Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Рассмотрим подробнее частный случай, когда 1 — упругая сила, по закону Гула пропорциональная отклонению тела от положения равновесия х = О и направленная в сторону положения равновесия, то есть $ = -йх. Тогда уравнение движения принимает вид пьи" = -йх и имеет решение а = с! соз а$+ сз шп пз, где а = ~/й7т, а с> и св — произвольные постоянные, которые иожно найти, зная начальные условия (непосредственно проверяется, что это — решение; иетод его отыскания излагается в 511). Если движутся и тел, силы взаимодействия которых зависят от положения тел и их скоростей, то написав уравнения движения для каждого тела, получаем систему и дифференциальных уравнений.
Если тела движутся не по прямой, а в пространстве, то подобные уравнения пишутся для каждой координаты каждого тела, и получается система из Зи уравнений. Решение задачи. Согласно физическим законам (Я, а 13) при последовательнои соединении во всех злеиентах цепи сила тока Г($) одна и та же. Сумма падений напряжения на всех злеиентах цепи 10 Задача 3.
В электрическую цепь последовательно включены источник по! сгоянного тока с напряжениеи У, катушка саиоиндукции Ь, сопротивле! ние зс и выключатель, который заиыкает цепь при Ф = О. Найти силу тока ! > в цепи при Ф ) О (рис. 2). ! ! ! ! ! ! ! ! ! Рис. а Я 1. Понятое о диффврвнциальнои уравнении равна напряжению источника тока, то есть ИЕ Ь вЂ” +Ш=У; Е(0)=0. ез Решить уравнение иожно иетодон п.1 а 2.
С учетом условия 1(0) = 0 нивен 1(Ф) ю — (1 — е з~) (Ю ) 0). Л . Следовательно, сила тока ионотонно возрастает от 1 = 0 при з = 0 и стремится (на практике очень быстро] к предельному значению 1(оо) = У/ — к тону значению, которое получилось бы по закону Она при отсутствии саиоиндукции.
Некоторые области применения дифференциальных уравнений: системы автоматического управления; расчет движения ракет, спутников и,небесных тел; расчет токов в сложных электрических цепях; динамика механических и физических процессов в технике; кинетика химических реакций; отдельные вопросы биологии. ~ЗД Пюметричесаий смысл уравнения р' Е* 1(а, р). Для каждой точки (и, р) из области Р, где определена функция Е, уравнение р' = 1(х, р) определяет значение производной р' решения, проходящего через эту точку. Но р' = гйа, где а — упзл наклона , касательной к кривой, проходящей через эту точку (рис. 1). Таким образом, уравнение р' = 1(а, р) определяет в области Р наив направлений: в каждой точке уравнение определяет направление касательной к решению, проходящему через зту точку. Можно наглядно изобразить зто поле, если в области Р взять достаточно чгустое» множество из конечного числа точек и через каждую его точку (и, р) провести короткий отрезок под углом ст к оси Оа, 11 Гяпва 1.
Дифференципльные уравнения и их решения где ту а = у(х,у). Проводя в области Ю кривые, идущие везде приблизительно по направлению ближайших отрезков, получаем представление о холе решений данного уравнения. Метод изоклии помогает построить поле направлений. Нзвклиной (линией равного наклона) для уравнения у' = у(х, у) называется геометрическое место точек, где у(х, у) = й, й = соим. Для нескольких х из множества значений функции у, в том числе для й = 0 и й = оо (если у(х, у) принимает зги значения), строим изоклины у(х, у) = й, стараясь не оставить на чертеже больших областей без изоклин или хотя бы без пометок типа «здесь у' > 2». Через многие точки каждой изоклнны у(х, у) = й проводим короткие отрезки под углом а (гйа = й) к оси Ох.
По этому полю направлений строим интегральные кривые — графики решений данного уравнения. Эти кривые в точках пересечения с каждой изоклиной должны иметь касательные, параллельные отрезкам, построенным на атой изоклине. Иногда полезно проводить не только изоклины, но н другие кривые — такие„которые пересекаются полем направлений только в одну сторону. Пример 1. С помощью метода нзокянн приближенно постро- 1 нть несколько интегральных кривых уравнения у' = х — уз. ! 3 Решение примера. Для нескольких значений й, например, дпя и = О,х1,х2 проведем нзохлнны х — уз = й.
Это — параболы. Каждую нзохлнну х — у = й пересечем короткимм стрезхамм г под упюм а, тйа = й, х осн Ох, не доходящими до других нзохянн. Проведем интегральные кривые, например, через точки (1, 1), (О, О), (1, -1), (-1, -1), согласуясь, яак указано выше, с направлениями отрезков на нзоклннах. Полученный рнс. 3 дает общее представление о решениях уравнения у' = х — у~. 12 в 1. Понятие о дифференциальном уравнении $йюаааеею~ Хотя рисунок приближенный, из него можно получить некоторые точные свелеиия о решениях. В области я < уг имеем у' < О, и там решения только убывают, а в области н > уг — только возрастают.
На параболе я = уг име- у у'< -2 ем у'=О и ингегральные кривые могут пересекать ее только слева направо, достигая минимума в точке пересечения. Поэтому из области и > у реше- О 1 « ния ие выходят. В замкнутой области н > уз + 1 имеем Г/ = н-уг > 1, по- У'<-2 этому все проходяшие там решения, возрастая, вхо- рис. 3 дят в полосу между изоклимами х — уг = ! и е — уг = О и остаются там, так как поле направлений на границах этой попоем при у > 1/2 не дает им выйти. 4®®®®®®®46 Метод изоклин обычно дает представление о поведении всех решений данного уравнения. Но он обладает малой точностью и применим только к узким классам уравнений: к уравнениям первого порядка у' = у(а, у), к системам вида оа г(у — = р(а, у), — = у(х, у) Ф ' ' гй (система сводится к уравнению г1у/г1и = д(и, у)/р(х, у)) и к уравнениям вида у" = /(у, у') (замена у' = «приводит к системе у' = «, «' = у(у, «), отсюда г1«/г1у = у(у, «)/«).
Кроме того, если Функция /(х, у) сложная, то трудно строить изоклины. 13 Глава 1. Дифференциальные уравнения и и» решения 5 2. Простейшие методы отыскания решений Я яравиеиия с разделяющимися яереьювиыии. Они могут быль записаны в виде Р = Г(х)Р(Р) (2) Предполагаем, что функции,/ и у непрерывны. Если р(р) = О при р = р~, р = р2, ..., то Функции р(х) вз р1, р(х) яе рт, ...
являются решениями. В окрестности каждой точки, где у(р) ~ О, разделим обе части уравнения (2) на у(р) и проинтегрируем по х обе части уравнения — ж у(х), р(р) = — 1(х)дх+с, — = г 1(х)Их+с. р(р) = р(р) (3) Неопределенный интеграл здесь означает любую первообразную функцию, то есть такую функцию, производная от которой равна подынтегральной функции. Если две функции равны, то интегралы от них могут отличаться на любую постоянную, то есть в (3) с — произвольная постоянная. Обозначив интегралы в (3) через Х(р) и Р(х), получаем решение уравнения (2) в неявном виде: Н(р) = Р(х) + с. На любом интервале, где у(р) ~ О, Функция р(р) сохраняет знак, значит, Функция Н(р) строго монотонна, непрерывна и имеет обратную функцию Н '.
Поэтому решение можно записать и в виде р = Н '(Р(х) + с). Рассматриваются основные классы дифференциальных уравнений первого порядка, для которых решения могут быть найдены с помощью тождественных преобразований данного уравнения и замен переменных. Уравнения вида Р(х,р, р') = О требуют теоретического исследования и будут рассматриваться в й 8. й 2. Простейшие методы атысканал решений ! Задача для упражнений: [12], $2, Зй 51-59. — у(х') дх'. (4) Замечание.
Предположим, что й(ув) = О, у(хв);6 0 и что на некотором интервале ув < у < уг (или уг < у < ув) имеем у(у) ~0 и левый интеграл в (4) имеет конечное значение, то , есть сходится. Тогда можно показать, что на некотором отрезке хе < х < хг (или хг < х < хв) формула (4) также определяет решение уравнения (2). Условию у(хе) = ув удовлетворяют и решение (4), и решение у(х) вз ув.
г 1 Пример 2. Решить уравнение у' = Зузгз. ! Решемае примера. Правая часть равна нулю при у = О, поэтому ~~~7Й 0 — ре е ° . ЧМ аа дру р ею~ дел обе части уравнения на Зузгз и интегрируем: — =1, / — =/ 1дх+с, у' Г ау р 3 уз/3 ' / 3 уз/3 ' (5) у'~~ = х+ с, у = (х+ с), Через любую точку (хт 0) оси Ох проходит решение у(х) вз 0 и решение у = (х — хв)~, полученное из (5) (рис. 4). Имеются Решение, удовлетворяющее начальному условию у(хв) = ув, в случае у(ув) = 0 есть у(х) ва ув.
В случае у(ув) зЕ 0 на интервале, гле у(у) ~ О, из (3) получаем решение у(х) в виде з(ч) ч Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения также решения, составленные из двух или трех кусков названных выше решений, наприиер, АВх, КВзСз, АВВзСз и т. и. Такие составные функции являются решенияии, так как они всюду имеют производную (в точке стыка правая производная равна левой) и всюду удовле- С, творяют данному уравнению. ч Уравнения вида у~ = З'(ах+Ьу+ с) А А, А~ А~ приводятся к уравнениям с разделявшимися переменныРис. 4 ми заменой л = ах+ Ьу+с, л = л(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
