Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 6
Текст из файла (страница 6)
То есть последовательность приближений яР($), р = О, 1, 2,... на 1 равномерно сходится к х($). Покажем, что х($) удовлетворяет интегральному уравнению (12). Для этого перейдем к пределу в равенстве (13). Разность правых частей 1авенств (13) и (12) имеет в силу (8) оценку При р -~ оо подынтегральная функция на 1 равномерно стремится к нулю. Тогда интеграл стремится к нулю, и правм часть (13) стремится к правой части (12). Левая часть тоже. Значит, предельная функция я($) на отрезке 1 удовлетворяет уравнению (12).
По лемме 3 она является решением задачи (11). Существование решения доказано. Единственность доказана в теореме 1. Далее излагается другое доказательспю теоремы 2 при тех же предположениях. 39 Глава Р. сущеолвование и общие свойсглва решений Донора)лельсглво Тоннели ([37], т. 1, гл. 1, об, п.З) (благода- ря предположению о непрерывности дУг/дв не требуется применять теорему Арцела). Возьмем такие г, по, И, Я, как в формулировке теоремы, тогда в шаре Я имеем Щ < тв и справедливо (8).
Для любого целого р > 2 возьмем Л = й = И/р и построим приближенные решения уравнения (12). Положим у ($) = ио при $о — й < $ < го, а на отрезках 1$о+ (о — 1)йр, 1о+ ойр] о = 1, 2,..., р, последовательно определим ур($) равенством г у,)~)=..+/ У).,р,) -В))аа )19) ФО Если о > 1 и при $о — Лр < 3 < $о+ (1 — 1)йр функция ур($) определена, непрерывна и 1ур(1) — ио! < тпИ, то это же верно и при $о ~< $ < $о + зйр, так как при таких $ точка ($, ур(1 — йр)) б Я, ур(Ф) = /(1, ур(г — йр)), 1у (Ф)! < по, (20) !у (1)-*о! < 11-оо1 < б.
По индукции получаем, что на отрезке.7 (1о < Ф < Фи+И) функции у (Ф) и ур(1) непрерывны и справедливо (20), Оценим разность л(Ф) = ур(1) — у (1) приближенных решенийс Л=й ис й=йо. Всилу(20) и(8) 1л'(Ф)1= 1У(Ф,ур(1- й )) - У(1,уе(й- йт)) 1 < <«1у,(1-«р)-уо(е-й,)~ вз ги«~ (ур(1-й ) -ур(1)) — М-й ) -у (1))+ (ур(1) -уе(1)) ~ Таккак 1у'1<гп, 1ф <т,топри1Е Т 1л'(1)! < «пгй + «гпй + «1л(1)1; л® = О. б 5. Суи1ествование и единплвенносвь решения В силу леммы 2 получаем при $ Е,7 ~в(1)~ ~ (из(й~+ йе)(е й ~~ — 1) < пз(Ь„+ 7г )(еьв — 1), (21) Для любого е > 0 найдется такое р~, что при р > р~, д > р~, правая часть (21) меньше е.
Тогда ~у (Ф) — р (Ф)~ < е на .7, то есть последовательность непрерывных функций (рв(1)), р = 2, 3, 4,..., удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на .7. Значит, она сходится равномерно к непрерывной функции, которую обозначим х($).
Покажем, что х($) — решение уравнения (12). При р > р'(б) имеем на 7 б б ~рв(1 Ьв) рв(Ф) ~ < гп7гр < ~рв($) х(Ф) ~ < 2' 2 (22) ~~(е,рв(1- йг)) -~(е,х(1)) ~ <~ 7а ~ ур(1- Ьр) - х(Е) ~ < йб. Правая часть сколь угодно мала при малых б. Значит, в (19) 7(в,у (в — Ьт)) =З 7(в,х(в)) пРи Р - оо. В пРеделе Равенство (19) превращается в (12). Итак, х($) — решение уравнения (12), значит, и задачи (11) при $е < $ < Фе+ б. Случай $о — Н < $ < 1о сводится к рассмотренному заменой $ на -$. Существование решения доказано, а единственность следует из теоремы 1.
! Задачи дяя улражненид: (12), 7В 223, 225, 226, 228 д, е. Глава Я. Существование и общие свойства решений Доконммяьство. Приближенные решения ур(1) строятся и оцениваются как в (19) и (20). В силу оценок (20) и (3) на отрезке,7 все уг($) равномерно ограничены н равностепенно непрерывны. По теореме Арцела из них можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность (у .), 1 = 1,2,3,.... Ее предел— непрерывная функция х(Ф). Переход от (19) к (12) при р = рг -+ оо проводится как в предыдущем доказательстве, кроме оценки (22). Прн достаточно малом 6 из неравенства ~ун(1- Ьн) — х(Ф)~ < б и равномерной непрерывности функции у в Я следует, что левая часть (22) меньше е. Значит, при р = р; ° со рамнство (19) превращается в (12). Поэтому х(1) — решение задачи (11).
«ь««««««м® Замечание. В случае, когда на функцию у(т,х) не налагается т других )хловий, кроне непрерывности, задача (11) может иметь более одного решения. Например, задача йх/йз = Зхзгз, х(0) = О имеет решения х = О н х = тз, см. пример 2 9 2 н рис.4. 1 Теорема 3 (о существовании и единственности решения для уравиенил и-го иорядка). Дано уравнение с начальными условиями у<">=У(з,у,у',...,у<"-'1), (23) у(2,) =у,, у'(1,) =у,', ..., у("-'1(1,) =у(" ".
(24) Пусть в области Р С 22"+' функция 1' непрерывна по совокупности всех своих аргументогь имеет непрерывные часхныв производные 1-го порядка по у, у',..., у(" '1, и начальная пачка (Фе,уе,уш...,уе" О) лежит внутри Р. Тогда на некопюром 5 д. Гуществовоние и единственность решение отрезке Фв — д < Ф < Фв+ Н (0 ) О) существует'единпавенное решение задачи (23), (24). Доказательство. Переходим от уравнения (23) к системе уравнений с помощью введения новых переменных I н Х1=У, Х2=У, ХЗ=У, (25) (и-2) (в-1) Хк-1=У э Хк =У Из этих равенств получаем первые п — 1 уравнений следующей системы, а и-е уравнение получаем из (23) с учетом замены (25) и того, что у(") = х'„: Ф У (26) Х(=Х2, Хг=ХЗ~ *' = У(1,*.",*.).
Из (24) и (25) получаем начальные условия для системы (26) х1(Ц = Уь хг((о) = Уо " хк((в) = Ув (27) (и-1) Таким образом, каждое решение уравнения (23) с помощью замены (25) переходит в решение системы (26). Обратно, для каждого решения системы (26) в силу замены (25) у функции у = х1 существует у(") ='х'„= у ($, у, у~,..., у(" )). Соответствие между начальными условиями (24) и (27) очевидно. Если задача (23), (24) удовлетворяет условиям доказываемой теоремы, то задача (26), (27) удовлетворяет условиям теоремы 2 и поэтому имеет единственное решение х1(Ф) " хь(2) (Фо — 11 < Ф < со+ д). Первая координата х1(с) этого решения в силу доказанного является решением . задачи (23), (24).
Глава 2. Существование и общие свойства решениб Геометрическая иллюстрация теорем существования и единственности. Для простоты будем предполагать, что функция Г и ее частные производные первого порядка непрерывны всюду. Для дифференциального уравнения 1-го порядка х' = 7 ($, х) или системы нормального вида теорема 1 означает, что через любую точку ($о,хо) проходит ровно одно решение, точнее, график решения. Для уравнения у1"1 =,Г(1, у, у',..., У1" '1) порядка п > 2 рассматриваются графики решений у(1) на плоскости $, у.
В силу теоремы 3 для уравнения 2-го порядка при начальных условиях У(2о) = Уо. У'(1о) = Уо существует единственное решение. Значит, через точку ($о,уо) проходит бесконечно много решений, различающихся значениями у'($о) = 7~, то есть направлениями $ касательной к графику решения в этой точке. Но два разных решения не могут иметь в этой точке одну и ту же производную у'(со), следовательно, не могут касаться друг друга.
Для уравнения 3-го порядка задаются начальные условия У(1о) = Уо У'(Фо) = ~4. Ун(то) = М'. Значит, чеРез точкУ (Фо,хо) по каждому направлению (с угловым коэффициентом уо, здесь уо произвольное) проходит бесконечно много решений. Они касаются друг друга и различаются значениями у" ($о). По любому другому направлению (с другим значением уо) проходит тоже бесконечно много решений.
Задачи длл упражнении: (12), а 7, од 228 а-г, 229-234; 5 21, оп 13, 14, 16, 18-27. К системам нормального вида с помощью аналогичных замен можно свести широкий класс систем уравнений, содержащих производные высших порядков, а именно системы, разрешенные относительно старших производных. В таких системах число уравнений равно числу искомых функций, лля каждой искомой функ- Я 9. существование и единственность решения ции выделяется старшая из входящих в систему производных, она стоит в левой части одного из уравнений системы, а в правых частях нет этих старших производных.
Например, такова система у =Я,у,у,у,г,г), г =9(ф,у,у,у,г, 3). Заменой у =х1 у =ХЗ. у =хз, г = х4, г = Х5 эта система и » сводится к системе нормального вида » » и! =Х2» Х2 = ХЗ» ХЗ = Ф»Х1»Х2»ХЗ»Х4»Х5)» » » Х4 = Х5, Х5 =9(»» Х1, Х2, ХЗ,Х4, Х5). ° »»»»»»»»»а»»$» П 4. Известны и другие теоремы о существовании решения. Доказательство имеется в 16), з17, и в 12), гл.б, 84.
Методы отыскания коэффициентов ряда (28) см. там же и в [12], б 18, п.4. Хотя полученнмй ряд обычно сходится только на малом интервале, он часто используется, в вычислительной математике для самого начала вычислений. Распространение теоремы существования решения на дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями связано с обобщением понятия решения, так как функция, называемая решением, может не всюду имен производную. В следующей теореме решением Глава в. Сущесшвование и общие свойппва решений задачи (11) называется решение интегрального уравнения (12), интеграл и интегрируемость понимаются в смысле Лебега.
Системы автоматического управления с переключениями описываются дифференциальными уравнениями х' = у(С, х), х Е й", с разрывными по х функциями у(С, х). Для таких уравнений рассматривался вопрос, какими должны быть решения, идущие по поверхности разрыва, чтобы они хотя бы приближенно описывали движения в реальной физической системе [35], гл.1, 83, [38], $4, б 8, п.3. Исследовались свойства решений в таких системах. Известно много достаточных условий единственности решения. Ниже приводится условие, обеспечивающее единственность при С > Со решения задачи х' = 7(С, х), х(Со) = хо. Именно такая единственность нужна в технических приложениях. Пусть существует такая интегрируемая функция й(С), что для любых точек (С, х), (С, р) области 23 Е 81"+' имеем (у(С, х) — у(С, у)) ° (х — у) < й(С)]х — р]~, (произведение векторов — скалярное).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
