Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788)
Текст из файла
!!1!' !! 33 !! $1 !$ 1 ! ВВЩЕНИЕ В ГОРИЩ ;Ю~~~~~фф.~!~,.'~."~~ .-.АНЕМИИ ° ° ° Э 4 ° ° Ф й ° ° ° за ° ° ББК 22.161.6 22.1я73 Филиным Аяексей Федсроиач Ваеднше в теорем даффсрпщяальвых урааашшй: Учебник. Изд. 2-е, испр. Мл КомКнига, 2007. — 240 с. Рсяеизсигиьс декан факультета педагогического обрамгвания МГУ, доктор физико-математических наук, профессор Н. Х Роша; доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференцдааьных уравнений механико-математического факультета МГУ Н.
Н. Ссрыае Нэппсввспю «Ксмхввпп. П 7312, г. Москва. вр-т Ю-асмп Октвбпг, 9. Фсрмвт ббх90/16. Пм в. 15. Звк М 655. Отвссагавс в ООО сЛЕНАНДс. 117312, г Мссквв. врт 60 кспм Овтвбрв, д. 11А, стр. 11. © КомКнига, В307 13-знатный 1БВХ, вводимый с 201П гз 18ВХ 978-5-484-00786-8 Ссотв.
10-зиачшкй 15ВХ, применяемый до 2007 гз 1$ВИ 5-484-00786-0 Ы 785484 116 007868 Книга содержит шсь учебный материал в соотвеютвии с пршраммой Минвуза по курсу дифференциальных уравнениЯ двя механико-математических и физико-математических специаиьносшй универсигеюв. Имеется таске небольшое количество лополнвтелыкио мшериала, свазанного с техническими приложениами. Это позволяет вмбирать материал лля лекций в зависимости от профшш вуза.
Обьем книги существенно уменьшен по, срааненшо с нмеющимисв учебниками за счет сокращения дополнительного материала и выбора более простых доказательств из имеющихся в учебной литературе. Теория издагается достаточно подробно и доступно не только для сильных, но н для средних студентов. Приводятся с пояснениями примеры решения типовых задач. В конце параграфов указываются номера залач для упражнений нз «Сборника задач по дифференциальным уравнениям» А.Ф. Филиппова и указываются некоторые теоретические направления, примыкающие к изложенным вопросам, со ссылками на литературу (книги на русском языке).
Оглавление Преднслевне Глава 1 Дифференциальные уравнения и их решения . $ 1. Понятие о дифференциальнон уравнении 5 2. Простейшие нетоды отыскания решений .. б 3. Методы понижения порядка уравнений ... 7 14 22 27 34 47 Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения и системы $ 9, Свойства линейных систем . 610. Линейные уравнения любое порядка........ 67 67 81 Глава 2 Существование н общие свойства решений............. 27 54.
Нормальный вид системы дифференциальных уравнений и ее векторная запись............ 55, Существование и единственность решения........... $ б. Продолжение решений $ 7. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части уравнения . 52 $8.
Уравнения, не разрешенные относительно производной... 57 Оглавление 9 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 9 12. Линейные уравнения второго порядка ........... 9 13. Краевые задачи . 9 14. Линейные системы с настоянными коэффициентами .. $15. Показательная функция матрицы....... 9 16. Линейные системы с периодическими ко ициентаии Глава 4 Автономные системы и устейчивость...... $17. Автономные системы. 5 18. Понятие устойчивости . 9 19. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова 920.
Устойчивость по первому приближению .. 921. Особые точки . $ 22. Предельные циклы Глава 5 Дифференцируемость решения по параметру и ее применения . 923. Дифференцируеиость решения по параметру ..... $24. Асииптотические методы решения дифференциальных уравнений 5 25. Первые интегралы .
9 26. Уравнения с частными производными первого порядка Литература Предметный указатель |, '92~;.С 109 115 124 137 145 .. 151 . 151 159 167 175 181 190 196 196 202 212 221 234 237 Предисловие , Книга содержит подробное изложение всех вопросов программы курса обыкновенных дифференциальных уравнений для механико-математических и физико-математических специальностей университетов, а также некоторые другие вопросы, актуальные для современной теории дифференциальных уравнений и приложений: краевые задачи, линейные уравнения с периодическими коэффициентами, асимптотические методы решения дифференциальных уравнений; расширен материал по теории устойчивости. Новый материал и некоторые вопросы, традиционно включающиеся в курс (например, теоремы о колеблющихся решениях), но не обязательные для первого знакомства с теорией дифференциальных уравнений, даны мелким шрифтом, начало и конец ксзтюого отделены горизонтальными стрелками.
В зависимости от профиля вуза и направлений подготовки студентов на кафедре остается выбор, что из этих вопросов включать в курс лекций и программу экзамена. Объем книги существенно меньше объема известных учебников по данному курсу за счет сокрашения дополнительного (не входящего в обязательную программу) материала и за счет выбора более простых доказательств из имеющихся в учебной литературе.
Материал излагается подробно и доступно для студентов со средним уровнем подготовки. Используются лишь классические Предисловие понятия математического анализа и основные сведения из линейной алгебры, включая жорданову форму матрицы. Вводится минимальное число новых определений.
После изложения теоретического материала приводятся с подробнымн пояснениями примеры его применения. Указываются номера задач для упражнений из «Сборника задач по дифференциальным уравнениям» А.Ф. Филиппова. В конце почти каждого параграфа перечисляются несколько направлений, в которых развивались исследования по данному вопросу, — направлений, которые можно назвать, пользуясь уже известными. понятиями, и по которым имеется литература на русском языке. В каждой главе книги принята своя нумерация теорем, примеров, формул. Ссылки на материал других глав редки и даются с указанием номера главы или параграфа. ГЛАВА Дифференциальные уравнения и их решения $1.
ПонятИе о дифференциальном уравнении 1. Дифферепяиальпым уравпепием называется соотношение П Р(х,д,р',...,р1"1) =С, (1) связывающее значения независимого переменного х, искомой функции у = р(х) и ее производных до некоторого порядка и > 1. Порядок и старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком ураапенпп. Подразумевается, что в (1) значения р, р'„... р1"> берутся при одном и том же х. Решением уравнения (1) называется функция, определенная на некотором интервале (или отрезке), имеющая производные до порядка и и удовлетворяющая этому уравнению, то есть при Глава Я. Дифференциальные уравнения и ил решения подстановке ее в уравнение обращающая его в тождество на этом интервале. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, и в уравнение входят ее частные производные, то уравнение называется уравнением с частными нроизводными. Такие уравнения здесь не рассматриваются, кроме последнего параграфа. В отличие от них уравнение (1) называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Примеры показывают, что дифференциальное уравнение, вообще говоря, имеет много решений. Так, уравнению у'-2х = О удовлетворяет функция у = х~+ с при любом постоянном с. Если же в задаче, которая привела к дифференциальному уравнению, ищется единственное решение, то должно быть задано и начальное условие, то есть значение искомой функции при каком-то значении х. Например, задание начального условия у(1) = 5 позволяет найти с, при котором. решение у = х + с уравне- 2 ния у' — 2х = О удовлетворяет этому условию: у = 5 при х = 1, тоесть 1 +с=5, с=4. В главе 2 будет доказано, что если „Г(х,у) и ду/ду непрерывны в области Р, то лля любой точки (хо, уо) б Р существует единственное решение уравнения у' = у(х,у) с начальным условием у(хо) = уо. Для уравнения п-го порядка убб = у (х, у, у',..., у<" О) нужны и начальных условий У(хо) = Уо У (хо); Уо ° ° ° У (хо) = Уо [2.) Задачи, приводящие к дифференциальным уравиеяиям.
Первые примеры применения дифференциальных уравнений для решения геометрических и физических задач дали Ньютон и Лейбниц. $1. Понятое о дифференциальном уравнении Рассмотрим несколько задач такого рода. 1 Задача 1. Найти кривую, любая касательная к которой пере- г 1 г секает ось абсцисс в точке, абсцисса которой вдвое иеньше г абсциссы точки касания. 1 г гьчт шишь з ура и ~н юд и = р(~). Касательная в точке М(х, р) пересекает ось абсцисс в точке К. В пряиоугольнои треугольнике МРХ (рис.
1) известен катет РМ = р и гйа = р' (геоиетрический смысл производной). Поэтому КР = РМ/ гй а = у/1/. По условию ХР = ОХ = ОР/2, то есть р/1/ = х/2, х1/ = 2у. Решить это уравнение можно иетодои, изложенным в и. 1 В 2. Зто дает р = сх~, с — любое. При с= 0 получается пряная у = О, она не является решениеи задачи. Поэтому искоиые кривые р = схз (с эь О) — параболы.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
