1,и O:'n2, fЗп2 , ... , /n2 одинаковы.Собственные числа а,(3, ... , 1...
, /пlполной системы попарно коммутирующих эрмитовых операторов дают математически очень естественный способ нумерации одновременных собственных функций указанной полнойсистемы операторов. Этот способ используется в современной квантовоймеханике.ГЛАВА 41084.3.3.Полвые наборы коммутирующих друг с другоми с гамильтовиавом физических величин квантовой системыВследствие наличия у квантовой системы физических симметрий,энергии стационарных состояний системы, т.
е. собственные значения еёгамильтониана Н, как nравило, вырождены (как в случае атома водорода,для которого вырождение уровней связано с пространствеиной сферической симметрией). Таким образом, стационарные состояния нельзя однозначно характеризовать только значениями их энергий ..Цля однозначного обозначения стационарных состояний квантовой системы nриходится поэтому рассматривать не только её гамильтониан Ни его собственные значения, а целый набор (из конечного числа) попарнокоммутирующих между собой и коммутирующих с гамильтонианом операторов физических величинн, А, в,8,являющихся интегралами движения рассматриваемой квантовой системы, иих одновременные собственные функции и значения.
Число дополнительных операторов А, В,8и т. д. интегралов движения, которые надо добавить к гамильтониану, чтобы получить из него полную систему операторов,конечно.Указанная система величин полна в том смысле, что одновременныесобственные функции её операторов не вырождены. Физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, является интеграломдвижения.В случае атома водорода, без учёта спина электрона, полным являетсянабор коммутирующих друг с другом величин Н,где L 2 - опеV, Lz,ратор квадрата орбитального момента импульса электрона,Lz -операторпроекции орбитального момента импульса электрона на осьOz.Если две физические величины А и В характеризуются коммутирующими друг с другом операторами А и В ([А, В] = 0), то в качестве иходновременных собственных функций (A7/ln = о.п'Фп, ВФп = f3п'Фп) можновзять одну и ту же систему волновых функций 'Фп·Действительно, возьмём какую-нибудь собственную функцию Фп оператора А и докажем, что она является собственной функцией оператора В.
Рассмотрим функцию ВФп- Действуя на неё оnератором А, получимA(B7/ln) = AB7/ln = ВАФп = Во.п7/Jп = о.п(В7/lп) (при написании третьего равенства мы воспользовались тем, что АВ = БА). Если значение o.n4.4.ОПЕРАТОРЫ ОРБИТАЛЬНОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОНА109не вырождено, то отсюда заключаем, что В 'Фп = С '1/Jп, где С - пекоторая постоянная, т. е. что 'Фп является собственной функцией оператора В.Если значениеanвырождено, то можно доказать (с помощью довольнодлинных рассуждений), что всегда можно выбрать такие линейные комбинации собственных функций для собственного значения a:n, что они будутсобственными функциями и оператора В.Операторы орбитального момента импульса4.4.электрона4.4.1.Фундаментальвые коммутационные соотношения для.-~операторов проекций орбитальвоrо уrлового моментаВ классической механике момент импульса электрона определяетсявекторнойформулойL = [r.mv],vв которой r - радиус-вектор электрона,-мгновенная скорость электрона.В квантовой механике моменту импульса соответствует векторный эрмитов операторL= [r.p].Здесьх=х., у=у.,-z=z.операторы декартовых координат электрона, точка означает, что это оператор умножения функции соответственно на х, у,~Рх =-hiд~hiдх' Ру=д~ду' Pz =z.hiДалееддzоператоры проекций импульса электрона.Таким образом, операторы компонент момента импульса имеют следующий вид:Найдём коммутационные соотношения для операторов проекций орбитального углового момента.
Пусть ф-произвольпая функция. Тогда имеемГЛАВА 4110следующие соотношения:Lxl~y1f; = -n? (Уд_- zд__)(zд__- хд__) ф =дzдудхдz=-h2(д2д -z 2 -д2- - x yд2- + z xд2yz--+y--)2дzдхдхдудхдzдудzф'Lу Lх'Ф = -n2 (z.Ё_х.2....)(у.2....zд__)ф=дхдzдzду=82-n2 ( zy дхдz-д22 д2ху дz2 - z дхдуд2д )+ xz дzду + х дуф.Вычитая вторую формулу из первой, получим(LxLy-L)-,x)Ф=-n2 (У :х - х :У) =in · ~ (х :У -у :х) 1/J=inLz ф.Так как функция ф- произвольная, то получаем следующие так называемые «фундаментальные коммутационные соотношения» для операторовпроекций момента импульса:[LxLy]=inLz,[LyLzJ=inLx,[LzLxJ=inLy,где квадратные скобки обозначают коммутатор двух операторов:(А, В]:= АВ - БА.Как видим, операторы Lx, Ly, Lz не коммутируют друг с другом.Рассмотрим теперь так называемый «оператор квадрата углового момента»L2 = Z~ + Z~ + z;.Вычислим коммутатор операторов j} и Lx:~~2~-2-~2[Lx, L ] = [Lx, Ly] + [Lx, Lz]== Ly[LxLy] + [Lx, Ly]Ly + Lz[Lx, Lz] + [Lx, Lz] Lz= ihLyLz+ inLzLy - ihLzLy - ihLyLz=О;здесь мы воспользовались свойством коммутатора:[А, в с] = в [А, с]+ [А, BJ с;таким образом, имеем равные нулю коммутаторы:-2~[L , L,;]=О,-2~[L , Ly] =О,~2-[L , Lz] =О.=4.5.ОПЕРАТОРЫ СПИНОВОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОНА111Операторы спинового момента импульса электрона4.5.4.5.1.Фундаментальные коммутационные соотношения дляоператоров проекций спинового углового моментаЭлектрон не является бесструктурной точечной частицей, характеризующейся только декартовыми координатами х, у,и «внутренней» степенью свободы-Он обладает также ещёz.спином, являющимся внутренним моментом импульса электрона.
То есть на самом деле электрон имеет не три,а четыре координаты: х, у,z,а z, где а zпроекция спина электрона на ось-О z взятой декарто~й системы координат; причём эта проекция принимаеттолько два значения: а z= ±h/2.С учётом спина состояние электрона следует описывать не волновойфункцией ф(х, у,z),а волновой функцией ф(х, у,z, az), зависящейтакжеи от спиновой переменной а z. Соответственно операторы физических величин теперь действуют в пространстве функций ф(х, у,z, az).Так как спиновая переменная принимает два значения, то рассматриваемые новые волновые функции можно представить (что обычно и делают) в виде функцийстолбцов1 х 2:('Ф1(х, у, z) )Ф2(х, у, z)·Физический смысл функций Ф1(х, у,ющем.
Величинаz)и Ф2(х, у,IФ1(х, у, z)l 2 dxdydzдаёт вероятность найти электрон в обьёмеимеющий проекцию спина на осьOz,dx dy dzравную а z =является вероятностью найти электрон в обьёмех, у,z) состоит в следуоколо точки х, у,h/2,z,а величинаdx dy dz околоz, имеющий проекцию спина на ось Oz, равную az = -h/2.точкиОператоры декартовых проекций спинового момента импульса электрона дейцвуют только на спиновую переменную и являются следующимиматрицами 2х2:п8 х=2(о11)О'Sy =-i)2п (оi Окоторые ввёл в квантовую механику Паули в'1927г.Основанием, что эти операторы являются квантово-механическимиоператорами декартовых проекций спинового момента импульса, служитГЛАВА 4112то, что они удовлетворяют в точности таким же фундаментальным коммутационным соотношениям, каким удовлетворяют операторы декартовыхпроекпий орбитального момента импульса:УПРАЖНЕНИЕ 3.
Доказать, что операторы Вх,Sy, Bz являются эрмитовымя операторами.Матрицапроизвольногоесли ан2х2зрмиrова оператора= ai 1 , azz =Sx =а2 2 , а121)2h (о1 О='-зрмиrова, т. е.соответствуетзрмиrовомуопрератору,а2 1 . Легко видеть, что матрицыSy =2h (оi-i)ОhSz = 2'(1Оо)-1обладают указанным свойством.УПРАЖНЕНИЕ 4.Доказать, что операторы Вх,Sy, Bz удовлетворяютприведённым коммутационным соотношениям.Действительно,-i)-- h24 (iооо)-i=ihSz,2следовательно,Далее,sysz = ~ (~ ~i) (6 ~~) = ~ (~ ~) = i; sx,szsy = ~z (6 ~1) (~ ~i) = ~z ( ~i ~i) = - i; sx,22следовательно,Далее,szsx = ~ (~ ~1) (~ ~) ~ ~ (~1 ~) = i; Sy,sxs.
= ~ ~1 6) (6 ~~) = ~ (~ -~n = - i; sy,2222(4.5.ОПЕРАТОРЫ СПИНОВОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОНА113следов/Пельно,Как и для операторов орбитального момента импульса, полезно рассмотреть оператор квадрата спинового момента импульса--2--8 2 = Sx..-2--2+ Sy + Sz,который на самом деле является единичным оператором, так как82 =~h2 (~ ~).УПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что оператор 82 даётся единичной матрицей.Действительно,~2~2~2Sx +Sy +Sz ==п; (~ ~) (~ ~) + п; (~=-;;i) (~ -~п + ~2 (~ ~1) (~ ~1) =~ (~ ~) + ~ (~ ~) + ~2 (~ ~)=3~2 (~ ~) .Из приведённого вида оператора 82 непосредственно следует, что спинэлектрона s равен ~'так как ~ =s(s + 1)при s = ~-Очень легко убедиться в справедливости следующих коммутационныхсоотношений:[82,Вх] =О,т. е. операторы проекций спинового момента импульса коммутируют с оператором квадрата спинового момента импульса аналогично тому, как операторы орбитального момента импульса коммутируют с оператором квадратаорбитального момента импульса.Уравнение Шредингера с учётом спина теперь следует записывать ввидеу, z)) =+ V(r)} (Ф1(х,{ -Кt:..ф'Ф2(х, у, z)2mz)) ·_Е ('Ф1(х, у,'Ф2(х, у, z)-[ЛАВА1144Полным набором физических величин с учётом спина теперь будутвеJШЧИНЫа квантовыми числами, однозначно характеризующими стационарные состояния атома водорода с учётом спина, будет четвёрка чиселn, l,rдет,m8 ,ms = ± 1/2; квантовое число s спинового углового момента указыватьs = 1/2.не надо, так как всегдаНахождение одновременных собственных состояний4.6.системы операторов Н, V, ~4.6.1.Сферичесf(ие координатыВосnользуемся сферическими координатами, которые более удобныnри рассмотрении решений уравнения Шредингера для атома водорода, чемдекартовы координаты х, у,z.Сферические и декартовы координаты связаны соотношениями:х= rsin8cosr.p,у=rsin8sinr.p,z = rcose.zРис.УПРАЖНЕНИЕ6.4.4.Строго вывести приведённые формулы иреобразований сферических и декартовых координат.4.6.
НАХОЖДЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ Н,Возьмём приведённый чертёж и спроектируем точку М на осьOzV, L:115и на плоскость Оху,как зто показало на приводимом рисунке. ТогдаОМ1:= zOMz = r sinO.= r cosO,Спроектируем далее точку М2 на оси Ох и Оу и построим точкиN1иN2.ТогдаON1 := х = ОМ2 cos<p = r sinO coscp,ONz :=у= OMz sin<p = r sinB sin<p.zхРис.4.5.Получили приведённые выше формулы, выражающие х, у, z через r, (), <р.Уравнение Шредингера в сферических координатах примет следующий вид:Возьмём формулы иреобразованиях= rsinOcos<p,с их помощью произвольную функциюу='lj;(x,r sin IJsin <р,у,z)z = rcosO;можно превратить в функцию'lf;(r,В, ер).Теперьo'I/J{)1} =o'I/J8хох88o'I/J+ 8уоу88о'Ф оz+ 8zo'I/J.о'Ф.o'I/Jх +r cosiJsш<p {)у- r sшВ82 ,88 = r cosiJcos<p 8ГЛАВА 4116дсф-д<р&сф &х= -&х д<рдсф &у+- + -дсф-&z&у д<р&z &<р.&сф.•+r= -r sш () sш 'РдхsшО&сфcos 'Р - .дуТаким образом,tx +'Р tx += sin О cos 'Р;= r cos О cosJ:o:'РJ1xtx +!}у- r sin О+r sinO cos<pа нrорую наr sin (),+ r cos 2 () cos 'Р)=r~ + cos О /fz ,r cos О sin 'Р= -r sinB sin<pУмножим первую формулу на(r sin 2 () cos 'Рsin О sin 'Рcos О/fz ,!/у·и сложим их, получим(r sin 2 О sin 'Р + r cos 2 О sin 'Р)д+.дr SШi.p дуCOSi.p дх=r~·од+в&fJrCOS дО'SШчлены с производной д/дz нзанмно уничтожаются.Рассмотрим это равенсrво и равенсrво, получаемое из формулы для производной д/д<р,и сосrавим из них систему двух линейных алгебраических уравнений для двух производныхд/дх, д/ду:r COS<pд+·дr SШi.p ду&х{ -r sinO sin<p!/х + rУмножим первое уравнение наr sin О sin 2= r sin 2sinO cos<psin О sin <р,'Р :у + rО sin 'Р ;8·од+о= r SШ&rCOS дО':у=а нrорое наsin О cos2'Р :у:'Р.cos 'Ри исключим= r sin О:у& /дх,получим=+ sin О cos О sin 'Р J:o + cos 'Р !}'Р .Следовю:ельно,д..аду = SШ 0 SШ 'Р &r+1rУмножим теперь первое уравнение наcosв.SШ 'Рsin () cos <р,а80+cos 'Р 8r sin 0 д<р .а нrорое на- sin 'Ри исключим д/ ду,получимr sinO cos 2= r sin2'Р !/х + rsinO sin2'Р J1x= r sinOО cos 'Р /fr + sin О cos (} cos 'Р :о-J1xsin <р=:'Р.Следовю:ельно,.аа- = sшО cos 'Р -дх8r+ r1дsin 'Р аcosO cos 'Р дО - - - .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
