Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Здесь дР/ду' ез 2(у — 1)у'+ 2 = О. Исвйая7даюие д зрю ~у ри~пвр=й.он м ~- ется решением данного уравнения. Найдем другие решения. Из данного уравнения, как из квадратнопь получаем у' = — ф1~. Так как 1-у = (1- /у)(1+ /у), то 7/ = п1у. Решая зто уравнение с разделяющимися перемен- 61 В отличие от рассмотренного примера далеко ие всегда дискримииаитиая кривая является решением, Глава 2.
Существование и общие свойства решений ными, находим у ~ ту у = х+ с (рис. 8). дискриминантная кривая у = О является геометрическим местом точек заострения интегральных кривых. Особым решением называется такое решение, в каждой точке которого его касается другое решание, отличное от рассматриваемого решения в сколь угодно малой окрестности этой У точки. В примере 5 особым является решение у = 1, в примерах 4 и б особых решений нет. Так как в каждой точке особого решения нарушается единствбнность, то особое решение, если оно есть, содержится в дискриминантной кривой.
Поэтому для отыскания особого решения уравнения Р(х, у,у') = О (с функцией Р класса С') сначала надо найти дискриминантную кривую. Но она не всегда является особым решением, даже если является решением, см. пример 5. Поэтому каждую ветвь дискриминаитной кривой надо проверить: 1) является ли она решением, то есть удовлетворяет ли она данному уравнению; 2) касаются ли ее в каждой точке другие решения.
Если н» оба вопроса ответы положительные, то рассматриваемая ветвь является особым решением, Проверка того, касаются ли две кривые у = 1а(х) и у = тя(х), проводится с помощью условия касания. "кривые касаются друг лруга в некоторой точке, если в этой точке х(х) = 1Р(х), гр'(х) = я1'(х). (41) $ б. уравнения, не разрешенные относительно производной ! Задачи для упракненид: (121 $8, В 241-2бб. Опабаювгая. Понятие особого решения связано с известным из дифференциальной геометрии понятием огибающей. Огибающей семейства кривых у(х, у, с) = О называется кривая К, в каждой своей точке касающаяся кривой семейства, отличной ст кривой Х в любой окрестности этой точки.
Доказательство. Пусп линия у = ф(х) — особое решение. Тогда в каждой своей точке она касается другого решения. Следовательно, эта линия — огибающая семейства решений. Пусп линия у = ф(х) — огибающая семейства рещений. Тогда в каждой своей точке (х, у) она касается какого- либо решения. Значит, в этой точке числа х, у, у' для линии у = 1~(х) те же, что для этого решения. Но решение удовлетворяет уравнению Р(х, у, у') = О, поэтому и огибающая тоже удовлетворяет этому уравнению в точке (х, у).
Эта точка — произвольная на огибающей, значит, огибающая есть решение уравнения. Это решение в каждой своей точке касается другого решения, следовательно, является особым. И Для отыскания огибающей семейства линий р(х, у, с) = 0 (р Е С'), как известно из дифференциальной геометрии, надо исключить с из уравнений у(х,у,с)=0, ' ' =О, др(х, у, с) дс 63 Глава 2.
Орцестеоеание и общие сеойстеа решений и проверить, касается ли полученная линия в каждой своей точке какой-либо линии семейства (например, с помощью условия касания (41)). ! Задачи для упражнений: [12], 98, В 297 а-г. ДЗ. Методм решения уравнений вида е.(х, р, 7/) = О. А.
Разрешить уравнение относительно 1/, то есть из данного уравнения выразить р' через х и р. Получается одно или несколько уравнений вида 7/ = /(х,р). Каждое из них надо решить. Этим методом решались уравнения в примерах 4-6. Б. Метод введения параметра. Он позволяет свести уравнение Р(х, р, 1/) = О к уравнению, разрешенному относительно производной. Излагаемый ниже простейший вариант этого метода применим в случае, когда уравнение л'(х, р,у/) = О удается разрешить относиуельно р или относительно х, то есть записать в виде р = /(х, р') или в внае х = у(р, 7/).
В уравнение р = У(х, р') вводим параметр р = Нр/йх и получаем р=/( .р). (42) Берем полный дифференциал от обеих частей равенства и, чтобы исключить р, заменяем йр на р йх (так как р = йр/йх). бр=/.'й*+1,'йк рй*=/.'й +1,'йр. Последнее уравнение можно разрешить относительно йх/йр или относительно йр/йх. Если решение этого уравнения найдено в виде х = ~р(р), то, подставляя зто в (42), получаем решение исходного уравнения в параметрической записи". х = х(р), р = /Ь(р). р) Этим же методом решаются уравнения вида х = у(р, р'). я 8.
Уравнения, не Разрешенные атнасишельна производной Г 1 Пример у. Решить уравнение у = ху'+ (у')2. 1 1 1 1 65 Решение примера. Вводя параметр р = у', получаем у =хр+р ° (43) Берем полный дифференциал от обемх частей равенства. Получаем пу = рах+ х Ир+2рар. Так как пу = р12х, то инеем р ах = р ах+ х ар+ 2р ар; (х+ 2р) 12р = О. Надо рассмотре1ь два случая: х + 2р = О мли 12р = О. Если х+2р = О, то х = -2р.
9 Подставляя это в (43), получаем решение в параметрическом виде". х = -2р, у = -р2. Исключая р, имеем у = -х2/4, Если ар=О,то р=с с* О (произвольная постоянная). Под- О ставляя в (43), получаем решение у = сх+ с2 — семейство непараллельных пряных (для каждой ь прямой усковой коэффициент с— свой). Исследуем, является лм решение у = -х2/4 особым. Пишем для решений у = -хз/4 и Рис 9 у = сх+ с2 условия касания (41): х2 х — — = сх + с -- = с.
4 ' 2 Ппдставляя с = -х/2 в первое равенство, получаем -х2/4 = -хз/2+хз/4 †тождест. Значит, решениеу = -х2/4 в каждой Глава 2. Сущеппеоеание и общие свойопеа решений точке х касается одного из решений р = ов+ сз. Следовательно, решение р = -нз/4 — особое (рис.9). Другие варианты метода введения параметра изложены в [9], гл. 3, 92 пример 5 и 9 3, и. 1 — введение двух параметров; также [13], гл.1, $8 [2], гл. 1, $7. Уравнения Жеро имеют внд р = *у'+ 38(Э').
Они решакпся методом введения параметра. Этому классу принадлежит уравнение примера 7. Общее решение уравнения Клеро — семейспю непараллельных прямых. Если функция 33 б С и нелинейна, то уравнение Клеро имеет особое решение — кривую, которой касаются эти прямые. Если же функция 38 линейна, то прямые проходят через одну точку н особого решения нет. ! Задачи для упражнений: [12], $ 8, 1й 2б7-296.
° еюе ° в [ ] 4. В общем случае дискриминантнаа кривая разбивает плоскость *, у на области. В такой области выполняются условия следствия моремы 8 и через каждую точку проходит одно и то же число решений. Расположение решений вблизи дискриыинантной кривой может быть различным. Известно ([18], гл.1, 94), что типичным является случай, когда дискриминаитнав кривая состоит нз точек возврата интегральных кривых, как на рис.8. Кроме того, на дискриминантной кривой могуг быть особые точки, вблизи которых интегравьные кривые идут иначе, чем вблизи других точек дискриминантной кривой, см. [19], гл.1, 97.
Глубокие исследования таких особенностей провел А.А. Давыдов. М И ГЛАВА Линейные дифференциальные уравнения и системы Изучение линейных ди4и$еренциахьных уравнений составляет отдельное теоретическое направление потому, что онн обладают рядом свойств, позволяющих глубже их изучить. Основное свойспю состоит в том, что осе решены линейного уравнения или сисгемы выражаются через конечное чиаю решений. $9. Свойства линейных систем 1. Рассмотрим линейную систему нормального вида П вЂ” ' = ап(Ф)и~ +...
+ аь(Ф„+ Л(Ф), г = 1,..., и, .(1) или, в векторной записи, 67 Глава 3. Линейные дшрференяоальные уравнения и системы х~ Нх — = А($)х+ У(т), х =,:, У = ас Ф Уч (2) Э хч ан($) ... ат(с) А($) = ° ° ° ° ° " ° ° ° ° а„1(~) ... а„„(~) Всегда предполагается, что на рассматриваемом конечном или бесконечном интервале а < $ ( ф функции а;ф) и Щ) непрерывны, аб($) вешественны. Так как в главе 3 иногда будут рассматриваться комплексные решения, в частности, содержащие функции е'"', то необходимо распространить некоторые теоремы главы 2 на линейные системы с комплексными решениями.
Лемма 1. Если мтярица А($) вещественная, то а) вещественная и мнимая части любого комлленсного решения системы х' = А($)х являются вещественными решениями этой актемы; б) вещественная и мнимая части решения х = и+ В сисглемы (2) с у(1) = й(Ф)+ аЦФ) (й и Ь вещественны) являются решениями систем и' = А(с)и+ д(с), и' = А(Ф)и+ ЦФ); (3) в) обратно, если и и и — решения систем (3), то х = и+ва— решение системы (2) с,1(с) = у($) + 1Л(с). Доназхяельство. Докажем б).
Пусть функции и,и,у,й вещественны и (а+ ви)' = А($)(и+ Ы) + у($) + Иь($). 68 я 9. Свойалвв линейных пктен Отделяя вещественную и мнимую части, получаем (3). При у вз Ь ед О из утверждения б) следует а). Умножая на 1 второе уравнение в (3) и складывая с первым, получаем в). Донвзавельавво. Если хо и у($) вещественны, то по теореме 2 95 задача * = А(о)х+ Я) х(оо) = хо (4) имеет единственное решение. Так как функпии в(о) = ЦА(о) И и Ь(Ф) = ~~(Ф)~ непрерывны и !А(1)х+,Г(1)! < а(1)3х! +Ь(1), то по теореме 5 $ б каждое вещественное решение системы (4) продолжается на интервал (а, ф). Если же хо = хо+ оео у(Ф) = у(С) + ой(Ф), то, по доказанному, системы (3) с и(Фо) = ио, в(Фо) = во имеют решения на интервале (а,ф). Тогда х = и+ Ы при а < $ < ф— решение задачи (4).
Если р = и'+ ов' — другое решение этой задачи, то и — и' и е — е' — вещественные решения задачи в' = А(Ф)», в($о) = О. Но «($) вт О тоже решение, а других вещественных решений нет по теореме 1 $9, Значит и — и' вз е.— в' вз О, и решение х = н+ вв единственно. В главе 3 всегда будем считать, что все решения продолжены на весь интервал а < $ <,6. Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сионены [ лЯ Обвше свойства линейных уравнений и систем. Система (1) или (2) называется линейной однородной, если все ХЩ вв О, и линейной неоднородной в противном случае. В системе (2) перенесем А(Ф)х влево и запишем зту систему в виде Хх = у. Здесь у и х — злементы линейного пространства непрерывных (для х — непрерывно дифференцируемых) и- мерных вектор-функций на интервале а < Ф < р, Х вЂ” линейный оператор, то есть такой, что Ь(и+ «) = Ьи+ Хе, Х(7и) =7Х,и для любых и и е из линейного пространства, на котором определен оператор Х, и любого числа у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
