Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда для любого начального условия х(Со) = во, (Со, ао) Е 13 при С > Со может существовать не более одного решения (точнее, любые два решения совпадают на общей части их интервалов существования при С > Со). в б. Продолжение решений ф б. Продолжение решений В В 5 было доказано сущеспювание решения на некотором отрезке. Здесь показывается, что решение, вообще говоря, можно продолжить на существенно больший отрезок или интервал. [Я Теорема 4 (е а должеиии решения в замкнутой ограниченной области). ь вектор-функция у(1, х) удовлетворяет условиям тео ем с в замкнутой ограниченной области Р С Гс"+'.
уогда любое решение х($) уравнения х' = у($,х), проходящее внутри области Р, можно продолжить в обе стороны до вьиода на границу Г области Р, пю есть продолжить на такой отрезок [а, Ь], что точки (а,х(а)) и (Ь,х(Ь)) лежат на Г.
Доказтпельство. Найдется такое гп, что ~У(Ф, х)] < и» в Р. По теореме 2 решение, проходящее через точку Ро(1о хо) внутри Р, существует на отрезке го = [1о — ао,4е+ бе], Ие = ге/~/шь +1, ге —— р(Ре, Г) — расстояние от точки Ре до Г. Положим ее+ йе — — снх(ФД = х„Р— точка ($н х»). Если точка Р1 внутри Р, то беря ее за начальную точку, по теореме 2 получаем, что решение х, проходящее через точку Р~, существует на отрезке 1~ — — [с» — Иы $~ + й~], 4 = г~/~/т»+1, т1 — — р(РнГ). Так как х($~) = х~ — — х(Ф»), то решения х и х совпадают там, где они оба определены.
Значит, функция, равная х(1) на 1е и х(4) на »1, является решением — продолжением решения х(1) на отрезок [се-'ее, $~ + й1]. Обозначим ее снова х($). Затем берем точку Р» —— (1», х»), где $» = $~+й», х» = х®, за начальную, продолжаем решение дальше, и т.д.
Глава 2. Гуществование и общие свойства решений Возможны два случая: или после конечного числа таких шагов решение будет продолжено до точки на Г, что и требовалось, или получим последовательность точек Рь(га, ха), й = 1, 2, 3,..., где га $а+1 =$а+Иа. ба= ° ге =р(Рь Г) >О. (29) ~/ ы+1' Область Р ограничена, поэтому числа Ьь ограничены и существует 1пп $а — — Ь. Решение х(1) продолжалось на каждый а-кю отрезок [аь $а+~], значит, оно продолжено на их объединение [$а, Ь). Так как ]х'(1)] = ]7($, х($))] < п1, то в силу (3) для любых а, )3 Е (Ь- б, Ь) имеем ]х()3) -х(а)] < гп!ф-а] < гяб.
Поэтому в силу критерия сходимости Коши существует !ш1 х(б) = х'. Полагаем х(Ь) = х*, тогда функция х($) г ь-а непрерывна на [ба, Ь] и точки РЬ(4,ха) -+ Р'(Ь, х(д)) при й -+ оо. Покажем, что Р* Е Г. Так как $ь+~ — — $~ + б~ + бз + ... +ба -+ Ь при й — оо,то ряд б, +Из+... сходится и ба — О при й -ч оо. В силу (29) р(Рь, Г) ~ О. Если бы Р' и Г, то при некотором е > О Г лежала бы вне шара Ям(Р*) с центром Р' и радиусом 2е. Но Ра — Р', поэтому при й > й~, точки Ра лежат в шаре Я,(Р"), значит, удалены от Г на расстояние, не меньшее в.
Это противоречит тому, что р(Ра, Г) -+ О при й -+ оо. Значит, предположение Р' и Г неверно, и Р* Е Г. То есть решение х($) продолжено вправо до границы Г области Р. Функция х(1) — решение задачи (11) при $а < $ < Ь, значит, она удовлетворяет интегральному уравнению (12) при этих $, а так как она непрерывна, то и на отрезке [$а, Ь]. Тогда по лемме 3 она имеет левую производную $ б. Продолжение решенид х'„„(Ь) = з(Ь, х(Ь)), то есть удовлетворяет уравнению (11) при се < $ ( (Ь. При Ф < Фе решение продолжается аналогично.
° Следствие. Пусть Р— такая замкнутал неограниченная область пространства $,х, что при любьи с и Н часть Рмг области Р, где с < Ф ( д, ограничена. Пусть уравнение х' = у(8, х) в Р удовлетворяет условиям теоремы 2. 7огда решение х(1), проходящее через произвольную п'ючку (сп хг) внутри Р, продолжается в каждую сторону или до выхода на границу области Р, или до сколь угодно больших Щ. Доказательство. Возьмем такие с и б; (1 = 1,2,...), что с < $~ < 4 < Нз < ...
-+ со. Для любого ь по теореме 4 решение можно продолжить в обе стороны до точек (а, х(а) ) и (Ьн х(Ь~)), лежащих на границе области Р ~. Если Ьг «Ц при некотором т, то точка (Ьнх(Ь;)) лежит на границе области Р. Если же для каждого 1 имеем Ь; = б;, то решение продолжается вправо до сколь угодно больших х, Аналогично продолжаем решение влево. Пример 1. Доказать, что любое решение уравнения х' = 1 Ф~ — х продолжается вправо до сколь угодно больших Ф. ! 1 Решение примера.
уравнение удовлетворяет условиям теоремы 2, так как функции у = 1~ — хз и ~' = -Зхз непрерывны при всех с,х. Глава 2. Еущеопвованнв и общие свойапва решеноб В области х > $ решения только убывают (там х' = Ф~ — х < О), позтону они достигают прямой х = Ф м переходят в область х < $. В области х < з все решения только возрастают (там х' = Ф вЂ” х > О).
Пусть (8г, х!) — точка на графике решез з ния. При М > с! решение остается в области Э (х! — 1 < х < Ф), не выходя на ее границы (мешает поле направлений, сн. рис. 5). В силу следствия теоремы 4 решение продолжается вправо до сколь угодно больших т. Условия непрерывности /(г, х) и ее производных во всем пространстве т, х недостаточны для пр!зколжимости решений уравнения х' = 7($, х) на бесконечный интервал -оо < Ф < оо нли се < 4 < оо. Рис. 5 Пример 2. Уравнение х'=х +1 имеет решения х=!В(с+с), ! ! ! число е произвольно. Каждое решение существует только ! на интервале длины !г и при приближении к его концам ! ! ! стремится к -оо или к +оо. Такие решения не могут быть ! продолжены. ! ВО в 6. Продолжение решений Докозапельопео.
Покажем, что для любого отрезка [аг, Я С (а,б) любое решение х(1), заданное при $ = ке Е (аг, гбг), можно продолжить на весь отрезок' [аг,,бг]. На этом отрезке имеем ]о(Ф)] < й, ]Ь(Ф)] < гп, поэтому ]х] =]У(й,х)[< х]х]+пг. Возьмем о = ]х(йс)] и В, равное максимуму правой части в (10) на отрезке [аг,Д]. По теореме 4 решение можно продолжить в обе стороны до выхода на границу цилиндра В (аг < 8 < гбг, ]х] < Л+ 1).
По лемме 2 из неравенства ]х'] < х]х] + пг следует, что [х(Ф)] < В на той части отрезка [аг, Д], где существует решение. Поэтому решение х(1) не может выйти на боковую поверхность ]х] = В+ 1 цилиндра Я. Тогда оно продаижается до выхода на оба основания цилиндра, то есть на весь отрезок [аг, Д]. Возьмем последовательности аг > аз > аз > ... -+ а и рг < рз < д < ... — )у. Из доказанного следует, что решение х(г) можно продолжить на отрезок [аг, Вг], затем на [аз, Я и т.д. Тогда решение будет продолжено на обьединение этих отрезков, то есть на весь интервал (а, )у).
° [] 3. Известны также односторсннне оценки, прн наличии которых Решение неограниченно продолжается в сторону возрастания $. Например, если вектоР-фУнкциЯ 7(Ф, а) прн Ф > гь Удовлствордет Условию в ° У(г,х) < о(г)[х]~+ Ь(Ф), о(1) н Ь(Ф) непрерывны, то двя любого '51 Глава Я. Существование и общие свойство решений решения х(г) прн г > ге — [х(г)[з = — (х ° х) = 1х ° х' = 1х ° у(Г, х) < 2в(Г)[х[' +?~(г). ох Ф На любом отрезке [ге, Г~] для функции г(г) = [х(Г)[з имеем г' < хе+ пв при некоторых й н яз.
Тогда, как в теореме 5, доказывается продолжимость решения х(г) на интервал [Ь, со). Вместо функции [х(г)[з можно оценивать рост какой-либо другой функции р(г,х(г)), подбираемой в зависимости от свойств функции у(г, х), н получать подобные результаты. Разработан метод [35[ одновременного использования нескольких функций р;(Г, х) вместо одной функции Р(Ф, х). г Такого рода методм позволяют не только устанавливать продолжимость решений, но и получать оценки решения х(г) с помощью оценок функции у(г, х). 5 7. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части уравнения и 52 д 7. Непрерывная зависиносаь решения ов начальных условий [уе — хе! < б, решение у($) иожегп дыгпь продолжено на 1 и )у(Ф) — р(Ф) [ < е на 1.
Доназательсгпво. В ограниченной замкнутой области У имеем [з($, х)[ < гя, [Щ/дху[ < 1 (1,7' = 1,..., и). Тогда для любых точек ($, х), (Ф, у) б У выполняется неравенство (8), где й = и!. Из (8) и неравенства [1($, у)-у(1, у)[ < б следует, что для решений и = р($) и у($) на отрезке 1~ С 1, пока график у(с) проходит в У, имеем [х' — у'[ = [~(Ф, х) — у(Ф, у) [ < й[х — у[+ б. Пусть х(1) = р(1) — у(Ф).
Тогда !я(Фе)[ < д, [в'! < Щ + д на отрезке 1, В силу (10) имеем на 1 [гр(1) — у(Ю)[ = [я(1) [ ~ ~бе '+ в = шах(си — 1о. Фе — ' 1 ); в случае Й = 0 дробь (е ' — 1)/й заменяется на в. Возьмем любое е > О, е~ — — пцп(р,е) и такое б > О, чтобы правая часть неравенства (31) была меньше е~. Тогда решение у($) с [уе-хе[ < б при $ = $е (или при $, близких к $е) проходит внутри трубки Т (1 Е 1~, [х — ~р(с)[ < е~); Т С У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
