Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если х(Ф) и у(Ф) = х'(й) непрерывны и 1х'(ь)! < т«, то в силу (3) (4) !х(ь) — х(а)! < 2«!ь — а1. До сих пор было безразлично, записывать ли векторы в виде строк или в виде столбцов. В формулах и рассуждениях, содержащих векторы вместе с матрицами, будем считать векторы столбцами, если не сказано иначе. х! Если А = (ау)!„т-!...,,, — матрица, х = ' — вектор, то хв у = Ах — вектор столбец с координатами у! = а«х!+... + анях„ (ь = 1,..., «). Тогда 1Ах! < !!А!! ° 1х1, где н х!/2 1!А!!= ~ ~~ь !а! 1 ), 1х! = !й=! (5) (числа ау и ху могут быть комплексными). Докозхпельапво. В силу неравенства Коши имеем 1у!!' < (1ап1'+" +1 и!')(1х!!'+ - + 1х.1') = = (1а«1 +...+ !а„1)1х1, л 1Ах! = 1у! < ~2, (1ач! +...
+ 1ася12)1х12 =11А112 ° 1х12. < й=! Число 1!А!! называется нормой матроны А. Другие известные нормы матрицы, кроме (5), в атой книге не используются. Пусть х(!) и 7(х) — векторы-столбцы, все х';(т) и дут/дху непрерывны. По правилу дифференцирования сложных функций 31 Глава 2. существование и общие своиапво решений от и переменных ~5(х(Е)) дЛ, дД ае дх~ дх„, ~ = — х1($) +... + — х'„($). Применяя эту формулу к каждой координате,Д вектора Г, получаем, что е!Г(х(8))/й — вектор-столбец с координатами (6). Следовательно, Ф(х(8)) = Ах'(Ф), где матрица А = ~ — ) . (7) ГдЛ~ Аа дху о~~,...,л 13) Условие Лиивщца.
Функция (или вектор-Функция) У($, х) удовлепюряет условию Лтшицо по х на множестве Р, если Ь~ существует такая постоянная й, по для каждых двух точек (с,х) Е Р, ($,у) Е Р имеем !~(й,х) у(а*у)! < й!х — у!. (8) (Область Р называется выпуклой по х, если для каждой. пары ее точек вида (в, х) и ($, х') соединяющий их отрезок содержится в Р.) Докозхпельсюво. Полагая в(в) = у+ в ° (х — у) и д(в)= у($,в(в)), получаем ! ~($, х) — Г($, у) = у(1) — у(0) = у'(в) Ав. (9) о 32 $4.
Нормальный вио сиопемы и векглорная запись Подобно (7) д(в) = Ах(в) = А(х — у), А= Ю /д~у 1 иху э'„Г=!,...е Когда в меняется от 0 до 1, то х(в) пробегает отрезок, соединяющий у н х; на этом отрезке $ = сопи. По условию, он содержится в Р. Значит, на нем ~Щ/Вх ~ < 1 (ь', з = 1,..., и), !Щ! < п1, [д'(в)~ < пЦи-у!, низ (9) следует(8) с й=п1. ° Доказательство. Пусть Фг Е1, Фг >ге, х(1г)~0, Если х(Ф)~0 на (гь,гг), то вгкгьмем Фз = Фе.
В противном случае Ф'— верхняя грань таких Ф б [Фе, Ц, что «(1) = О. Тоща х(Ф*) = О, иначе $' не было бы верхней гранью. В обоих случаях ~х(1')~ < те и при Ф* < 1 < Ф~ имеем х(Ф) ~ 0 и существует ььг=(,/*Г+...+ )'. Дифференцируя по $ обе части равенства ~4~ = х имеем 2ф ° ф' = 2« ° х' < 2ф ° ф. Сокращая на 2ф, получаем ~«Г < ~х'~, если х ~ О. Обозначая ~х(Ф)~ = т(Ф), имеем т(1') < те и т' = 1х[' < [ь'! < йт+ гп при й' < 1 < йг. В случае й = 0 отсюда следует требуемое неравенспю. В случае й > 0 для функции р(1) = е ~(тЯ+ пь/й) получаем р'(Ф) = е ы(т' — йт — пз) < О. Поэтому функция ср(Ф) ЗЗ Глава 2. Сущеапвование и общие свойовва решений не возрастает и у($Д < у($'), то есть е ' г($Д+ — < е г($') +— Так как г(3*) < ге. то г(р ) < е еь(п-а) + (еь(ь-г) )) в Число $~ Е 1 любое, большее 3в и $1 — $* < 3~ — $о, поэтому неравенспю (10) при любом $ Е 1, $ > 1е доказано.
Случай $ < $ц сводится к рассмотренному заменой $ на -$, 4е на -1е, тогда в формулировке леммы )в(1)! и ~$ -Фв! не меняются. ° 5 5. Существование и единственность решения В й 5 даются теорема единственности решения системы нормального вида с начальным условием х(1в) = хв и два доказательства сушеспювания решения: методом последовательных приближений (доказательство Пикара) и более короткое — путем перехода к уравнению с запаздыванием (вариант доказательства Тоннели). Достаточно прочитать любое из этих доказательств.
$5. Существование и единопвенность решения арочное, любые два решения втой задачи совпадают на общей части ик интервалов существования. Доказапельство. Предположим, что существуют два решения х($) и р($) задачи (И), х($е) = р(се), х($~) ~ р(Е~) при некотором $г > $ь. (Случай $~ < зь сводится к рассматриваемому заменой $ на -$.) Пусть л(1) = х(1) — р(1), а 1' — верхняя грань таких 1 б [еь, Юг1, при которых я(1) = О. Тогда я(Ф*) = О и л(1) ~ О для всех $ б ($',111 (иначе число $' не было бы верхней гранью).
Пусть Я вЂ” содержащийся в 22 шар (4 — 1*) + [х — х(Е*)[~ < Л~, Л > О. В этом шаре все дД/дхз непрерывны, значит, ограничены, и Функция 7 там удовлетворяет условию (8). Поэтому [в [ = [х — р [ = [у(с, х) — у(з, р)[ < Л[х — р[ = Щ. Тогда из леммы 2 следует х($) = О при $' < $ < 1~. Это противоречит предположению, что х(з,) зь р(1,). ° Д2. Лемма 3. Если функция у(1, х) непрерывна, то любое решение задачи (11) удовлетворяет интегральному уравнению ;ь ъъ У „ «ц4 м А х(1) = хе+ / у(в, х(в)) ав,, с (12) Ф'"ю6' и любое непрерывное но интервале (или отрезке) з ($е Е 2) решение уравнения (12) является решением задачи (11).
(Если Т вЂ” отрезок, то производные в его концак — односторонние.) 35 Глава 2. бущеопвование и общие свойства решений Доказтпельство. Пусть х($) — решение задачи (11). Интегрируя обе части равенства ах($)/а1 = /($,х(1)) от 1е до $, получаем, что интеграл в (12) равен х($) — х(ге). Но х($е) = хе, поэтому функция х($) удовлетворяет (12).
Пусть непрерывная функция х(1) удовлетворяет (12) на 1, ге Е 1. Тогда на 1 сложная функция /(в, х(в)) непрерывна, поэтому производная по $ от правой части (12), значит, и от левой, то есть от х(1), существует (односторонняя производная в концах отрезка 1) и равна /(Ф, х(1)). Следовательно, х(1) удовлетворяет уравнению (11).
Из (12) при Ф = Фе получаем х(се) = хь. Теорема 2 (е существовании и единственности решения). Пусть в облаапи Р С В"+' векторчфункиил /($, х) и ее производные ОЦдхэ (ь, з = 1,..., и) непрерывны. Гогда длл любой точки (Фе, хе) Е Р задача (11) имеет единственное решение на отрезке 1[1ь — а' < 1 < Фь + й], где й = г/1/шз + 1 > О, г таково, что шар П((1 — зо) +!х — хо! ~в ) содержитсл в Р; зп = шах Щ в Я.
По теореме 1 может существовать не более одного решения задачи (11), а' согласно лемме 3 достаточно доказать сущеспювание непрерывного решения интегрального уравнения (12). Приведем два из многих известных способов доказательства ЭТОГО. Доказапельство Пикара ([9), гл. 2, $1, гл.4, $1 или [б], б 14). Построим последовательные приближения х" (1) (р = О, 1, 2,... 36 з 5. Сущеппеование и едино пвенноопь решения — номер приближения) к решению уравнения (12). Возьмем х (8) вахе, (16) ЗУ х~(х) хо+ / 1(в хв (в)) ив р г (13) $е Покажем, что на отрезке 1 все приближения хв($) определены, непрерывны и ф'(1) — хе~ < пм1.
Для хе(Ф) это верно. Предположим, что функция хв '(1) на 1 определена, непрерывна и 1хв '($) — хе~ < пм1. Тогда при в Е 1 точка (в, х' '(в)) Е Я, в (13) функция 1(в, х(в)) определена, непрерывна и ~У(в, хв '(в))~ < тп. Значит, при $ Е 1 интеграл в (13) — непрерывная функция от $, по модулю не превосходящая шд. Поэтому на 1 функция хв($) определена, непрерывна и ~хв(1) — хе! » <пм1. По индукции это верно для всех р = 1,2,3,.... Покажем, что последовательность хв($) (р = О, 1, 2, ...) равномерно сходится на Е.
Это равносильно равномерной сходимости ряда х (Ф) + (х'(1) — х (1)) + (х (1) — х'(Ф)) +..., (14) так как его частные суммы являются функциями х (1), х'(1), х~($),.... Оценим по индукции члены ряда на отрезке 1. Из (13) получаем согласно (4) ~х (Ф) — х (Ф)1 < пг~Ф вЂ” Фе~. (15) Покажем, что на 1 при некотором я для любого р > О ~хе+~(1) — хв(1)1 < Для р = О это доказано в (15). Пусть это верно для р = о — 1. Докажем, что это верно и для р = о.
Напишем равенство (13) Глава 2. Существование и общие свойство решений для р = о и для р = а+ 1 и вычтем нз второго равенства первое. Получим Для всех р точки ($, хя(Ф)) Е Я при Ф Е 1. В Я все дД/дху непрерывны, значит, ограничены, н по лемме 1 функция 1 в Я удовлетворяет условию Липшица (8). Поэтому в (17) !1(в, хе(в)) — 1(в, хе (в)) ! < пзИ!в — Фе!е < 7г!хе(в) — хе ~(в)! <, .
(18) 81 Последнее неравенство вытекает из (16) при р = и — 1. Подынтегральная функция в (17) имеет оценку (18), поэтому в силу(3) при $ Е1 )~ г ) /~ и! воя $ ~"1а м» ч1 ! (ч+ 1)! Значит, неравенство (16) верно и при р = и. По индукции оно верно для всех р = О, 1, 2.... Таким образом, члены ряда (14), кроме первого члена, при !$ — 1е! < а по модулю не больше членов числового ряда во + а~ + аз + ..., где а ~~ — — гп8вбР+~/(р+ 1)!. Каждая координата и~я~~($) вектора х"+'($) — хв(1) не больше его длины, поэтому тоже имеет оценку (16), то есть 38 Я 5. бущеапвовоние и единаввенноовь решения Ряд 2; а +1 сходится по признаку Даламбера, так как ар+~ .
Йа 1пп — = !пп — = О ( 1. р ОО ар р ОО р+ 1 Следовательно, для каждого е ряд во+ и,'+ и1+ ... из 1-х координат ряда (14) сходится абсолютно и равномерно на отрезке 1 по признаку Вейерштрасса. А так как члены ряда — непрерывные функции, то его сумма — тоже. Значит, и векторный ряд (14) на отрезке я равномерно сходится к непрерывной вектор-функции, которую обозначим я($).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
