Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Известно много достаточных условий единственности решения. Ниже приволится условие, обеспечивающее единственность при 1 > 1е решения задачи х' = Г(1, х), х(1е) = хе. Именно такая единственность нужна в технических приложениях. Пусть существует такая интегрируемая функция й(1), что для любмх точек (1, х), (1, у) области Р Е Вен имеем (У(1, х) -1(1, у)).
(и- у) < й(1йх- у)2, (произведение векторов — скалярное). Тогда для любого начального условия х(1е) = хе*(1м ха) Е Р при 1 > 1а может сущеспювать не более одного решения (точнее, любые два решения совпадают на общей части их интервалов существования при 1 > 1е). в б. Продолжение решениб ф б. Продолжение решений В $ 5 было доказано сущеспювание решения на некотором отрезке, Здесь показывается, что решение, вообще говоря, можно продолжить на существенно больший отрезок или интервал. и.
Теорема 4 (о н долженнн решения в замянугой ограниченной области). ь вектор-функция У(Ф, х) удовлетворяет условиям тео м г в замкнутод ограниченнод области Р С Й"+~. Тогда любое решение х(Ь) уравнения х' = У(г,х), проходящее внутри области Р, можно продолжшпь в обе анаровы до выхода на границу Г области Р, то есть продолжипь на такой отрезан (а, Ь), что точки (а,х(а)) и (Ь,х(Ь)) лежат на Г. Доказательапво.
Найдется такое нч, что ~У(3, х)1 < пь в Р. По теореме 2 решение, проходящее через точку РоЬо хо) внутри Р, существует на отрезке То = [4о -4о,Фо+ М до = го/~/шьг+1, 1о — — р(Ро, Г) — расстояние от точки Ро до Г. Положим Юо+ бо — — Ф„х(Ф,) = х~, Р1 — точка ($н хг). Если точка Р~ внутри Р, то беря ее за начальную точку, по теореме 2 получаем, что решение х, проходящее через точку Р~, существует на отрезке 1~ — — (Ф~ — Ин Ф~ + ~Ц, И~ — — г~/~/тг+ 1, г1 — — р(Рн Г). Так как х(Ф1) = х1 —— х(Ф~), то решения х и х совпадают там, где они оба определены. Значит, функция, равная х($) на То и х($) на Х1, является решением — продолжением решения х(Ф) на отрезок Ио -4о, Фг + 4~].
Обозначим ее снова х(Ф). Затем берем точку Рг —— (Фг, хг), где Фг — — 8~+А хг = х(гг), за начальную, продолжаем решение дальше, и т.д. Глава л. существование и общие свойство решений Возможны два случая: или после конечного числа таких шагов решение будет продолжено до точки на Г, что и требовалось, или получим последовательность точек Р»($», х»), й = 1,2,3,..., где $»+~ — — $»+ Н», И» =, 㻠— — р(2',ь Г) > О. (29) /~2 1. 1 Область Р ограничена, поэтому числа 1» ограничены и существует 1пп с» — — Ь. Решение х($) продолжалось на каждый »-~со отрезок [с», $»+~], значит, оно продолжено на их обьединение [се, Ь). Так как ]х (1) ] = [у(с, х($)) [ < гя, то в силу (3) для любых с», ф Е (Ь- б, Ь) имеем ]х(6) -х(сг)] < гп]19-а] < тай. Поэтому в силу критерия сходимости Коши существует 1пп х(с) = х'.
Полагаем х(Ь) = х', тогда функция х(Ь) г »-е непрерывна на [1е, Ь! и точки Р»(емх») -+ Р'(Ь, х(Ы)) при й -~ со. Покажем, что Р' Е Г. Так как ц»+~ — — 1~ + 4~ + аз+ ... + а» -+ Ь при й - оо, то ряд а, + Из+... сходится и а» -+ О при й -~ оо. В силу (29) р(Рю Г) -+ О. Если бы Р' ~ Г, то при некотором е > О Г лежала бы вне шара Ям(Р*) с центром Р' и радиусом 2в. Но Р» -+ Р', поэтому при й > й~, точки Р» лежат в шаре Я,(Р'), значит, удалены от Г на расстояние, не меньшее в. Эго противоречит тому, что р(Р», Г) -> О при й -~ оо.
Значит, предположение Р' и Г неверно, и Р' Е Г. То есть решение х($) продолжено вправо до границы Г области Р. Функция х($) — решение задачи (11) при се < $ < Ь, значит, она удовлетворяет интегральному уравнению (12) при этих $, а так как она непрерывна, то и на отрезке [се,Ь].
Тогда по лемме 3 она имеет левую производную б 6. Продолжение решений х'„„(Ь) = 3'(Ь,х(Ь)), то есть удовлетворяет уравнению (11) при $ь < 1 ~ (Ь. При 1 < $ь решение продолжается аналогично. ° Следствие. Пусть Р— такая замкнутая неограниченная область пространства Ф,х, чпю при любых с и Н часть Рм области Р, где с < $ ( б, ограничена. Пусть уравнение х' = у(1, х) в Р удовлетворяет условиям теоремы 2. 7огда решение х(Ф), проходящее через произвольную т'очку (Фы х1) внутри Р, продолжается в каждую сторону или до выхода на границу области Р, или до сколь угодно больших Щ. Доказательство.
Возьмем такие с и 4 (ь = 1,2,...), что с < $~ < И~ < Из < ... -+ оо. Для любого 1 по теореме 4 решение можно продолжить в обе стороны до точек (а, х(а)) и (Ьп х(1Ч)), лежащих на границе области Рмь. Если Ьс < 4 при некотором 1, то точка (Ьох(Ь;)) лежит на границе области Р. Если же для каждого 1 имеем Ь; = 4, то решение продолжается вправо до сколь угодно больших 1. Аналогично продолжаем решение влево. Пример 1. Доказать что любое решение уравнения х' = 1~ — х продолжается вправо до сколь угодно 'больших 8. ь решение примера. уравнение удовлетворяет усяовияи теоремы 2, так как функции у = 1~ — хз и ~,' = -Зхз непрерывны при всех $,х. Глава 2. Сущесгпвование и общие свойопва решеннб В области х > $ решения только убывают (тан х' = с~ — х~ < О), позтону они достигают пряной х = $ и переходят в область х < С.
В области х < Ф все решения только возрастают (тан х' = сз — хз > О). Пусть (1!,х!) — точка на графике решения. При 1 > $! решение остается в области Р (х! — 1 < х < с), не выходя на ее границы (нешает поле направлений, сн. рис. 5). В силу следствия теорены 4 решение продолжается вправо до сколь угодно больших $. Условия непрерывности у(г, х) и ее производных во всем пространстве $, х недостаточны для продолжнмости решений уравнения х' = у($, х) на бесконечный интервал -оо < 1 < оо или 1в <1<оо. Рнс.
5 Пример 2. уравнение х'=х~+1 имеет решения х=гВ(с+с), ! ! число с произвольно. Каждое решение существует только ! на интервале длины !г и при приближении к его концан ! ! ! ! стремится к -оо или к +оо. Такие решения не могут быть ! продолжены. ! .Л 50 е 6. Продолжение решений Донозалельстео. Покажем, что для любого отрезка [аг, Я] С (а,)у) любое решение х(1), заданное при Ф = Фс Е (аг,ог) можно продолжить на весь отрезоМ [аг, Д[.
На этом отрезке имеем ~а(Ф)! <Ь, ~Ь(8)! <гп, поэтому [х'~ = ~~(е,х)[< Ь~х[+пг. Возьмем г( = ~х(Фе)[ и В, равное максимуму правой части в (10) на отрезке [аг,,бг[. По теореме 4 решение можно продолжить в обе стороны до выхода на границу цилиндра Я (аг < $ < Д, ~4 < В+!). По лемме 2 из неравенства !х ! < Щ + пг следует, что [х($)! < В на той части отрезка [аг, Д[, гле существует решение. Поэтому решение х($) не может выйти на боковую поверхность [х[ = В+ 1 цилиндра Я.
Тогла оно продолжается до выхода на оба основания цилиндра, то есть на гюсь отрезок [аг, Д [. Возьмем последовательности аг > аз > аз > ... -+ а и )зг < )уз < д < ... -+ )3. Из доказанного следует, что решение х($) можно продолжить на отрезок [аг, гбг[, затем на [аз, Щ и т.д. Тогда решение будет продолжено на обьединение этих отрезков, то есп на весь интервал (а, )з). И ° в ~Л 3. Известны также оаносторсннне оценки, прн наличии которых Решение неограниченно продолжается в сторону возрастання г. Напрнмер, еслн вектор-функция у(г, в) прн г > ге удовлетворяет условню е ° 7(г,х) а, в(С)(х~~+ Ь(Ф), а(г) н Ь(г) непрерывны, то для любого Глава в.
Сущесшвовоние и общие свойплво решений решения х(г) при г > Ь вЂ” )х(г)~~ = — (х ° х) = 2х ° х' = 2а ° Г(г, х) < 2а(Ф)1х~~ + 2Ь(С). На лкбом отрезке (Ь, СД для функции г(г) = ~х(г)~' имеем г' ( йг+ т при некоторых й и ш. Тогда, как в теореме 5, доказывается продолжимость решения х(г) на интервал [Ь, со). Вместо функции )х(г)1з можно оценивать рост какой-либо другой функции р(г,х(г)), подбираемой в зависимости от свойств функции у(г, х), и получать подобные результаты. Разработан метод (35] олновременного использования нескольких функций р;(г, х) вместо одной фующии р($, х). Такого рода методы позволякп не только устанавливать продолжимость решений, но и получать оценки решения х(г) с помощью оценок функции Г($, х).
5 7. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части уравнения Ш б 7. Непрерывная зависимость решения от начальных условий !ув — хе! < б, решение у(ь) может быть продолжено на 1 и !у(г) — р(Ф)! < е на 1. Доказательство. В ограниченной замкнутой области У имеем !У(1, х)! < гп, ]В1~/Вху! < 1 (ь,у" = 1,..., и), Тогда для любых точек ($, х), (г, у) Е Г выполняется неравенство (8), где м = и!.
Из (8) и неравенства !1(1, у)-у(Ф, у)! < б следует, что для решений х = у(Ф) и у(Ф) на отрезке 4 С 1, пока график у($) проходит в й, имеем !х' — у ! = ]У(1, х) - у($, у)! < й!х — у! + б. Пусть в(1) = 1о(Ф) — у(Ф). Тогда !л(Ме)! < б, !х'! < я]в! + б на отрезке 1~. В силу (10) имеем на 1~ ]у(г) — у(Ф)! = ]в(Ф)! (~ бе '+ б(еь' — 1) в = шах(Ф~ - Фо, йо — Ф.); в случае м = 0 дробь (еь' — 1)/м заменяется на в.
Возьмем любое е > О, е~ = ппп(р, е) и такое 6 > О, чтобы правая часть неравенства (3!) была меньше е~. Тогда решение у($) с ]ув-хо! < б при $ = 1е (или при $, близких к $е) проходит внутри трубки Т (Ф Е 1п !х — 1р(1)! < е~); Т С У. По теореме 4 решение у(г) может быть продолжено до выхода на границу трубки Т. Если бы оно вышло на боковую границу трубки, то в точке выхода было бы ]у(Ф) — 1р(1)! = е~ в противоречии с тем, что правая часть (31) меньше е~. Значит, решение у($) выходит из трубки только на ее концах 1 = Ф, и $ = Ф~, и при всех Ф Е (1„$~] удовлетворяет неравенству (31), правая часть которого меньше е~ < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
