Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 4
Текст из файла (страница 4)
УравП пенне имеет вид Р(д,д',д",...,д(")) =0. Тогда берем за новую искомую функцию р' = р, а за независимое переменное р. Пересчитываем производные: Ф ф Ъ И Ф ! / Рв Р Р Рве Р* Ре Рв Рв Р Чтобы заменить р,, надо продифференцировать по х выраже(н) ние р, через р, р„,..., р„. Для этого надо его продиффе(ь-О (ь-е) ренцировать по р и затем умножить на р,', то есть на р. Получим выражение р, через р, Р„,..., Р„. Порядок уравнения пони(ь) к (ь-О зится на единицу.
См. пример в 112], 5 10, п.2. ! Задачи дяя упражнений (12), $10, В 421-450. 23 Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения 3. Уравнение однородно относительно искомой функции у П и ее производных, то есть не меняется, если каждую из этих величин умножить на одно и то же число й > О. Тогда делаем замену у' = ул, где х = л(х) — новая искомая функция. Производные заменяются по формулам я г г г г 2 у =ул. у =(ух) =ух+у =ух+ух Здесь все производные берутся по х.
Выражение для каждой производной у(ьг получается путем дифференцирования выражения для у(~ О и замены у' на ул. После пгщстановки этих выражений в уравнение производится сокращение на у и получается уравнение порядка и — 1 относительно л. Задачи длл улршнненийг (12], з 10, 'гй бб3-472. ю а» П 4. Уравнение однородно в обобщенном смысле, то есть не меняется от замены х на йх, у на й у, й — число.
При этом у' ге гту/гТх заменяется на й 'у', у" — на й' 'у" и т.д. Чтобы узнать, обладает ли данное уравнение этим свойспюм, и найти число о, надо приравнять друг другу показатели степеней, в которых будет входить й в каждый член уравнения после указанной замены. Если найдется такое а, при котором все эти показатели равны, то делаем замену переменных * = е' (при х > 0), у = яе, где х = х(г).
Получаем уравнение, не содержащее явно независимого переменного $. Порядок такого уравнения понижается одним из предыдущих способов. Пример 4. Понизить порядок уравнения ху" — хуу' = уз — 2у'. г 3 Решение примера. Пусгь х умножается на й, у — на й', у~ — на й у" — на й' ~. Тогда я уравнении член ху" уиножается ня й йЗ. Методы понижения порядка уравнений член хуу' — на й', уз — на й', 2у' — на й' '. Приравнивая показатели степеней буквы й, получаем а — 1 = 2а, о = -1. Делаем заиену и = е', у = «е ', « = «(1).
Тогда г -г Ы р,= — = =е" (« -«). и, 'е' Обозначая зто выражение через А, находим А~~ е и(«" - «') — 2е"и(«' — «) иг =е "(«"-3«'+2«). Подставляя зто в данное уравнение, получаем е и(«" — 3«'+2«) — е""«(«'-«) = е""«з — 2е "(«' — «), « — «' — «« =О. и г г В уравнение не входит независимое переменное Ф. Порядок понижается как в п.
2, то есть заменой «' = р(«), «" = р'р. Получаем р'р-р-«р = О, р(р' — « — 1) = О. Найдя решение зтого уравнения и перейдя от новых переменных к старым, получим решение исходного уравнения. < Задачи для упраклений: [121, $10, за 473-480. 1 1 г Пример 5. Дано уравнение рр" = (рг)~. 1 5.
Порядок уравнения легко понижается, если обе части урав- П пения являются полными производными от некоторых функций. Например, уравнение рн = хрг+ р можно записать в виде (р')' = (хр)'. Производные двух функций равны, значит, эти функции могут отличаться 'только на постоянную: рг = хр+ с. Порядок уравнения понижен. Чаще бывает, что уравнение надо преобразовать, прежде чем обе части уравнения станут полными производными. Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения Решение примера.
Деля обе части иа уу', получаем — — (1п !у'!)' = (1и !у!)', у у !и!у'! =!и !у!+ 1п !с~, у' = су. $ 1 ! Пример б. Дано уравнение х~у» = 2уу' — 2ху'. ь Решение примера. Перенося 2ху' влево, получаеи х у" +2ху'=2уу', (х у')'=(у)', х у'=уз+с < ! Задачи длл упражнений: 112).
$10, 1й 455-462. ° евваве а~ В Щ, гл. 4, б 4, приведено принадлежащее Эйлеру необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение я (х, у, у',..., уве) было полной производной по я от некоторой функции, и пример отыскания этой функции для понижения порядка уравнения Р(х, у, у',..., уео) = О. О понижении порядка системы дифференциальных уравнений с помощью отыскания интегрируемых комбинаций и первых иитсгралов см. (12), В19 или !9), гл.7, В5.
ГЛАВА Существование и общие свойства решений В этой главе рассматриваются общие свойства решений дифференциальных уравнений и их систем, не зависящие от конкретного вида функций, входящих в дифференциальные уравнения. 54. Нормальный вид системы дифференциальных уравнений и ее векторная запись 1. Системой нормального види называется система П в — = Д(Ф, х~,..., х„), з = 1,..., в.
() В такой системе число уравнений равно числу искомых функций х;($) (з = 1,..., и). В левой части каждого уравнения системы Глава Я. существование и общие свойство решений стоит первая производная одной из искомых функций, в правых частях производных нет. Одно уравнение ах/ас = Г($, х) является частным случаем такой системы. К таким системам сводятся дифференциальные уравнения и-го порядка р'"1 = у(1,р,р',",р'" "), (подробнее об этом см. 3 5, п. 3), многие более сложные системы и системы, возникающие в механике, физике, технике.
Для исследования общих свойств такой системы удобно использовать векторные обозначения Тогда система записывается в виде одного векторного уравнения — = у($,х). ах ас (2) Эта запись позволяет доказывать многие теоремы для системы (1) почти так же коротко, как для одного уравнения. Необходимые для этого свойства вектор-функций изложены в п.2. Решение системы (1) есть совокупность в функций х~($),..., х„($), определенная на некотором интервале (или отрезке) и удовлетворяющая системе.
График каждого решенйя есть линия в (и+1)-мерном пространстве с координатами $, хн..., х„. В каждой ее точке угловые коэффициенты касательной к этой линии в силу (1) равны ~1($,хн...,х„),...,Г„(3,хн...,х„). Таким образом, система (1) определяет поле направлений (направлений с этими угловыми коэффициентами) в пространстве $, хн..., х„ или в той области этого пространства, где определены функции ~м...,~„, а решение системы изображается линией, которая в каждой своей точке касается направления, заданного в этой точке. 28 е 4. Нормальный вид системы и векторная запись Система (1), как и одно дифференциальное уравнение, вообще пиюря, имеет много решений.
Поэтому для выделения единственного решения надо задавать помимо системы также начальные усяавия хь(йо) = х|о, хя(ьо) = хчо для (1) или х(Фо) = хо лля (2). Задача отыскания решения данного уравнения или системы с такими начальными условиями называется начальной задачей, задачей с начальными условиями или задачей йнии. Д2. Свойства вектер-функций. В формулах п. 2 буквы у, й, х, р, а означают векторы из Ж", а другие буквы означают числа, если, не сказано иначе.
Из линейной алгебры известны следующие действия с векторами: х+ р, х — р, ар, х ° р = х~р~ +... + х„р„— скалярное ~з~~~. ~ ~ = ~/*Г+...+4 — ю~ю (~~ ~ел )-~- тора. Известно, что 1х+р~ < ~х~+~р~ (неравенспютреугольника), ~х р1 < ~х! 1р1, то есть Ма~+" +х.рь! < [(х1+".+х'.)(р(+" +рч)] у (неравенспю Коши). )к Для векторов с комплексными координатами 1х1 = в неравенстве Коши все х~ и р~~ заменяются на ~х~~~ и ~р;~~; х р = х1р1+... +х„р„(числа хг комплексно сопряженные с х~). Можно дать два равносильных определения предельного перехода для вектор-функции х($) = (х~(г),..., х„(г)): а) Вш х(Ф) = хо, если Че ) О 36 ) О такое, по ч'$, 1Ф вЂ” а! < й =ь! х(ь) — хо~ < е; б) оп х(о) = (хиь..., х„о), где хм — — 1пп хг(1), о = 1,..., и.
ь-+в ь-еь Глава к. существование и общие свойапво решений Равносильность этих определений следует из того, что длина вектора х($) — хо стремится к нулю тогда и только тогда, когда каждая его координата стремится к нулю. Аналогично, определения производной вектор-функции как предела выражения (х(Ф+ Л) — х(с))/Л при Л -+ 0 и определенного интеграла как предела интегральной суммы равносильны покоординатным определениям. Многие свойства производных и интегралов сохраняются для вектор-функций и легко доказываются с помощью покоординатного определения.
Однако теоремы о существовании промежуточной точки (теорема Ролла, теорема Лагранжа о конечном приращении, теорема о среднем для интеграла) не обобщаются на вектор-функции. Например, для вектор-функции х(Ф) = (1 — соз $, з1п $) имеем х(0) = х(2х) = (О, 0), но не существует такой точки Ф Е (О, 2а), что х'(1) = (О, 0), так как Вместо этих теорем для вектор-функций будем пользоваться оценками. Оленка интеграла. Если вектор-функция у($) непрерывна на [а, Ь], то р(1) йз < !р(Ь)! йЬ.
Доказательство. Пусть а ( Ь. Интеграл от р(с) есть предел интегральной суммы 2; р(с;)(Ц вЂ” 1г ~). От замены р(Ф;) на ~р(Ц)1 модуль суммы не уменьшается и получается интегральная сумма для функции 1р(с)! по отрезку [а, Ь]. В пределе при шах(с; — 1; ~) -+ 0 получается интеграл от ~р(Ь)~. Случай а > Ь сводится к доказанному. 30 Я 4. Нормальный вид сися!емы и веки!орнпя зались Оценка приращения вектор-функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
