Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть ин...,и„— функции класса С", и их вронскиан $Г($) ~ 0 при а ( 1 < (О. Тогда требуемое уравнение можно написать в виде $ 10. Линейные уравнения любого порядка уравнения, так как при у(г) = и ($) детерминант имеет два оди- наковых столбца, поэтому равен нулю. ! Задачи для упражнений: (12), $12, Ф674-680; $22, В52. Повижевие порядка линейного однородного уравнения при известном частном решении. пусть для уравнения (18) известно частное решение у~ (1) ,-е О (а < $ ( д).
Покажем, что тогда уравнение можно свести к линейному уравнению (и -1)-го порядка. Для этого сделаем замену искомой функции у = у,х. Производные выражаются по формуле Лейбница У®=(У~х)1~1=Сьер~х11+Сьр~х1 ~1+...+Секр, ~х„Ь=1,...,и. Подставляем эти выражения в уравнение (18). Так как х,х', ..., х1"1 войдут только в первой степени, то получится линейное однородное уравнение относительно х, Ь,(1) 1"1+ Ь,(1)х1"-О+...
+ Ь„(1) = О. (26) Уравнение (18) имело частное решение у = у~. При замене у = у~х оно переходит в функцию х аз 1, которая должна быть решением уравнения (2б). Следовательно, Ь„($) вз О. А тогда новая замена х' = и приводит (2б) к уравнению (и — 1)-го порядка Ье(1)оч' О+ Ь!(Ф)о1" 1+... + Ь„~(1)о = О. (27) Если у уравнения (18) были известны два илн более линейно независимых частных решения, то из них с помощью указанных выше замен можно получить одно (или более) частных решений уравнения (27). С их помощью порядок уравнения можно понижать и далее. 87 Глава 3.
Линейные дифференциальные уравнения и системы Линейное уравнение 2-го порядка с известным частным решением р(1) ~ О изложенным выше методом приводится к уравнению Ье($)е'+Ьг($)е = О, которое легко решается. Другой способ решения (с разобранным примером) линейного уравнения 2-го порядка при известном решении рг($) ~ О см. (12), 8 12, и.2. ! Задачи длл упрамненийг (12], 6 12, эй 681-701, 704, 705; 6 22, Ф 66, 61, 62. 4. Линейное иеодиорощве уравнение «-го порядка исследуется П аналогично линейной неоднородной системе. Доказательство проводится подобно доказательству теоремы 5.
Пример 6 (испельэевание свойств решений линейных УРавнеиий). Даны тРи РешениЯ Рг — — 1+ 2, Уз = 1Р— 1, Рз = 1э+ $ линейного неолноРоДного УРавнениЯ 2-го поРЯД- ха. а) Найти общее решение этого уравнения. 6) Написать это уравнение. ! г г Решение примера. а) Для общего решения неоднородного уравнения имеем равенство (28). Общее решение однородного уравнения 88 У 10. Линейные уравнения любого порядка по теореме б есть и,е „„ — — сгиг + сзиз, где иг и из — линейно независимые решения однородного уравнения. В силу общих свойств линейных уравнений можно взять иг — — рз — рз = С + 1, из - -рз — рг — — Ф вЂ” 2. Решения иг и из линейно независимы, так 2 как их вронскиан $+1 Фз — 2 и = '+,' ' =сз+21+гтьо.
Следовательно, ичшьмм = сгиг+~из = сг(1+1)+сз(1~ — 2),а рчгчх нмхх = 1 + 2 + с~ ($ + 1) + сз(1~ — 2). б) Однородное уравнение, ииеющее решения иг — — 1+ 1, из = Ф~ — 2, дается формулой (25), то есть 1+1 т~ — 2 и 1 21 и' О 2 и" = О, (Ф +21+2)и"-(21+2)и +2и = О. Чтобы получить неоднородное уравнение с той же левой частью и частным решениен рг — — 4+2, подставим и = $+2 в левую часть уравнения. Получим, что она равна 2. Значит, искомое уравнение есть (зз + 2$ + 2) р" — (2$ + 2)р'+ 2р = 2. < ! Задачи длл улражненибг (12), $22, В 57-60. однородного уравнения (13). Здесь рн..., р„— линейно неза- висимые решения уравнения (18), сы..., с„— произвольные постоянные.
Метод вариации постоянных позволяет найти решение лн- !' нейного неоднорсщного уравнения (14), если известно общее решение р = с, р, +... + с„р„ (29) Глава 3. Линейные дифференциальные уравненилтг сиапемы (),т 4а) = 141а),....ЪН)', У'(а> = (о.....о,— 1 . Найдя из системы (30) функции ~т,(1), проинтегрировав и затем подставив с;(Ф) в (29), получим решение уравнения (14). Решить уравнение 1 1 (1 + 1)у' — 2$у'+ 2у = 6($ + 1), 1 решение у = с,1+ е2(з2 — 1) однородного урав- 1 1 Пример 7. 1 1 1 зная общее 1 нЕння.
1 Решение примера. Здесь у1 — — Ф, рз — — 1 — 1, позтону у~1 — — 1, 2 к злю~ с~~у<зч 21 ~ = 6(12+1) Отсюда получаем с1 — — 6-612, ~2~=61, Значит, с1(Ф) =61-212+с11, с2(Ф) = 312+с211 си н сн — произвольные постоянные. Получаен 90 Решение неоднородного уравнения (14) получается из (29), если заменить сг,..., с„на функции от $, которые надо найти. Так как уравнение (14) заменой (15) сводится к системе (16), то можно воспользоваться результатом, полученным в р 9 для системы, т.е. искать производные ~($),...,~($) из линейной алгебраической системы Х($)с'($) = У~($). (30) Здесь Х(Ф) — Фундаментальная матрица однородной (с Г ве 0) системы (16).
Для з = 1,...,и з-й столбец матрицы Х(Ф) в силу (15) состоит из функций у;,у,',...,у;" (у; см. в (29)); векторы-столбцы $10. Линейные уравнения любого порядки искомое решение д = с,(1)1+,(1)(11 — 1) = =(61 — 2$ +сн)1+(38 +ог))(Ф вЂ” 1) = = 1~+ 31~+ сый+ от)(1~ — 1). ! Задачи для упралгнеиидг [12], 8 12, 10 702, УОЗ. )Пвееваиа9 [ [ 5. Линейное уравнение и-го порядка заменой (15) сводится к системе уравнений, позтому многие свойства уравнений слеауя)т из анаяогичньш свойств систем. В честности, для уравнения (18) с козффициентами вида аг(1)=аи+аоГ'+аоГ +...
(1=1,...,п), аеш1, утверждение о поведении решений при 1 — со следует из аналогичного утверждения,для системы, см. и. б $9. Методами аналитической теории дифференциальных уравнений исследовано ([30], гл.4, 08) поведение при Ф - 0 решений уравнения 1" .(1)у'")+1 'а,(1)р<" "+...+а(1)8=0, гле функции аг(Ф) аналитические, ае(0) ~ О. Для линейного неоднородного уравнения (14) с аз ш ! известно ([9], гл.
5, й 4, п. 5) представление частного решения фе)анулей Коми нч /хь них. ьь) гь) ... ~ '>9) о). Как функция от Ф, функция Коши К(В, з) удовлетворяет уравнению (18) с начальными условиями при Ф = е ) Пример 8. Найти частное реиенне уравнения р" + р = 3'(1). 1 1 Глава 3. Линейные дифференциальные уравненнл и сиапемы Решение промера. Сначала найдем функцию Коши.
Уравиеиию ул+у = 0 и условиям у(0) = О, у'(0) = ! удовлетворяет функция р = шпй а условияи у(я) = О, 1~(я) = ! — «сдвииутаяя иа а фуккция, т. е. у(С) = шп (! — я). Беря К(С в) = я!и (! — я), получаем предсвавлеиие искомото решения формуяой Коши у(!) = шп (т — в)у(а) чуя. а $11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные уравнения с постоянными коэффициентами — важный класс дифференциальных уравнений.
Их решения выражаются через элементарные функции или через элементарные функции и неопределенные интегралы. К таким уравнениям сводится ряд задач из теоретической механики и электротехники, см. примеры в конце 5 11. (Я Линейное однородное уратмиие с яостояшыни коэффициентами имеет вид од!"!+а р!" '!+. + .у=о где ао, ..., а„— любые числа. Будем считать„что ао ~ О, так как всегда можно начать записывать уравнение с первого отличного от нуля коэффициента, и что все а» вещественны. Левую часть уравнения обозначим Ь(р). Ищем решение уравнения (31) в виде р = е~.
Подставляя в уравнение и сокращая на е~, получаем характеристическое я М 1. Линебные уравнения с постоянными нозффициентами уравнение аоЛл + а!Лл-'+... + „= О, (32) короче, Ы(Л) = О. Следовательно, функция р = е удовлетворяет'уравнению (31) тогда и только тогда, когда Л вЂ” корень уравнения (32). Из алгебры известно, что уравнение (32) имеет в корней, среди которых могут быть кратные и комплексные.
Если все корни различные, то есть простые, то уравнение (31) имеет и решений р = е"Р(у = 1,...,н). Покажем, что эти решения линейно независимы. Их вронскиаи равен ян ь,и Л~е ' ... Л„е1 1 ... 1 = е(~'+"'+~.р Л~ ... Л„ Лл-~ 1 ° ° ° л Лл-~ лн .л-~ ~„г Л~ е ... Л„.
е Последний детерминант в алгебре называется детерминантом Вандермонда. Он не равен нулю тогда и только тогда, когда все числа Лу различные. Значит, если все Лу различные, то решения е~",..., е""' уравнения (31) линейно независимы, и общее решение имеет вид у=сне ' +...+слез' (33) (теоремы 2 и б об общем решении и используемая в доказательствах теорема единственности справедливы и для линейных систем с комплексными решениями в силу леммы ! 5 9). Если все корни Л вещественны, то формула (33) с произвольными вещественными су дает вещественное общее решение. Пусп теперь среди корней Л- есть комплексные.
Тогда для каждого комплексного корня, например, Л~ — — а+ ~Я,,6 -,Е О, имеется сопряженный корень Лз — — а — рз. Им соответствуют Глава Э. Пинедные дифференциальные уравнения и свалены комплексные решения у~ = е~~+~~ = и1+1иг, уг = е~~-~~ =и~ -Ьиг (34) и~ — — е сов Я, иг = е яш,Ж Функции иг, иг — решения, так как и~ — — (уг + уг)/2, иг = (уг — уг)/(29). Заменим в фундаментальной системе уы...,у каждую пару комплексно сопряженных решений вида уг, уг парой вещественных решений вида и~, иг, а для вещественных решений уЗ = е"~' положим иг = у . Покажем, по полученные вещественные решения ин..., и„ линейно независимы на любом интервале (1 ы Фг). Предположим, что для некоторых (вещественных или комплексных) Ьы..., Ь„ имеем Ь|и~ + ...
+ Ь„и вв О при 1~ < $ < $г. Выразив здесь иы...,и„через ун...,у„получим 491+ ... +д„у„щ О, где дг — — (Ь| — 1Ьг)/2, дг = (Ь| + 1~)/2 и аналогично для коэффициентом Нг и дг всех комплексных паР Уг .и УЬ., длЯ вещественных у„имеем и, = у„д, = Ь,. Если хотьодно Ь та О,тонайдегся ая ть О, и функции ун....у„будут линейно зависимыми. Это противоречит доказанному ранее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
