Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Так как в каждой точке особого решения нарушается единстжнность, то особое решение, если оно есть, содержится в дискриминантной кривой. Поэтому для отыскания особого решения уравнения Р(х,у,у') = О (с функцией Р класса С') сначала надо найти дискриминантную кривую.
Но она не всегда является особым решением, даже если является решением, см. пример 5. Поэтому каждую ветвь дискриминантной кривой надо проверить: 1) является ли она решением, то есть удовлетворяет ли она данному уравнению; 2) касаются ли ее в каждой точке другие решения. Если на оба вопроса ответы положительные, то рассматриваемая ветвь является особым решением. Проверка того, касаются ли две кривые у = р(х) и у = 1Р(х), проводится с помошью условия касания: кривые касаются друг друга в некоторой точке, если в этой точке р(х) = 1в( ') р (х) = Ф (х).
(41) б2 3 д. Уравнения, не разрешенные ошносишеяьно производной ! Задачи дяя упракнений: (12], $8, В 241-286. Огибающая. Понятие особого решения связано с известным из дифференциальной геометрии понятием огибающей. Огибаюи~ей семейства кривых 1в(х, у, с) = О называется кривая К, в каждой своей точке касающаяся кривой семейства, отличной от кривой Х в любой окрестности этой точки.
Доказхпеяьспво. Пусть линия у = 4 (х) — особое решение. Тогда в каждой своей точке она касается другого решения. Следовательно, эта линия — огибающая семейства решений. Пусть линия у = 1й(х) — огибающая семейства решений. Тогда в каждой своей точке (х, у) она касается какого- либо решения. Значит, в этой точке числа х, у, у' для линии у = т~(х) те же, что для этого решения. Но решение удовлапюряет уравнению Р(х, у, у') = О, поэтому и огибающая тоже удовлетворяет этому уравнению в точке (х, у).
Эта точка — произвольная на огибающей, значит, огибающая есть решение уравнения. Это решение в каждой своей точке касается другого решения, следовательно, является особым. ° Для отыскания огибающей семейства линий р(х, у, с) = 0 (у Е С'), как известно из дифференциальной геометрии, надо исключить с из уравнений у(х,у,с)=О, =О, дгр(х, у, с) дс 63 Глава Я. Сущеаввование и общие свойплва решениб и проверить, касается ли полученная линия в каждой своей точке какой-либо линии семейства (например, с помощью условия касания (41)). ! улр [12], $8, В29У а-г. ~ЗД Методы ревмиия уравнений вида л.(х, у, у') = О.
А. Разрешить уравнение относительно у', то есть из данного уравнения выразить у' через х и у. Получается одно или несколько уравне(вий вида у' = /(х,у). Каждое из них надо решить. Этим методом решались уравнения в примерах 4-6. Б. Метод введения параметра. Он позволяет свести уравнение л.(х, у, у') = О к уравнению, разрешенному относительно производной. Излагаемый ниже простейший вариант этого метода применим в случае, когда уравнение Р(х, у, у') = О удается разрешить относительно у или относительно х, то есть записать в виде у = /(х,у') или в виде х = /(у,у'). В уравнение у = /(х, у') вводим параметр р = ду/бх и получаем у = /(х,р). (42) Берем полный дифференциал от обеих частей равенства и, чтобы исключить у, заменяем бу на р бх (так как р = бу/йю). бу = /,' бх+ ~' Нр; р Нх = /,' Нх+ ~', бр. Последнее уравнение можно разрешить относительно бх/бр или относительно бр/Нх. Если решение этого уравнения найдено в виде х = у(р), то, подставляя это в (42), получаем решение исходного уравнения в параметрической записи: х = Р(р), у = У(1о(р).
Р) Эгим же методом решаются уравнения вида х = у(у, у'). в В. Уравнения, не Разрешенные относиглельно производной 1 ! 1 Пример 7. Решить уравнение у = ху'+ (у')~. т Решение примера. Вводя параметр р = у', получаем у =хр+р. (43) Берем полный дифференциал от обеих частей равенства. Получа- . еи ну=ртЬ+хпр+2рйр. Так как му=рох,то имеем рйх = р йх+ хор+ 2р Мр; (х+ 2р) г(р = О, Надо рассмотреть два случая: х+ 2р = О или пр = О. Если х+2р = О, то х = -2р. у Подставляя это в (43), получаеи решение в параметрическом вмде: х = -2р, у = -рз. Исключая р, имеем у = -хз/4.
Если пр=й,тор=с с=О (произвольная постоянная). Под- О, х ставляя в (43), получаем решение у = сх+ ст — семейство непа- % раллельных прямых (для каждой прямой угловой козффицнент с— свой). Исследуем, является ли решение у = -хз/4 особым. Пишеи для решений у = -хз/4 и Рис. 9 у = сх+ сз условия касания (41): — — =сх+~ -- =с 4 2 ~1 Подставляя с = -х/2 в первое равенство, получаеи -х~/4 = -хз/2+ха/4 — тождество. Значит, решение у = -хз/4 в каждой 65 Глава 2. Существование и общие свайопва решений точке х касается одного нз решений р = ох+ от.
Следовательно, решение р = -х~/4 — особое (рнс. 9). ° а» Другие варианты метода введения параметра нзложены в [9), гл.3, 92 пример 5 н $3, и. 1 — введение двух параметров; также [13], гл. 1, 98 [2], гл. 1, $7. Уравнения Клеро имеют вид р = хр'+ Ф(р') Они решаются методом введения параметра. Этому классу принадлежит уравнение примера 7. Обшее решение уравнения Клеро — семейство непараллельных прямых. Если функция 19 б С и нелинейна, то уравнение Клеро имеет особое решение — кривую, которой касаются эти прямые.
Если же функция 38 линейна, то прямые проходят через одну точку и особого решения нет. ! Задачи для упражнений: [12], $8, В267-296. ° ь» [ ] 4. В общем случае днскрнмннантная кривая разбивает плоскость а, у на области. В такой области выполняются условия следствия моремы 8 н через каждую точку проходит одно н то же число решений. Расположение решений вблизи днскрнмннвнтной кривой может быть различным. Известно ([18], гл. 1, $4), что типичным является случай, когда днскрнмннантная кривая состоит нз точек возврата интегральных кривых, как на рнс.8. Кроме того, на днскрнмннантной кривой могут быть особые точки, вблизи которых интегральные кривые ндуг иначе, чем вблизи других точек днскрнмннантной крнвой, см.
[19), гл. 1, 97. Пгубокне исследования таких особенностей провел А.А. Давыдов. ° а Ф ГЛАВА Линейные дифференциальные уравнения и системы Изучение линейных дифференциальных уравнений составляет отдельное теоретическое направление потому, что они обладают рядом свойств, позволяющих глубже их изучить. Основное свойство состоит в том, что осе решении линейного уравнения или системы выражаются через конечное число решений.
$9. Свойства линейных систем П 1. Рассмотрим линейную систему нормального вида — '=вп(~) +" + в(Е)*.+Л(0* '= 1* "л .(1) или, в векторной записи, 67 Глава у. Линейные дифференциальные уравнения и сиопемы хв У" (2) ац(с) ... аы($) А($) = ° ° """"" ° ° а„|(с) ... а„„(Ф) Всегда предполагается, что на рассматриваемом конечном или бесконечном интервале а ( $ ( ф функции ау($) и ~~($) непрерывны, ау(с) вещественны. Так как в главе 3 иногда будут раосматриваться комплексные решения, в частности, содержащие функции е ', то необходимо распространить некоторые теоремы главы 2 на линейные системы с комплексными решениями. Лемма 1.
если матрица А($) вещественная, то а) вещественная и мнимая части любого комплексного решения системы х' = А($)х являются вещественными решениями этой системы; 6) вещественная и мнимая части решения х = и+ ее системы (2) с У(1) = у($) + ьй($) (у и й вещественны) являются решениями систем в' = А(й)в+ у(Ю), и' = А(Ф)и+ й(г); (3) в) обратно, если и и и — решения систем (3), то х = в+зев решение системы (2) с 1(с) = у(с) + ьй(с). Доказхпельство. Докажем б).
Пусть функции н, о, у, й вещественны и (в + ьи)' = А($)(н + М) + у($) + ьй($). 68 я 9. ~вобовва линейных систем Отделяя вещественную и мнимую части, получаем (3). При 9 е— в Ь ев О из утверждения б) следует а). Умножая на ~ второе уравнение в (3) и складывая с первым, получаем в). Долазавельстаа. Если хе и у($) вещественны, то по теореме 2 95 задача х' = А(й)х+ У(й), х(йо) = хо. (4) имеет единственное решение. Так как функции а(й) = ЦА(е) Ц и Ь(Ф) = 1~(Ф)~ непрерывны и !А(й)х+~(й)~ < аЯ~х1+ЬЯ, то по теореме 5 96 каждое вещественное решение системы (4) продолжается на интервал (а, ф).
Если же хе — — яе + 1ее, 7($) = 9($) + Ю($), то, по доказанному, системы (3) с и($о) = ие и($е) = ео имеют решения на интервале (а,,б). Тогда х = и+ Ы при а < Ф < ф— решение задачи (4). Если 9 = и'+ Ы' — другое решение этой задачи, то и — в' н и — е' — вещественные решения задачи х' = А($)х, х(йе) = О. Но х(Ь) ев О тоже решение, а других вещественных решений нет по теореме 1 З 9. Значит и — и' вв и.— и' вв О, и решение х = и+ 1и единственно. В главе 3 всегда будем считать, что все решения продолжены на весь интервал а < $ < ~б.
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и саопены [2Д Общие свойства линейных уравнений и систем. Система (1) или (2) называется линейной однородной, если вся 7!($) щ О, и линейной неоднородной в противном случае. В системе (2) перенесем А(г)х влево и запишем эту систему в виде Ьх = 7. Здесь 7 и х — элементы линейного пространства непрерывных (для х — непрерывно дифференцируемых) !!- мерных вектор-функций на интервале а ( Ф (,6, Ь вЂ” линейный оператор, то есть такой, что Ь(и +») = Ьи + 2» ~(7и) = 7~и для любых и и» из линейного пространства, на котором определен оператор Ь, и любого числа у.
Из этих свойств следует, что если х',...,хь — решения линейного однородного уравнения Ьх = О (верхний инлекс — номеР РешениЯ), 7!,..., 7ь — числа, то х + х, х — х, ! 2 ! 2 7,х +."+7ьх — тоже решения того же уравнения. Следовательно, множеспю решений линейного однородного уравнения (или системы) есть линейное пространство. Если же х',..., х — решения линейных неоднородных уравнений Ьх = Гг (ь = 1,..., Й), 7!,...,7ь — числа, то х = 7!х + ... +7Ьх — Решение УРавнениЯ Ьх =7!У + ... +7ьу .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
