Толмачев В.В., Скрипник Ф.В. Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода (2008) (1135801), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Определённое таким образом4.2.СТАЦИОНАРНЫЕ СОL':ТОЯНИЯ КАК СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ99скалярное произведение обладает следующими свойствами:('f!, ф)* = (ф, 'f!),('f!, Лф) = Л('f!, ф),(Л'f!, ф) =Л* ('f!, ф),('f!, Ф1 + 1/12) = ('f!, Ф1) + ('f!, Ф2),('f!l+ 'fl2,ф)=('f!l, ф)+ ('f!2,ф);здесь звездочка означае~омШiексное сопряжение.Очевидно также, что если (ф, ф) = О, то волновая функция ф(тождественно равна нулю).=ОЭрмитовым оператором, действующим в функциональном пространстве, называется оператор А, обладающий тем свойством, что для произвольных двух функций 'fi и ф справедливо соотношение:('f!, АФ)=(A'f!, Ф),т.
е. действие оператора А можно перебросить с правого компонента произведения на левый и обратно.УПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что операторfi для атома водорода зрми-то в.Оператор Н для атома водорода имеет вид:Что касается второго слагаемогоV(оператора потенциальной энергпи), представляющего собой оператор умножения на функциюV(x,у,+=j j j-00здесьz),его эрмитовость очевидна, так как+ооrp* V1/Jdxdydz =jjj(V rp)*1/Jdxdydz,-оо1/J и rp- две произвольные, вообще говоря, комплексные функции х, у, z, а V(x, у, z)-действительная функция. Покажем, что эрмнтовым оператором является и первое слагаемое(оператор кинетической энергии).
Действительно, интегрируя два раза по частям поzн учиты-ГЛАВА 4100вая, что на бесконечности функции+=j j jер*и ер и их пронзводные равны нулю, например, получаем'1/J::2 'Ф dxdydz =~оо+=-дер* дф1111 1аа:· 'Ф--dxdydz=дzдz~оо+оо+ооdxdyC:+111а;~· 'Фdxdydz;~оообе получившиеся подстановки приz =±оо обращаются в нуль для наших функций ер и'1/J.Поэтому имеем соотношениеJJJ<р* ::t+=+=J11а;~·dxdydz =~оо'1/Jdxdydz,~оокоторое и свидетельствует об эрмитовости оператора 8 2 jдz 2 .УПРАЖНЕНИЕ2.Показать, что линейный оператор частной производной д/дх не является эрмитовым оператором, а операторэрмитов, где i = А ~ мнимая единица.n/i д/дх ~Опреатор д jдх не является эрмитовым.
Действительно, пусть 'Фи <р- две произвольныефункции х, у,z.Тогда, интегрируя по частям, получим, что+=+оо+оо1J1'P·~~dxdydz=/ 1ep*фdydzl::::- 11 Jа:х· фdxdydz.~оо~ооПодстановка обращается в нуль, но перед вторым слагаемым появляется знак минус и потомуОператорh/i дj8хявляется эрмитовым. Действительно, снова интегрируя по частям,получим, что~оо~оо- ihJ+!=1 fuд<р*~оо~оо'1/J dxdydz=.,.4.2.СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КАК СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИподсrановка при х=101±оо обращается в нуль. Так чrо дейсrвительнооператор h/iд/дх- эрмитов.4.2.3.Проблема на собственные значения и собственные функцииэрмитовоrо оператораСобстветюй функцией произвольного оператора А называется волновая функция ф, не рщтая тождественно нулю, при действии на которуюоператором А получается эта волновая функция, умноженная на некоторое число а:Аф=аф(7,&]"'-0).Число а называется «собственным значением оператора А, соответствующим данной собственной функции ф».
Функция ф называется «собственной функцией оператора А, соответствующей собственному значению а».Математическая проблема на собственные значения и собственныефункции даююга эрмитовага оператора заключается в отыскании всехего собственных значений и соответствующих и:м собственных функций.Может случиться, что одному собственному значению а эрмитова оператора соответствует не одна, а несколько линейнонезависимых собственных функций, например, две функции ф 1 и 7,& 2. Тогда говорят, что имеем«случай вырождения» собственного значения а.
В этом «вырожденном»случае произвольпая линейная комбинация собственных функций, соответствующих вырожденлому собственному значению, будет тоже собственнойфункцией, отвечающей этому значению.Действительно, если у нас имеются две линейно независимые собственные функции7,&1и 'Ф2, т. е. такие функции, для которыхто в силу линейности оператора А:где С1 и С2- произвольные комплексные числа.
Так что функция С1 'Ф1 ++С2 7,& 2 действительно является собственной функцией оператора А, соответствующей собственному значению а.102ГЛАВА 4Собственные функции, соответствующие вырожденно.му собственному значению а, образуют конечномерное (в случае вырождения конечной кратности) или бесконечномерное (в случае вырождения бесконечнойкратности) функциональное векторное пространство.Число линейно независимых собственных функций, соответствующихвырожденному собственному значению, называется его кратностью, точнее «кратностью вырождения». Если кратность вырождения равна единице,то говорят, что собственное значение «не вырождено».Кратность вырождения-это размерность функционального пространства собственных функций, соответствующих данному вырожденному собственному значению.Приведём без доказательства четыре теоремы, которые следует иметьв виду при решении проблемы на отыскание собственных значений и собственных функций эрмитового оператора.Теорема 1.Собственные значения а эрмитовага оператора А действительные:Аф=аф (фfО)===?а - действительное.Теорема 2.Собственные функции ф и 'Р эрмитовага оператора А,соответствующие различным собственным значениям а и{3(аf{3),ортогональны друг другу:АФ=аФ(Ф f о),===?А<р=fЗ'Р('Р f о),(ф,<р)=О.Теорема 3.
Для любого вырожденнаго собственного значения а эр.митового оператора А кратности n .можно указать n взаи.мно ортогональных его собственных функций Ф1,... , Фп,соответствующих этому собственному значению а, таких, что любую собственную функцию фэтого оператора, соответствующую собственному числу а, .можно представить в виде линейной комбинации:взаи.мно ортогональных собственных функций, здесь С1,...
, Сп - комплексные числа.... ,Функции 'Ф1,Фп называют базисными собственными функциями функционального пространства рассматриваемого вырожденнога собственного значения а.4.2.СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КАК СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИТеорема4.103Для любого эрмитового оператора собственные функции,соответствующие всем его невырожденным собственным числам, и базисные собственные функции, соответствующие всем его вырожденнымсобственным числам, в совокупности образуют базисную ортогональнуюсистему функций полного функционального пространства, в котором действует эрмитов оператор.4.2.4.Физический смысл собственных значений и собственныхфункций оператора физической величипыПусть оператором фи.з'ЙЧеской величины А является эрмитов оператор А, и пусть ап - собственные значения и 'Фп - собственные функцииэтого оператора А:А 'Фп=ап 'Фп;предположим, что функции 'Фп нормированы на единицу, т.
е.привсехn.Расесмотрим физический прибор для измерения значений величины Аи произведём с его помощью измерение значения этой физической величины у системы, находящейся в состоянии 'Ф.РезультатизмереНЮI:Приборкакое-нибудь а,.дли измереВИJIфизическойС БерОJIТНОСТЬЮР,.о:!('Ф,.,Ф)/величипы АРис.24.3.Считаем, что волновая функция ф этого состояния тоже нормированана единицу, т.
е.(ф,'Ф) =1."ГЛАВА1044Физический смысл собственных значенийanсостоит в том, что этонабор значений, одно из которых показывает прибор при измерении значения величины А. Причём при из.мерении прибор покажет значениеanс вероятностьюКаждая верояnюсть заключена в пределах О ~вероятностей равна единице, т. е.L:: Pn = 1.Pn~1,и сумма всехnИнтегралы движения и квантовые числа4.3.стационарных состояний квантовой системы4.3.1.Коммутируемость оператора интеграла движенияс гамильтонианомФизическая величина А, явным образом не зависящая от времени, называется интегралом движения, если её среднее значение (А) для любойзависящей от времени волновой функции Ф=Ф(t)квантовой системы независит от времени.Средним значением (А) физической величины А в состоянии, описываемом волновой функцией ф, называется величина(А}= (ф, Аф),Vф(ф, ф),в правую часть которой входит скалярное произведение функций ф и А ф.Здесь А - оператор физической величины, ф - нормированная волновая функция рассматриваемого состояния системы, для которой ( ф, ф) = 1.Полная,иливременная,волноваяфункцияФудовлетворяет временному уравнению Шредингера:причём рассмотрим любое решение указанного уравнения, т.
е. решение,удовлетворяющее произвольлому начальному условию:Фj t=O =Ф,где ф- произвольпая волновая функция.4.3.ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА105Вычислим производную по времени от среднего значения произвольной физической величины А для произвольнаго состояния Ф и приравняемеё нулю. Получим тогда, чтоd (А)= dtd (Ф,АФ)~ = (О= dt= (-дФ АФ~ ) + ( Ф, Адt~ дФ) =at'i н Ф, А, Ф) + ( Ф, А (- i н Ф) ) ;здесь скобки(, ) означают скалярное произведеNиеучли, что оператор А ие зависит явно от времени.волновых функций; мыВоспользуемся теперь правилом, что произвольное число Л, стоящеемножителем перед первым компонентом скалярного произведения, можновынести из-под знака скалярного произведения:(Лф, ер)= Л* (ф, ер),где* означает комплексноесопряжение, а число Л, стоящее множителемперед вторым компонентом скалярного произведения, можно просто вынести из-под знака скалярного произведения:(ф,Лер)=Л(ф, ер).Таким образом, из полученного соотношения непосредственно следует, чтоВоспользуемся теперь тем, что оператор Н эрмитов.
Поэтому в первом слагаемом в скалярном произведении его действие можно перенестис первого компонента на второй. Таким образом, приходим к равенству:о=i (Ф, н АФ)- k(Ф, АНФ) i (w, {НА- АН} Ф).=Полагая в этом соотношениии так как ф-t =О, заключаем, чтопроизвольпая функция, то отсюда непосредственно следует,чтоПриходим к следующей теореме.ГЛАВА1064Теорема. Оператор А любого интеграла движения квантовой системы, явно не зависящий от времени, коммутирует с гамильтонианом Нэтой квантовой системы.Если оператор А физической величины А коммутирует с гамильтонианом системы Н, то эта физическая величина является интегралом движения.Покажем теперь, что собственная функпия Фп гамильтониана Н является также собственной функцией оператора А любого интеграла движения.Рассмотрим, однако, только простой случай невырожденного собственного значения энергииEn.Так какнА -Ан= о,то очевидноСледовательно,н (А Фп) - Еп (А Фп) =о,н (А Фп) = Еп (А Фп)·Так как собственное значение энергииEn,по нашему предположению,не вырождено, то отсюда заключаем, что функпия А Фп с точностью доумножения на произвольную констанrу, должна совпадать с функпией Фп(так что функция А Фп является собственной функпией гамильтониана Нс той же самой энергией En, что и функпия Фп ).
Следовательно,Афпгдеan -=C\:n '1/Jп,число.Таким образом, мы доказали следующую теорему.Теорема. Собственная функция Фп гамильтониана квантовой системы является собственной функцией любого интеграла движения этой системы.Мы доказали Э'I)' теорему для невырожденного значения энергииEnгамильтониана, но она справедлива и в случае произвольнаго вырожденноjlго значения энергии1jilEn.Вычислим среднее значение (А) интеграла движения А в стационарном состоянии Фп· Очевидно:(A)=('I/Jn, Афп)=('l/Jп, O:n'l/Jп)=aп('l/Jn, Фп)=ап,так как, по предположению, (Фп, Фп)=1.4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
