Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Значит, все Ь; = О, и решения иы..., и„линейно независимы. Итак, в случае простых корней Л1 существует вещественная фундаментальная система решений, состоящая из функций е"й для каждого вещественного корня Л и функций е" ем 191, е" яп1М для каждой пары комплексных корней Л = а ~191, ~О ~ О. Пример 9. Решить уравнение ум+ Зу" + 9у' — 13у = О.
г Решение примера. Характеристическое уравнение Лз + ЗЛг + 9Л вЂ” 13 = О имеет корни Лг = 1 (отыскивается водбором), у 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Лхз = -2 ~ Зь. Корню Л1 — — 1 соответствует частное решенме у~ — — е', а паре комплексно сопряженных корней Лхз —— -2 ~ Зз соответствуют два частных решения уз = е ~ с~в 38 и уз = е "вщМ. Получаем вещественное общее решение у=с|е +сзе-лшж34+сзе-лшп3$. < Д2. Случай врвтиык корней Выясним, во что обращается левая часть |(у) уравнения (31) при подстановке у =1 ет', где в 3. О целое.
Доказательство (139)). Обозначая д'1р/д7' = аозт имеем для целых в > О (1 ет )и = Ие™)т») э» = »,(еть)Ю) ОЛ = (7эе )Я. т т Умножая левую и правую части на а„„и суммируя по р от О до л, получаем ао(1'ен)," +... + а (1'ет ) = ((ао7" + ... + а„)е ) ', М е ) = (М(7)е )т ° Глава 3. Линейные диффаранииальные уравнения и сиапены Дифференцируя произведение по правилу Лейбница, нахо- дим Ъ(1'е ) =е 1х'М(7)+С,Ф' М(7)+' ... + Са г М (7) + Сэе М (7))' (Зб) Если Л = у — корень многочлена М(Л) кратности й, то М(7) = М'(7) = ... = М» ' (7) = О, М (у) г О.
Тогда для всех в < Й вЂ” 1 сумма в (Зб) равна нулю. Если же Л = у не корень или корень кратности й < в, то, МОО(7) зь О и в сумме (36) высшая степень $ содержится в члене С,'$' "М1~1(7). Это дает в (35) старший член ае1, где Ие ФО, пь=в-й. Доназаамльстао. В силу леммы б такие функции являются решениями. Для каждого корня многочлена М(Л) число таких решений равно кратности корня. Так квк сумма кратностей всех корней равна и, то всего имеем и решений вида $*е~.
Покажем, что эти и решений линейно независимы на любом интервале а < Ф < 15. Предположим противное. Тогда найлугся такие числа, из которых хоть одно не равно нулю, что умножив наши решения на эти числа, сложив и вынеся одинаковые ехд У 11. Линейные уравнения с настоянными козф4ициентани за скобки, получим р1($)е ' +рг(1)е ~+...+р (1)е~ евО (а<Ф<ф), (38) где числа Лг,..., Л все различны, р~,...,р — алгебраические многочлены.
Пусть нумерация такова, что много- член р содержит ненулевой коэффициент. Чтобы упростить равенспю (38), делим его на е"". Получаем ри(1)+рг(Ф)е(~'-~'И+ +р (Ф)е~" ~'Л вз О. Дифференцируем обе части равенства по 1 на один раз больше, чем степень многочлена р~(1).
Первый член суммы исчезает, а в остальных многочлены заменятся другими тех же степеней. (В самом деле, пусть а зЕ О. Тогда й й1 — [(а1'+Ы' '+...)е'") = (7а$'+ва1' '+ уМ' ~+...)еге; точками обозначены члены низших степеней. Так как во всех членах у = Л~-Л1 ~е О (8 = 2,..., гп), то степень многочлена сохраняагся.) Получается равенство, подобное (38), но содержащее на один член меньше. С ним поступаем так же, как с (38).
Продолжаем так до тех пор, пока не получим равенспю с одним членом г (1)е~" '"-'" ьч О. Многочлен г (Ф) той же степени, что р,„($), значит, он содержит ненулевой коэффициент. Поэтому г (1) Ш' О на интервале а < 1 < б, и последнее равенство невозможно.
Следовательно, найденные и решений линейно независимы и образуют фундаментальную систему. При наличии комплексного корня Л~ — — а + Дз,,у „-е О уравнение (32) с вещественными коэффициентами имеет и сопряженный корень Л = а — Рв; эти корни имеют одну Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиапемы и ту же кратность йз. Тогда, как в случае простых корней, каждые два комплексно сопряженных решения 1'е1~+Р'", 1'е1 Рз" (О < в < й~ — 1) можно заменить вещественными решениями 1'е сов)М, 1'е з1прз, (О < в < й — 1).
Все такого рода решения вместе с решениями вида (37) для вещественных корней Л образуют фундаментальную сис- тему. Пример 10. Решить уравнение р~ + 2р" — 4р' — 8р = О. ь 1 Ри р~а хар~кпр~~ ~сисе ура~ юе ~' + ь'— 4Л-8 = О. Группируя члены, получаем (Л+2)(Лз-4) = О. Корни: Л~ = +2, Лз з = -2. Фундаментальная система решений р~ = ез', рз = е з', рз = 1е з'. Общее решение р = с~ е" +(сз+сЗ1)е ~. < Пример 11. Решить уравнение р~ — 1бр"'+ 64р = О. ь 1 3 Было бы ошибкой из двух последних членов выносить за скобку сумму вида (а+ Ы). Зто можно было бы делать, только если сз, с4, сз, сь пропорциональны. Но зги постоянные произвольны, значит, метут быть и не пропорциональными.
Решение примера. Характеристическое уравнение Ль - ! бЛз + б4 = О, (Лз — 8)з = О, (Л вЂ” 2)з(Лз + 2Л+ 4)з = О. Корни Лкз = 2, Лзл = -1+ 1з/3, Лзл = -1 - 1з/3. Общее решение р = (ез + сзз) е + (сз + сзс)е ~ соз сз/3+ (ез + сьс)е ~ з1п ззГЗ. в И. Линейные уравнения с постоянныно «озффоцоентани ! Задачи дяя упрв«некой (12], $11, В 511-532. 3. Линейное неоднородное уравнение с иоспиииивми коэффиии- П ют я (р) вз аер~"~ + е~р~" 0 + ... + а„р =,г(1) (39) при любой непрерывной функции у($) можно решить методом вариации постоянных ($10), так как для линейного однородного уравнения с теми же коэффициентами общее решение можно найти изложенными выше приемами.
Однако при отыскании решения уравнения (39) надо брать интегралы. В случаях, когда функция у($) выражается через суммы и произведения функций вида $, е", си И, в1п ЬЬ (гв > 0 целое) можно решение найти без интегрирования с помощью излагаемого ниже мептда неопределенных коэффициентов. Учитывая, что решение уравнения я (р) = ~~ + уз равно сумме решений уравнений ЦрД =,Уд и б(рз) = уз и что синусы и косинусы можно по формулам Эйлера выразить через показательные функции, достаточно рассмотреть случай, когда в (39) у($) = рЯе ~ р(в) = Ьв$т+ Ь!Р ' + ... + Ьь„ (40) иа > 0 целое. Доказапеяызпво.
Взяв р~ — — йв$~+~е'"', имеем по лемме 6 я (р~) = (9вдв$ + т(1))ер. 4в ~ О. Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и актемы Если тв = О, то г(Ф) еа О, а если иь > 1, то 1(Ф) — многочлен степени не больше ш-1. Чтобы получить Ье$~, возьмем 9е = Ьес~ '. Тогда в случае иь = 0 имеем решение р~ — — Ьед' 'гав. Пусть пь > 1. Предположим, что теорема верна, когда в (40) степень многочлена ниже пь, то есть Ье = О, и докажем, что она верна и при Ье ~ О. В левой части (39) полагаем р = р1 + я, р~ то же, что выше. Получаем я (р) = Ь(р1) + Ь(я) = (Ьей~ + г(Х))етт+'я.(я).
Надо, чтобы это равнялось (40), то есть (Ьеь + р~(Ф))еть, где р~($) — многочлен степени ш — 1. Следовательно, Ь(я) = (р1($) — г($))е". (42) Здесь р~($) — г(г) — многочлен степени ниже иь. По предположению индукции, уравнение (42) имеет частное решение вида а = тьд'($)ет', д'($) — многочлен степени ниже иь. Поэтому, как н требуется, р = р~ + я = $ (Ьед~, г~ + д"($)) ет'„° 1 1 1 ! 1 Пример 12. Решить уравнение ! р~+2р" — 4рд — 8р = е ~+1е'.
1 Чтобы применить эту теорему к конкретному уршнению вида (39), (40) с числовыми коэффициентами, надо по виду правой части у(г) в данном уравнении определить числа у, Ь, пь в (41). Чтобы найти коэффициенты 4е, 9н ..., 9, надо подставить выражение (41) в данное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях уравнения. Получается система алгебраических уравнений.
Из нее определяются коэффициенты 9е, 9н ..., й,„. Я И. Линейные уроенения с постоянными нозффициентоми р~ + 2рн — 4~/ — 8у = е ~, р +28 — 48' — 88=се. (а) (б) Для уравнения (а) имеем 7 = -2, Ь = 2, гв = О. Согласно (41) пишем Уг = Фз чае ~. ПодставлЯЯ У, в (а), полУчаеи -Вае ~ = е ". Значит, -8а = 1, а = -1/8. Для уравнения (б) имеем у = 1, й = О, гп = 1. Согласно (41) рз = (ЬЕ+с)е'. Подставляя уз в (б), получаем е'(-9Ы+ЗЬ-9с) = Фе'.
Приравнивая'коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях равенства, получаем -9Ь = 1, ЗЬ-9с = О. Отсюда находим Ь = -1/9, с = -1/27. Общее решение исходного уравнения есть и не+и! +н2 = с е + (сз + сэва)е — -1 е — ~-Ф+ — ) е . е и -зг 1 2 -2г 1 1 Ф 1 8 т,9 27,г' Замечание. Если в уравнении (З9) коэффициенты вещественны и у(1) = е~(Р(1) сов~Я+ ЯЯ виъ Я),, (43) где Р(Ф) и Я(1) — вещественные многочлены степеней гм, и гмз, то существует вещественное частное решение вида р = $ е (я1($) сов ~М+ Я($) шп1М), (44) 101 Решение примера.
Левая часть уравнения та же, что в примере ЗО. Корни характеристического уравнения Лг = 2, Лз,з = -2. Общее решение однородного уравнения ув = сгеи + (сг + сэва)е ". Для каждого члена правой части данного уравнения определяем число у. Для е ~ инеем у = -2, а для $е' имеен Т = 1, Так как эти числа различны, то надо искать отдельно частные решения уравнений Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиапвмы где чИсло й есть кратность корня Л = о+ ~Я уравнения (32), й = О, если а+ Вй не корень; вс(Ф) н Я($) — мновчлены степени нь = шах(тпн пь ). Доказапеяьаяво. Так как евн+е 4м ел' — е Еи совДв = 2 ' 24 вера = то в (43) У = У, + Дт, гле 1, и Д, — функции вида (40) с у = а+ фв и у = а — рь соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
