Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Вынося множитель аи, находим, что Рг = аи1т (1). Тогда Ър'(1) = аг1Ж'(1) + апЩ1) + ... + айй„11"(1) = я(1)ййг(М), я(1) то же, что в (11). Из уравнения Яг'(1) = я(С)йг(1) получаем следующее, учитывая лемму 3. Если И'(1е) = О, то 1т (1) гд О; если Ж(1е) ф О, то 1р'(1) гь О, Иг'(1)/гь'(1) = я(1). Интегрируя обе части равенства от ге до 1 и освобождаясь от логарифмов, получаем (11). И И еййй кто. с~ м йй~ю~й ~йййййййй~й ой чййной линейных систем есть решение неоднородной системы. Поэтому Формула (12) представляет только решения неоднородной системы (2). Покажем, что эта Формула содержит ясе решения. Пусп, е — любое решение системы (2), а ги — .
ее частное решение, вхоляшее в формулу (12). Тогда е — в есть решение однородной системы, значит е-гя содержится в и,е,й„, Поэтому е содержится в сумме гя+ и,о . стояшей в правой части (12). Уб я р. Свойппва линейных сипаем Метод вариации настоянных позволяет найти решение линейной неоднородной системы (2), если известно общее решение (8) линейной однородной системы х' = А($)х. Для этого в формуле (8) надо заменить постоянные сн...,с„на неизвестные пока функции с~($),..., с„(с), подставить полученное выражение а = с®х' + ...
+ с„($)х" в систему (2) и найти функции с~($), ..., с„($). Доказательство возможности отыскания этих функций проще провести, записав общее решение системы я' = А(Ф)х в виде х = Х(с)с, где Х($) — фундаментальная матрица этой системы (ее столбцы — линейно независимые решения — векторы а',..., х"), а с — вектор-столбец из постоянных сп..., с„. Заменяем с на с(Ф) и подставляем и = Х($)с($) в систему (2). Получаем Х'(Ф)с(т) + Х(Ф)с'(т) ж А(т)Х(Ф)с(Ю) + ~(С).
Так как Х'(с) = А(т)Х(т) (см. п. 3), то остается равенство Х(й)с'(й) = у(Ф). Умножая слева на обратную матрицу Х '(й) (она существует, так как бег Х(Ю) те 0), получаем с'(х) = Х '(ФЦ(Ф), с(х) = с + Х '(в)Яв) Ив, се — произвольный постоянный вектор. Получаем решение а(х) = Х(Ю)с(х) = Х(х)се+ Х(й) Х ~(вЦ(в) Ав. в При решении конкретных систем, чтобы избежать лишних выкладок (не выписывать члены, которые должны взаимно уничтожаться), можно применить следующий прием.
Решение однородной системы есть Х(Ф)с (Х(Ф) — фундаментальная матрица, с — постоянный вектор), а неоднородной— Гяааа 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиапемы Х(с)с($). Надо найти Х($) и затем координаты вектора с'($) определить из системы Х($)с'($) = у(Ф). ! Пример 3. Зная общее решение ! =с! +сг .
(13) ! однородной системы х' = рг р' = -х, найти общее решение ! ! системы х = р, у' = -х+ й31 (О < $ ( н). г ! ! ! ! ! Решение примера. Заменяем в (13) сг, сг на сг, ст и полученную сумму приравниваем неоднородной части системы сгш1 ~ — з1п Ф 1/з!п Ф Отсюда находим сг! = ф, сг = -1. Следовательно, с! —— 1п з1п 1+ сп, сг = -$+ сгг, Подставляя зги сг,сг в (13), получаем общее решение неоднородной системы р соз$1пзпгт+гз1пФ " сгш$ ' -в'пз ° ее ° е~ [6.
] Для линейных систем в' = А(Ф)х (в Е Й") при различных предположениях о матрипе 4(!) исследовалось повеление решений при ! -+ со. Устанавливались достаточные условия для ограниченности решений нв интервале (8ь, ео) для стремленмя к нулю всех решений при Ф -ь со. В случае, когда л(Ф) = не + Г А! + Ф гАг +... при Ф > Ф! н собственные значения матрицы Аь простые, доказывалось сушествоввние 80 в 20. Линейные уравнения любого лорядка фунввментальной системы, состоящей из решений вила х"(Ф) =езьге»(ам+2 'аы+! заы+...), амзеб, амба", 1 = 1, 2, ", й = 1,..., и ]23], гл. 2, п.
7-9. При более общих условиях (ограниченность н непрерывносп А($)) исследовались свойства характеристических показателей решений (чисел, сравнивающих скорости роста нли убывания решений при г - оо с функцией ем) [26]. К системам применялись методы аналитической теории дифференциальных уравнений, когда независимое переменное Ф вЂ” комплексное, а элементы аз($) матрицы А(() — аналитические функции.
Это позволяет изучать поведение решений вблизи точек, в которых функции а; (8) имеют особенности ]30], главы 4 и 5. 910. Линейные уравнения любого порядка ] ] 1. На интервале гз < $ < б рассматривается уравнение ае(1)у(~) + аг(1)у(~ ~) + "° + аД$)у = Я). (14) Считаем, что при а < Ф < )у все функции аг(1) (з = О, 1,..., и) и У(1) непрерывны и ае(1) уЕ О. Ниже доказывается, что решения этого уравнения обладают свойствами, подобными свойствам решений линейных систем, рассмотренным в й 9. Для этого уравнение (14) приводится к системе нормального вида с помощью замены (25) $5, т.е. с помощью введения новых неизвестных функций и Х!=у» Х2=У ° ХЗ=У» (е-2) (е- О 81 Глава 3.
Линейные дифференциальные уравнения и пктемы Как в у 5 показывается, что в силу замены (15) и уравнения (14) функции хг,..., х„удовлетворяют системе уравнений Ф г Ф хг — — хг, хг — — хз, ..., х„г — — х„, а„ а„ , аг ~ (16) *'„= — — хг — — хг —... — — х„+ —, во ао ао ао и обратно, каждому решению хы..., х„системы (16) в силу замены (15) соответствует решение уравнения (14). Так как.
система (16) линейна и функции а;/ао и ~/ао непрерывны при а ( 1 ( 15, то система (16) обладает свойствами, рассмотренными в у 9. В частности, каждое решение уравнения (14) может быль продолжено на интервал (а,15), и при любых начальных условиях для 1о 6 (а,,д) у(то) = уо у (1о) = уо "° У1 ~(то) = уо О (П) уравнение (14) на интервале (а, 19) имеет единственное решение. Далее, если уы..., Уь — решения линейного однородного уравнения, 7ы " ° *'уь — числа, то тгу~ +...
+Ъуд — решения того же уравнения. Если в — решение однородного уравнения Ьв = О, ег и иг — решения неоднородного уравнения Ье = у, то в+ ег— решение того же неоднородного уравнения, а иг — ег — решение однородного уравнения Ьи = О. (Левая часть уравнения (14) кратко обозначается Ьу.) Рассмотрим линейное однородное уравнение ао(Ф)У1"1 + аг(1) У1" '1 +... + а„(Ф)у = О (18) с непрерывными коэФфициентами ас(1) и ао(Ф) зь О. 82 3 20. Линейные уравненнл любого порядка Доказхпел»опво.
Пусть решения р«,...,р», уравнения (18) линейно зависимы, то есть найдутся такие постоянные с«,..., с», из которых хоть одно не равно нулю, что (19) с«р«+... + с»р»»д О. Дифференцируя это равенство и — 1 раз, получаем с«р« + ... + с»р» гя О, (20) ,р~" «1+... + р~" «» гя О. При замене (15) решение р«уравнения переходит в решение х' системы; здесь х' = (х'„..., х,',), т.е. х' — вектор- столбец с координатами х'„...,х'„(для удобства записи координаты записаны в строку и поставлен знак транспони. рования У).
Таким образом, после замены (15) равенства (19) и (20) можно записать в вице одного векторного равенства с«х' +... + с»х» ьз 0 (3 с« ~ 0). (21) Следовательно, решения х',..., х системы линейно зависимы, ,Обратно, пусть решения х'...х системы линейно зависимы. Тогда имеет место (21).
Беря от каждого вектора х' первую координату х', и переходя от нее к решению р«в силу (15), получаем (19). То есть решения р«,..., р» линейно зависимы. Из леммы следует, что линейно независимые решения пе-' реходят в линейно независимые. Д2. Линейное однородное уравнение (18) при замене (15) переходит в линейную однородную систему (1б) с у аз О. Такая Глава 3. Пинедные дифференииальные уравнения и сиоаемы Детерминантам Вронского (вронскианам) для в функций у),..., у„класса С" ' называется детерминант Уь У Уь У) У~ (23) Если )рункции У„..., У„линейно зависимы, то столбцы детерминанта линейно зависимы, и он тождественно равен нулю. система (см.
у 9, в частности, теорему 2) имеет н линейно независимых решений х,..., *" и общее решение х = с~х'+... +с„х". Следовательно, и уравнение (18) имеет и линейно независимых решений у~,..., у„(то есть фундаментальную систему решений) и справедлива следующая теорема об обшем решении. Я 10. Линейные уравнения яюбоео порядка При замене (15) детерминант (23) переходит в детерминант Вронского для и вектор-функций ($9). По лемме 5 эта замена сохраняет линейную зависимосп (или независимость) решений, поэтому из свойств решений системы (пункты 2-4 $9) следуют подобные свойства решений уравнения (18).
Если для решений уг,..., у„уравнения (18) вронскиан И' равен нулю хотя бы при одном значении $, то решения линейно зависимы и 1е"($) зд О. Замечание. Если же функции уг,..., у„ не являются решениями такого уравнения или их число меньше порядка уравнения, то из Иг(Ф!) = О не следует линейная зависимость функций. г -! ! Пример 4. Для функций у! —— Ф~, уз = !Ф~! при всех Ф имеем ! И() с з О' Однако для любого а > О на интервале -2а < 1 < 2а ! зти функции линейно независимы, так как из равенства егс + аз!$ ~ аз О при Ф = а следует с! + аз = О, а при 1 = -а ! з з ! ! следует -с, + сз = О, Поэтому с! = сз = О, и функции ! линейно независимы.
! ! ! г ! Пример б. Для решений у! = $, уз — — Ф~ уравнения у'" = О ! вронскиан И'($) = сз равен нулю при $ = О, но зги решения з ! линейно независимы (так как 1т (1) И' О на любом интервале). ! Задачи длл упражнений: [12), $12, Ф 664-669. 85 Глава 3. Линейные днфференциольные урввненнв и свалены Формула Лиувилля и Остроградского для решений уравне- ния (18): Иг($) = И'(1ь) ехр — / — й Г а~(т) „) аь(т) (24) Доказательство. Вронскиан ут($) для решений уравнения (18) тот же, что для решений системы (16) с у($) ги О, а для системы справедлива формула (11). В системе (16) имеем ан = 0 (1 = 1,...,« — 1), а„„= -а1/ае.
Поэтому в (11) теперь в(т) = -а((т)/аь(т), и из (11) следует (24). ° иь ( у ь и( Ф и1 (25) — О. (л-1) (юв-Оь (н-О и( ... и„ , у (ь) (е) (н) и, ... и„ ( у 1 Покажем это. Здесь функции он..., и„известны, у — неизвестная функция. Разлагая детерминант по элементам последнего столбца, получаем ад(1)у(") + а((1)у(" ') +... + а„(1)у = 0 — линейное однородное уравнение. Коэффициенты сч(с) непрерывны, так как выража(отея через непрерывные функции «~1"~ () = 1, ...,«; й = 0,1,...,«); аь(1) ги Щ1) -,Ь 0 на интеРвале (а,)У). ФУнкции иы..., «„Явллютсл Решенилми этого [3.) Построение линейного однородного уравнения ио фувдамеи- талы(ой системе решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
