Толмачев В.В., Скрипник Ф.В. Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода (2008) (1135801), страница 16
Текст из файла (страница 16)
- -д ·r sш 0 'Р4.6. НАХОЖДЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ состояний СИСТЕМЫ Н, В,Из исходной формулы для производной&COS 0 f)zо= -а -Slll (} COSдr.- sшО .sшi.pi.p(=а&r-оSШ (} COS( . (} ,sщSlll.i.p -д&rа+ -r12:r - frCOSа·в·-(} .Slll'Р=Sllli.p &уSlll- -а ) - 'Р-а - -siпr sinB д~.р&ВCOS (} COS i.p+ r1(}получим также, чтоCOS!.p ОХQi.p &rfir - sin=0Slll&f&rf)(} + r sin (} Oi.pf))f)COS!.psin (} cos (} :(}."0,Следовательно,.!i_ = сов(} .!i_ - ! вin (} .!i_ о&Вr&r&zТаким образом, окончательно приходим к следующим формулам:f)додsш в cos 'Р д-_ =8хr- =8у.sш(},sш 'Рf)-8rд+ r1cos в cos 'Р ав+ r1cos(}.f)sш 'Р аваsin!.p-,--.-в -аr'Рsшf)COS!.p-в - ,+ --08r'Рsша1 .Эz = cosB дr- r sшВ ав·ааВычислим теперь лапласиан.
Имеемд=~+~+~=&z2&у2&х2оsш0(аCOS!.p&rх.+ ( вшв.аВШ!.р Эr+-r1 cos(}вin 'Рд1а( вin (} cos 'Р -дr + -r1+rcosBllli.p!LsinO= (sin 2 (} cos 21+r)!L - !&rrвin(J дi.рrдОд,cos (} sш 'Р дО(cosOХ- -д )- 'Рcos 'Р -д - -вinЭВ+ r sinB дiр!L)д(}сов(}сов 'Р аав од..Х ( sш 0 sш i.p &r-!+ (cosB дrrд )COS!.p-- - - - r вin (} Э~.рд(}+х+rsinBд)sin (} &~.рCOS!.p!L)дО'Р + sin 2 (} sin 2 'Р + cos 2 В) д 2 +2дr=+L;117ГЛАВА118r2sinep - д(·д)SШepsin 2 О дердер-cosOsinO]!_дО.rep:4-sшердcosepдr(.!..!!__)r_lдОr(1- -д)r1 cos о sш. 'Р cos ерд+r2дО+ -r211r2.
о дОд ( SШ. о дОд)sшr21дr(cos ер -д)дrд(·sш ер дrд)cos ер а:р1--( -1- - д )sin О дсрдердО1 cos о cos ер Slll. ерд ( -1- -д )-r2дОsin О дер= -д)cosep-sin О]!__ (cos О]!__). ер - д- -1 sшrдердер. ер cos ер дrд(1д)+ sшr дер + r1Оер:(cos ер - дsin 2 О дерr2д ( cos ерд)+cosо - д ( sш. 'Р -д )cos 'Р sin О дердО.. ер-cosO sшsin О дер.дsш О дО2rcos О1. о cos о -д= - 2 sшr+ -r12дОcos 2 'Р д2sin 2 О дер 2r2+ 2r1-дОcos.sш22Од2-дО 2,од2,д0 2cos 'Р sin 'Р дr 2 sin 2 О дср'rO:1оо д= r 2 cos sш дО -.1rcosо.sшо д2дr дО,4.6. НАХОЖДЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ состояний СИСТЕМЫ н,- sin е .!!.... (cos () .!!.... )r дОдr==1-r2=..!...r2.1..!...r28(cos 2 'Р cos еsin еr28)COS!.p-д~.р.!!....
- ..!...{)()дrд.д2r1 SШ. 2 i.p дrr1 SШ!.рCOS!.p {)~.p{)r'cos&sin е~ COS i.p=sшSШ!.р---sin 2 'Р cos ()sin е119д - r1 sш. ее д2cos дr дВ ,. 2еr1V, L;,{)()sin 'Р cos 'Р cos () _!f!_sin е д<р {)(),cos& д"""SJiiOа:;;(..!!.... + ..!...cos 'Р sin 'Р cos еsin е{)()r2SШ i.pд) =[jjj_!f!_.д<р{)()Используя эти равенства и отбрасывая взаимно сокращающиеся члены, полученное выше выражение для лапласпапа представляем теперь в следующем виде:~+82= -дr2sin2 'Р .!f!_r 2 sin 2 е 8<р 21 . z8+ r sш f.P дr1+r++ -r21zе-+82. zв-+82-1sшд&2cos2 'Р .!f!_r 2 sin 2 е 8~.р 28cos f.P дrzcos+д()2r2+rcos2е.!!....+ 11 . z cos е дrz sш 'Р sin О дОдr+rsin2е.!!....+8r12 cos е 8r2 cos f.P sin О дО =Получили очень простое выражение для лапласпапа в сферических координатах.4.6.2.Сферические функцииСуществует полная система ортанормированных функций (т. е.
взаимно ортогональных и нормированных функций), называемых сферически.мифункциями, по которой можно разложить (т. е. однозначно представить в виде суммы, может быть, бесконечного числа сферических функций) любуюфункцию f(e, ер).ГЛАВА 4120Эти функции принято обозначать Yim(B,r.p),ет неотрицательные целочисленные значения:lпричём индекс l принима=О,1, ...
,а при фиксированном индексеФункцииl индекс т пробегает 2l+ 1 значений: т= -l, -l+ 1, ... , l.Yim (В, r.p) удовлетворяют условиям ортонормировки:27Гj7Гj sinOdO Yiim,(O,r.p)Yim(O,r.p)dr.pо=дt',tдm',m,опричём дt',t = 1 при l' = l и= О при l' f l, дm',m = 1 при т' =т и= Опри т'т, звёздочка означает комплексное сопряжение.Сферические функции Yim(B, r.p) являются одновременными решения*fми системы двух следующих дифференциальных уравнений:а1 !:>в-:--еsш и(.sш e8Yim)~в+ -.182Yim_2_ _ _2_иsш еar.p+ l(l + 1)Yitm = о '8Yim. У,or.p = zт lm,где i = А- мнимая единица.Произвольную функцию 1/;(r, е, r.p) при фиксированном r можно разложить по сферическим функциям Yim (е, r.p).
Имеем тогда следующую формулу разложения:1/;(r, е, r.p) =гдеRtm (r) -зависящими отПриl00ll=Om=-lL Lкоэффициенты разложения, которые являются функциями,r.=О, т= О имеем простейшую сферическую функцию:Уоо(О,приl=Rzm(r) Yim(O, r.p),1r.p) = ~;у47Г1, т= ±1, О имеем три следующие сферические функции:Yl,±l(O, r.p) =+fl;e±icp sinO,У1,о(О, r.p) =fj; cosO.НАХОЖДЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ Н,4.6.V, Lz121Очевидно для последних функций справедливы простые соотношения:~- уГзу1,041Т r,x±iy. n).. {}±.tsшrpsшиу;1,± 1 = =Fy{3(&Г - r - ·= =Fy{3в; coscpsшus-и р-решения; они соответствуют=±1,Выше мы подробно рассмотрелислучаямl==О, тО иlслучаю l = 2, т= ":±:2, ±1, О.4.6.3.=1,тО. d-решения соответствуютСферические функции как одновременные собственныефункции операторов квадрата орбитального углового моментаи его проекцииПереходя к сферическим координатам, связанным с осьюOzисходнойдекартовой системы координат, легко убедиться, чтоf}-2... (sine2...) + -1 -~}1sin е ае2= -h { -sin 2 е аср 2ае•Действительно, в частности, имеем:аасрахаауа.
ах + аср . ау =. /) . а + .=аср=-rSinиsinrp-ахl)а1·sшucoscp-ау=ааауахх-- у-.Следовательно,УПРАЖНЕНИЕ8.Доказать вышеприведённую формулу для оператора f) в сферических координатах.Воспользуемся определениямиГЛАВА122операторов4Lx и Ly и перейдём к сферическим координаrам, учитывая, чтоx=rsinOcoв~,дy=rsinOsin~,д.rcos е сов~&1- + r8rсов() sш~- = sш о cos ~ - +8х8r.д.sш() sш~- =8у1д.д&z = cosO &r-1r.z=rcoв€1,аsin~д- --.-е - ,r sш 8 ~80&cos~&{)() + - - . - - ,r sш 0 8 ~дsшО ао·Получимr;х=. 0 sш.
~ ( сов 0 &rаih{ r sш. 0 дОд) - r1 sш-rсов() (sin() sin~ :r +~сов() sin~ :() + rc:n~ :~)} =~= -Ly=( sin~ :() + ctg В cos ~ :~) ,!!:. {r cos () (sin () cos ~ .!!_ + .! cos В cos ~ .!!_ дr2-r sinд()rе cos ~ ( cos () :. - ~ sin в~ ( cos ~=:0 -rsi~ ~JL) -sш е д~:0) }=ctg В sin ~ ~) .ИсполЬ-зуя полученные формулы, теперь вычислим сумму операторов квадратов проекций орбитального момента:r;2 +L2 _х= -h2(sin~:в +ctgOcos~:~) (sin~~ +ctgOcos~:'P)--h 2 (cos<p..!L{)()=-h 2у-{ctgOsin~_Q_)(cos~JLctgBsin<p_Q_)дер{)()дер02sin 2 ер--&0 22sinepcos~sin 2 ()дд.д2{)rn+sinepctgBsшep--+.,..&О дерд2+ ctgO cos ~дО +ctgO cos~ sinep д() д~д- ctg 2 О cos ер sin ер-д+ ctg 2 () cos 2 ер -&+22ер+cos 2<р -&2&О 2+дерcos ер sin ер &.02&т- cosep ctgB sш ер--+sin 2 ().,..д() д<р4.6.
НАХОЖДЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ состояний СИСТЕМЫ Н,+ ctg2 В sin 'Р cos 'Р 88 + ctg2 В sin2 'Р'Р82д<.р 2д2 )д + ctg2 8 д<.рд2 + ctg8 дО22 (L:123ctg 8 sin 'Р cos 'Р а~~(} ++ ctg 8 sin 2 'Р %о -= -hV,002Поэтому, учитывая полученное выше выражение для}=.Lz, а следовательно, дляr;, получаем, чтотак что окончательно-_ -h 22L(Так как операторы Lz и2- 2 +ctg8&8дд2- - -&- )дО+-.1sш 2 8 д<.р 2·L2 коммутируют между собой, то можно отыскать одновременные собственные функции этих операторов, т. е.
функции,которые являются собственными функциями и оператора f) и оператораLz.Такими функциями являются рассмотренные выше сферические функциицийYim(B, ер),Yim(B, ер):~2так как согласно приведённым уравнениям для функL YimОператоры=2h l(lLz и L2+ l)Yim,коммутируют не только друг с другом, но такжеV(r) = V(/r/) = V(r),и с гамилыонианом атома с центральным полем силт. е.
оператором Гамильтона, который имеет вид:~Н=h2--.6. + V(r)·'2mлегко убедиться, что[Й,L2J =0,[Н, Lz] =О.Таким образом, для нерелятивистского атома водорода полной системой попарно коммутирующих операторов (которая получается добавлени-ГЛАВА1244ем к гамилыониану Н коммутирующих с ним и друг с другом операторов интегралов движения) является система операторов: Н, L2 , Lz.
Поэтому стационарные состояния атома водорода можно однозначно нумероватьсобственными числами указанных операторов, что и делают.4.6.4.Нахождение одновременных собственных функций системы2,операторов Н,L L..Так как операторыI} н Lz коммутируют с гамильтонианом Н, толюбую собственную функпию гамильтониана, т. е. стационарного состоянияатома водорода, можно искать в следующем виде:'1/J (r,гдеотYim (0,ер)-О, ер)=R (r) Yim (0,ер),пекоторая сферическая функция иR-искомая функпияr.Действуя на приведённую функцию '1/J(r, О, ер) оператором Н, получимдифференциальное уравнение:_!l_ {1.__4_ (r2dR) Yim+r2 dr2m+Rr2dr[-l_j}_ (sinOдYim) + _l_д Yim]2sin В дОдОsin2 О д 2 ер}-е2-=ERYim;4 --RYim7r t:orследовательно,h2d-d2m r r---2( zdR)r -d Yimrе2+ h2l(l+1)RYim- -4 --RYim =2m r 21r t:o rСокращая обе части этого уравнения наференциальное уравнение:ERYim·Yim, получим следующее диф4.6.НАХОЖДЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ Н, V,Lz125решения которого называют радиальными волновыми функциями и обозначают Rnt (r), причём используют следующее условие нормировки:+ооJr2R~ 1 (r)dr =1.оТаким образом, стационарные состояния атома водорода без учёта спина можно однозначно характеризовать следующими квантовыми числами.Во-первых, это ЧljfЛOn,которое называется~главным квантовым числом и нумерует собственные значения оператора Н.
Главное квантовое чис1, 2, ...l, которое называется орбитальным квантовымчислом. Оно нумерует собственные числа оператора I}. При заданном пло n пробегает значения:Во-вторых, это числоорбитальное квантовое число пробегает значенияl=О,1, ... , n- 1.В-третьих, это число т, которое называется магнитным квантовымчислом. Оно нумерует собственные числа оператораLz.При заданном lмагнитное квантовое число пробегает значеният=-l, -l + 1, ...
'l- 1, l;+1 значение.всего 2lСостояния с l =О называются «s-состояниями», состояния с«р-состояниями», состояния с l = 2 называются «d-состояниями».l = 1-==О. Это основное состояние атома водоО и тПри п = 1 имеем lрода, которое обозначается символом 1s. При п = 2 имеем l =О и l = 1.При l = О имеем т = О, а при l = 1 имеем т = О, ±1. Это вырожденные по энергии стационарные состояния нерелятивистского атома водорода, который только сейчас мы и рассматриваем. Первые возбуждённыесостояния нерелятивистского атома водорода обозначают символами: 2s;3 имеем состояния: Зs; ЗрО; Зрl; Зр, -1; 3d0;2р0; 2pl; 2р, -1. При п=3d1; 3d, -1; 3d2; 3d, -2.Подробное исследование показывает, что выведенное радиальное уравнение Шредингера имеет регулярные приr =решения только при энергиях:п}2тrб1En=---·-.2пО и убывающие приr--+ оо126ГЛАВА4Причём каждый уровень энергии вырожден, т.
е. ему соответствует понескольку независимых решений. Можно показать, что уровеньимеEnет кратность вырождения п 2 . При n = 2 зто четырёхкратное вырождение(один уровень2sи три уровня 2р).УПРАЖНЕНИЕПо казать, что при9.l=О и= 1lрадиальноеуравнение Шредингера превращается в уравнения для функцийfдляs-и р-решений стационарного уравнения Шредингера, при этом считать, чтоRno=fИRnl= r f.Действительно, приl =О радиальное уравнение nринимает вид:h -d ( r2 dRno)е 2 - Rno = ERno;-- - -222mrdrdr47reorэто в точности уравнение!" + ~r !' + _1_ror f=>. f=для функции /(r)Rno, которую мы ввели при рассмотренииl = 1 уравнение принимает вид2h - -d-22mrdr(r2 dRnl)dr2h - Rn1+2 2mr2s-2- -е- Rn147reorсостояний.
Далее, при= Е Rn1;это в точности уравнение!" + ~r !' + _1_ror fдля функцииf= >. f= Rn1/r, которую мы ввели при рассмотрении р- состояний. При этомh2,ro = 4 1r ео - 2теНахождение одновременных собственных состояний4.7.--- L---- Lz,--- ---Bzсистемы операторов Н,2,Рассмотрим теперь одновременные собственные функции полной системы операторовii, V,Lz,8;. для стационарных состояний атома водорода с учётом наличия спина у электрона.4.7.1.Собственвые значения и собственвые функции операторапроекции спина S"'При учёте спина электрона волновая функция электрона ф(х, у,зависит также и от спиновой координаты электрона а z -z,о- 2 )проекции спина4.7. НАХОЖДЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ состояний СИСТЕМЫ Н,V, L;, SJ27электрона на осьцию ф(х, у,Oz, которая принимает два значения: а z = ±h/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
