Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 3
Текст из файла (страница 3)
2. Запись уравяеиня в дифференциалах — это запись П ЛХ(х, р) Их+ дГ(х, р) Ар = О, ' (6) где ле и ДТ вЂ” известные функции. Здесь считается, что любую из величин х и р можно назвать искомой функцией, а друтую— независимым переменным. Решениями уравнения (6) называются решения хотя бы одного из уравнений Ар Ы(х, р) Их Дг(х, р) Йх К(х, р) ' Ар М(х, р) Например, уравнение р йю + х Ир = О можно преобразовать к любому из видов Ир р Их х — (а), — = -- (б). йю х Ар р 1б 3 2. Простейшие методы отыскания решений Р«ю уравне~~«) Ф««~им««=~«'*««вЂ” бое число, включая нуль), а уравнения (б) — функции х = сз/у (сз — любое).
Функция у = 0 удовлетворяет только уравнению (а), так как для нее символ дх/ду не имеет смысла, а функция х = 0 — только уравнению (б). Все эти функции (у = с~/х, у = 0 и * = 0) называются решениями уравнения у дх+х ду = О. 3. Однородные уравнения. Это уравнения, которые можно за- П писать в виде у' = /(у/х) или в виде (6), где М(х, у) и 1ч (х, у)— однородные функции одной и той же степени. Функция М(х, у) называется однородной 4ункцией степени р, если для любых х, у и любого й > 0 М(йх, йу) ш йгМ(х, у).
Примеры однородных функций: х+2у з. у *«-Ву, '«-3 у««««', 2 +««'*'-5у~, Зхз -4ху' х' Однородные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой у = хх, л = л(х); следовательно, у' = хх'+ х. Пример решения однородного уравнения см. в 112), з4, п.!. Однородное уравнение не меняется при одновременной замене х на йх, у на йу (й = сопзг > 0), это следует из определения однородного уравнения. Поэтому каждое решение однородного уравнения при такой замене переходит в решение того же уравнения. Из этого следует геометрическое свойство: подобное преобразование х йх, у йу с центром подобия (О, 0) переводит все интегралъные кривые однородного уравнения в интегральные кривые того же уравнения.
17 Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения ° »» е» Об уравнениях, приводяшнхся к однороднмм, см. 112], 54, и. 2 н и.3. Задачи твм же, М ПЗ-120 к и. 2 и М 121-129 к п, 3. «е»«»»»»»»»® 4. Линейные уравнения — это те, в которые у и у' входят П линейно, то есть в первой степени. Они приводятся к виду у~ = а(х)у+ Ь(х). (7) Чтобы решить зто уравнение, сначала решаем уравнение у' = а(х)у. (8) Разделяя переменные, как в (3), получаем — =а(х), / — = / а(х)вх+с1, у' Г Иу Г у, у 1п 1у~ = а(х) дх+ с1, 1у~ = е"1р(х), где гр(х) = еГ'1*1~.
Значит, у = ~сезар(х) = ор(х) — решение уравнения (8). Здесь с — любое. Значение с = О дает решение у = О, которое было потеряно при делении на у. Теперь ищем решение уравнения (7) методам вариации но- стоянных. Заменяем постоянную с на пока неизвестную функ- цию с(х). Подставляя у = с(х)1р(х) в (7),получаем су,+ сх = а(х)су+ Ь(х). (9) Так как у = р(х) — решение уравнения (8), то су' вв а(х)с1р, и из (9) имеем Ьр = Ь(х). Находим с'(х), затем с(х), и получаем решение у = с(х)у(х) уравнения (7). -1 1 1 Пример 3.
Решить уравнение ху' = 2у — 2х4. 1 18 а Я. Проанейшие методы отыскания решений Решение примера. Решаем сначала уравнение ху' = 2у. Разделяя переменные и интегрируя, получаем у' 2 Гду Г2 — ~ — = ~ — йх+он !п]у! =21п]х]+си у х ,/ у ,/ г Отсюда имеен у = те" х~ = ох~. Теперь ищем решение исходного уравнения в виде у = с(х)гз. Подставляя в исходное уравнение, получаен хзс'+ с 2х~ = 2сх~ — 2х4, с' = -2х. Отсюда с(х) = -х + сз и у = с(х)х = -х + сзх — искомое решение. Об уравнениях, линейных относительно х, см. [12], у 5, п.2.
! Задачи для упршянений: [12], Ь 5, В1Эб-'150. б. Уравнения Бериулви — это те, которые можно записать в виде П у' = а(х)у+ Ь(х)у~ (а та О, а ~ 1)'. (10) При а = О и а = 1 это уравнение — линейное. Чтобы решить уравнение (10), надо обе его части разделить на у у ~у~ = а(х)у~ ~+Ь(х) и ввести новую искомую функцию х = у' . Тогда х =(1 — а)у у, и уравнение сводится к линейному х' — = а(х)х + Ь(х). 1 — а Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения Это уравнение решается методом, изложенным в п.4.
Надо помнить, что при делении на р в случае а > О теряется решение у = О. ! Задачи для упражнений [12], $5, В 151-160. б. Ъ)~авиеиие в пелиык диффереицвалак — это такое уравне- П ние вида (б), левая часть которого есп полный дифференциал от некоторой функции Р(х,р). Предполагаем, что функции М, 1ч, М', Х, 'непрерывны. Для сущеспювания такой функции Р(х, у) необходимо, чтобы М„' ва К,'. В самом деле, дР(х, р) = Р,'дх+ Р„' др; чтобы это равнялось Мдх+ Ядр, надо, чтобы выполнялись равенства М = Р,', Ф = Р„'.
Но тогда М„' = Р,"„вз Р„", = 1ч'в. В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда функции М и лГ рассматриваются в олносвязной области, то есть в,области без дыр», условие М„' вз Ж,' является и достаточным, и функция Р(х, р) выражается с помощью криволинейного интеграла. Излагаемый ниже более простой способ отыскания функции Р(х, у) можно применять в любой области, но иногда он дает непрерывную функцию Р(х, р) лишь в части области. Проверяем, что М„' вз ЗГ,'.
Из уравнения Р,' = М получаем Р(х, р) = М(х, р) ах+ р(р). (11) Производная Р,' — частная, она берется при постоянном р, поэтому р считается постоянным при интегрировании по х. Функция (11) удовлетворяет уравнению Р,' = М при любой функции р(р). Найдем р(р), подставляя выражение (П) в уравнение Р„' = К. (Если при отыскании 1р(р) окажется, что ~'(р) 20 а 2. Просшейшие мепюды ошыснания решений зависит и от х, то или условие М„' вз Ф,' не выполнено, или допущена иная ошибка.) С найденной функцией 1р(у) формула (11) дает функцию Р(х, у).
Данное уравнение (6) запишется в виде И'(х, у) = О. Функция у(х) будет решением уравнения (6), если М(х,у) + К(х, у)у' =О, то есп (так как М = Р,', К = Р„'), если о — Р(х, у(х)) = О, Р(х, у(х)) = с = сопя1. ох Аналогично, функция х(у) — решение уравнения (6), если Р(х(у), у) = с. Таким образом, решения уравнения (6) — это функции у(х) или х(у), определяемые равенспюм Р(х, у) = с. Например, для рассмотренного в п. 2 уравнения уах+хау=О имеем Р(х, у) = ху, и решения уравнения — функции у(х) или х(у), определяемые формулой ху = с.
Пример решения уравнения изложенным методом см. [12[, 56, п.1. ! Задачи для упражнений; [12), $ б, В 18б-194. Интегрирующим множителем для данного уравнения вида (6) называется функция гв(х, у), после умножения на которую данное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах. Задача отыскания интегрирующего множителя в общем случае столь же трудная, как и задача решения данного уравнения.
О приемах, позволяющих в некоторых случаях отыскать такой множитель, см. [9], гл.2, 8 3, п. 3 и [12[, 56, п.2. Иногда в записи данного дифференциального уравнения можно выделить такую функцию ~р(х, у), которая входит в уравнение несколько раз, например, входит и р(х, у), и дифференци- Глава 2. Дифференциальные уравнения и их решения ал И(р(х, р). Тогда в уравнении можно сделать замену 1з(х, р) = я, при этом одну нз старых переменных х и р надо выразить через другую и через х. В ряде случаев зто позволяет упростить или решить уравнение.
Примеры см. [12], 96, п.3. ! Задачи для упражнений [12], з б, гй 195-220. ° а» [] 7. Рассмотренные выше типы уравнений не охватмвают всех уравнений вида р' = 7(х, р), решаемых элементарными методами. Много уравнений, допускающих элементарные решения, имеется в справочнике [29], часть 3, глава 1. Большинство из них или принадлежит к рассмотренным выше типам уравнений, илн сводится к ним заменами переменных. Однако произвольно написанное уравнение вила р' = У(х, р) > если оно не нз самых простых, чаще всего не удается решить с помощью элементарных приемов.
Лиувилль показал, что даже среди простых уравнений имеются такие, как например р' = уз + х, ни одно решение которых не выражается через элементарные функции с помощью конечного числа элементарных действий и операций взятия неопределенного интеграла. Современные вычислительные машинм позюляют вычислить решение конкретного уравнения с большой точностью. Но прежде, чем их применять, надо знать, что решение существует, и знать те свойства решений, которые надо учитывать при вычислениях на машине.
° $еааа»»»»»и 5 3. Методы понижения порядка уравнений Для линейных уравнений высших порядков методы решения рассматриваются в 5 10 н 511, для линейных систем — в 5 14. $ 3. Мепюды понижения нарядна уравнений Для некоторых классов нелинейных уравнений применяются методы понижения порядка, позволяющие упросппь уравнение, а в некоторых случаях — решить его. Ниже рассматриваются основные классы уравнений, допускающих понижение порядка.
Я В уравнение не входит искомая функция (и, возможно, также ее производные до некоторого порядка). Уравнение имеет вид Р'(х, р(в),..., Р(")) = 0 (и > )) > 1). Тогда за новую искомую функцию я(х) берем низшую из производных, входящих в уравнение, то есп р(~» = я. Тогда Порядок уравнения понижается на й единиц. 2. В уравнение не входит явно независимое переменное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
