Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789)
Текст из файла
ББК 22.161.6 22.1я73 Фнлзмнов Алексей Феюравпч Ввеление в морям днфферпнпщщпмх урннпипйг Учебник. Изд. 2-е, испр. Мс КомКнига, 2007. — 240 с. Рсяе теямсс декан факультета педагогического обрюювания МГУ, доктор физико-математических наук, профессор гь Х Разрр; доктор физико-математических наук, профессор ю1федры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ И. 11. Сергеев Илителвсткт «Кскялктк» 117312, г.ыссае, кр.т бе-лсткл Окмбрт, 9. сьмккт бехре/1б.
Псч.л.15. Зск.юбм. Опктлткло Л 000 чялнлндт. 1173! 2, т МССККС, Кр т бО Лкпн ОКМбик Л. НА, Стр. 11. 63 КомКнига, Ю07 13-эялчнмд 15ВХ, вводимый с В!07 гл 1БВХ 978-5-484-00786-8 Ссотл. 10-значима 15ВР3, прямснксмнй ло 2007 гл 1ЯВ3тб 5-484-00786-0 4007 !О 47704 ЯЯЩ Щ$ Книга содержит весь учебный материал в соответствии с программой Минвуза по курсу дяфференциальных уравнений для механико-математических и физико-математических специальностей упиаерснитов.
Имеещя также неболылое количеспю дополнительного материала, связанщио с техническими приложениами. Это пощоляст вмбирать материал лля леяцнй в зависимости ог профиля вуза. Объем книги существенно уменыиен по, сравнению с имеющнмнсв учебниками зв счет сокращения дополнительного мхяюриала и выбора бояее простых доказательств из имеющихся в учебной литературе. '.Пария излагается достаточно подробно н доступно не только для сильных, но и для средних студентов. Приводятся с пояснениями примеры решения типовых задач.
В конце параграфов указывакпся номера задач для упражнений из «Сборника задач по дифференциальным уравнениям» А Ф. Филиппова и указываются некоторые теореп!ческие направления, примыкающие к изложенным вопросам, со ссылками на литературу (книги на русском языке). Оглавление Предисловие Глава 1 Дифференциальные уравнения н их решения .
й 1. Понятие о дифференциальном уравнении $2. Простейшие методы отыскания решений .. й 3. Методы понижения порядка уравнений... 7 7 14 гг 27 34 47 Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения и системы . 59. Свойства линейных систем . 410. Линейные уравнения любого порядка......... 67 81 Глава 2 Существование и ебщне свойства решений............. 27 й 4. Нормальный вид системы дифференциальных уравнений и ее векторная запись ..., .........., ..., .
й 5, Существование и единственность решения........... 5 б. Продолжение решений й 7. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части уравнения 52 й 8. уравнения, не разрешенные относительно производной... 87 Озлавлелие (92) С .. 151 .. 151 . 159 167 175 181 190 196 . 196 202 212 . 221 .
234 Литература . Предметный указатель . 237 911. Линейные уравнения с постоянными козффициентани 9 12. Линейные уравнения второго порядка ........... 9 13. Краевые задачи . 9 14. Линейные системы с постоянными коэффициентами .. 915. Показательная функция матрицы ....... 9 16. Линейные системы с периодическими ко ициентами Автономные системы и устойчмвость...... $17. Автономные систеиы.
9 18. Понятие устойчивости . 9 19. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова 9 20. Устойчивость по первому приближению .. $21. Особые точки . $22. Предельные циклы Глава 5 Дифференцируамость решения по параметру и ее применения . 923. Днфференцнруеиость решения по параметру ...... $ 24. Асимптотические иетоды решения дифференциальнмх уравнений 9 25.
Первые интегралы . 9 26. Уравнения с частными производными первого порядка 109 115 124 137 145 0редисловие , Книга содержит подробное изложение всех вопросов программы курса обыкновенных дифференциальных уравнений для механико-математических и физико-математических специальностей университетов, а также некоторые другие вопросы, актуальные для современной теории дифференциальных уравнений и приложений: краевые задачи, линейные уравнения с периодическими коэффициентами, асимптотические мепщы решения дифференциальных уравнений; расширен материал по теории устойчивости.
Новый материал и некоторые вопросы, традиционно включаюшиеся в курс (нацример, теоремы о колеблющихся решениях), но не обязательные для первого знакомства с теорией дифференциальных уравнений, даны мелким шрифтом, начало н конец которого отделены горизонтальными стрелками. В зависимости от профиля вуза и направлений подготовки студентов на кафедре остается выбор, что из этих вопросов включать в курс лекций н программу экзамена. Объем книги существенно меньше обьема известных учебников по данному курсу за счет сокращения дополнительного (не входящего в обязательную программу) материала и за счет выбора более простых доказательств нз имеющихся в учебной литературе. Материал излагается подробно и доступно для студентов со средним уровнем подготовки.
Используются лишь классические Предисловие понятия математического аналюа и основные сведения из линейной алгебры, включая жорданову форму матрицы. Вводится минимальное число новых определений. После изложения теоретического материала приводятся с подробными пояснениями примеры его применения. указываются номера задач для упражнений из «Сборника задач по дифференциальным уравнениями А.Ф.
Филиппова. В конце почти каждого параграфа перечисляются несколыю направлений, в которых развивались исследования по данному вопросу, — направлений, которые можно назвать, пользуясь уже известными. понятиями, и по которым имеется литература на русском языке. В каждой главе книги принята своя нумерация теорем, примеров, формул.
Ссылки на материал других глав редки и даются с указанием номера главы или параграфа. ГЛАВА Дифференциальные уравнения и их решения $1. Понятие о дифференциальном уравнении 1. Дифференциальным уравнением называется соотношение П 1г(и, р, р',..., р1Ю) = С, (1) связывающее значения независимого переменного и, искомой функпии р = р(ж) и ее производных до некоторого порядка и ~ 1. Порядок и старшей производной, входящей в уравнение, называется порядкам уравнения.
Подразумевается, что в (1) значения р, р',..., р1"1 берутся при одном и том же ж. реимнием уравнения (!) называется функция, определенная на некотором интервале (или отрезке), имеющая производные до порядка и и удовлетворяющая этому уравнению, то есп при Гяава 1. Дифференциальные уравнения и ик решения подстановке ее в уравнение обращающая его в тождество на этом интервале.
Если искомая функция зависит от нескольких переменных, и в уравнение входят ее частные производные, то уравнение называется уравнением с частными нраизвадными. Такие уравнения здесь не рассматриваются, кроме последнего параграфа. В отличие от них уравнение (1) называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Примеры показывают, что дифференциальное уравнение, вообще говоря, имеет много решений. Так, уравнению у'-2х = О удовлетворяет функция у = х2+ с при любом постоянном с. Если же в задаче, которая привела к дифференциальному уравнению, ищется единственное решение, то должно быть задано и начальное условие, то есть значение искомой функции при каком-то значении и. Например, задание начального условия у(1) = 5 позволяет найти с, при котором решение у = х + с уравне- 2 ния у' — 2х = О удовлетворяет атому условию: у = 5 при х = 1, тоесть1 +с=5, с=4.
В главе 2 будет доказано, что если у(х,у) и ду/ау непрерывны в области 22, то для любой точки (хо„уо) б 22 существует единственное решение уравнения у = у(х,у) с начальным условием у(хо) = уо. Для уравнения и-го порядка уйб = 7(х, у, у',..., у1" '») нужны и начальных условий у(хо) = уо у(хо),= уо °" у (хо) = уо ~2.
~ Задачи, приводяппю к дифферепппальиым уравнениям. Первые примеры применения дифференциальных уравнений лля решения геометрических и физических задач дали Ньютон и Лейбниц. й 1. Понял!ие о дифференциальном урпенении Рассмотрим несколько задач такого рода. ! Задача 1. Найти кривую, любая касательная к которой пере! ! секает ось абсцисс в точке, абсцисса которой вдвое иеньше абсциссы точки касания. ! 1.
! дРшелиещдачи. Запишем уравнение кривой в виде у = 1Г(х). Касательная в точке М(х,р) пересекает ось абсцисс в точке К. В пряноугольнон треугольнике МРК (рис. 1) известен катет РМ = у н тйа = 1/ (геонетрнческий смысл производной). Позтоиу КР = РМ/ гйа = у/1/. По условию ХР = ОХ = ОР/2, то есть у/1/ = х/2, ху' = 2р. Решить это уравнение ложно иетодон, изложенныи в п. 1 а 2, Зто дает у = авз, с — любое.
При с = О получается пряная р = О, она не является решениеи задачи. Поэтому искоиые кривые р = авз (с т6 О) — параболы. Г ! Задача 2. Написать дифференциальное уравнение движения тела с массой !и по оси Ох под действиеи силы /(Ф, х, х'), направленной по этой оси. Здесь х = х(Ф) — абсцисса ! и х' = х'(1) — скорость тела в момент $. ! ! ! Решение задачи. Согласно второму закону Ньютона ииееи изх" = /(1,х,х'). Зто — дифференциальное уравнение 2-го порядка, Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения позтоиу нужны два начальных условия: положение тела х(те) = хв и его скорость х'(те) = х~е в какой-либо иоиент зе.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
