Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 8
Текст из файла (страница 8)
По теореме 4 решение у(с) может быть продолжено до выхода на границу трубки Т. Если бы оно вышло на боковую границу трубки, то в точке выхода было бы [у($) — 1рф[ = е~ в противоречии с тем, что правая часть (31) меньше е~. Значит, решение у($) выходит из трубки только на ее концах 1 = с. и $ = $~, и при всех Ф б [с.,Ц удовлетворяет неравенству (31), правая часть которого меньше е~ < е. ° 53 Глава Я. Существование и общие свойства решений ~2Д Рассмотрим задачу с параметром р б М (М вЂ” область в Й~) *' = у(Ф,х, р), х(се) = а(р). (32) Если вектор-функция У и все дД/дху непрерывны по с, х, то при каждом ~и б М существует решение х = р($, р).
Считаем, что оно продолжено, насколько это возможно. В следующей теореме при определенных условиях доказывается непрерывнрсть функции ~р($, р) по р, а в главе 5 — дифференцируемость функции р по р. Допазтпельство. При фикеированном р = ре задача (32) удовлетворяет условиям теоремы б. Следовательно, для любого е > О найдется такое б > О, что в случае, когда ~7(8,х, р) — 7(4,х, ре)~ ~ (б лля (8,х) б У, ~а(р) — а(ре)~ < б, (33) Я 1. Непрерывная заеисимосгпь решения от начальных условий решение р(к, р) при к Е 1 существует и ~!р(Ф р) — !р(Ф ре)~ < е (Ю Е 1). (34) В силу равномерной непрерывности функций 1(к, х, р) и а(р) при (к,х) Е У, р 6 Мо С М (Мо — некоторая замкнутая окрестность точки ра) найдется такое и ) О, что при !р — ре! < и имеем р Е Ме и выполняются неравенства (33). Тогда по теореме 6 решение р(х, р) на 1 существует и удовлетворяет (34), то есть !е(й, р) непрерывна по р при Ф = Фо.
Далее, при ($,х) б У, !~и — ре! < й функция 1 непрерывна, значит, ограничена, то есть !,Г! < е. Позтому !ср',! = !1! < е, и лля любых Ф, т 6 1 при !Ф вЂ” т! < е/д имеем !р(х, р) — р(т, р) ! < О!г — т! < е. Отскща и из (34) пРи !~и — Ра! < О, !т — 4 < е/д следУет ~!р(т, р) - ~р(й, ре) ~ 4 2е, то есть решение р(й, р) непрерывно по совокупности переменных при р = ре, $ Е 1. Возьмем е Е (О, р).
Тогда для некоторого п1 Е (О,п) при любом таком р~, что !р1 — ре! < ~~, по доказанному, решение у($,рД на 1 существует и .удовлетворяет (34). Тогда его окрестность К ($ Е 1, !а — р(х, р~)! < р — е) содержится в У, значит, в К~ выполнены условия теоремы 7, но с р~ вместо рв. Следовательно, решение ~р(3,р) непрерывно по совокупности переменных (Ф, р) при р = им !Ф~ ра! <йы ~Е1. ° в П 3.
Теорема б позволяет в прикладных задачах пользоваться дифференциальными уравнениями, в которых некоторые константы и функции определялись из опьпов, значит, известны лишь приближенно. Если 55 Глава Я. существование и общие свойства решений (35) при !в ре. !вс фиксированно; У и дуг/дх ограничены' ! в у, у непрерывна по 1, х. Доказмвается, что гр(1, р) =З р(Ф, рс) при,и- равномерно по Ф Е [1е, Ц. г ! Пример 3. Рассмотрим задачу при 0<1<1, [в[<2 .гс ! Г(с,х,р) =х +4(1-х)аш ! р х' = Г(1, х,р), х(0,!в) = О. где ! ! г (р~О), У(с,х,О)=х -2х+2.
! ! Условие (35) выполнено, так как при р - 0 | 2а!и — вв ~ 1овис (0<1< 1). Ф с с Поэтому решение данной задачи х = ~р(с,р) при р - 0 равномерно по 1 б [0,1] стремится к функции р(1, 0) = 2 гв 1/(гв Ф + 1), являвшейся решением при р = О. г! Для простоты извожеиия заесь приводятся менее обвгис условия, чем в [3 1). 56 это приближение достаточно хорошее, то и решения таких приближенных уравнений на конечном отрезке времени будут мало отличаться от решений точных уравнений. Оценка (31) разности решений двух близких уравнений, полученная в теореме б, может быть использована, в частности, для оценки ошибки приближенного решения. Она очень груба, но в вычислительной математике есть возможности получения менее грубых оценок. Сушественное обобшение теоремы 7 имеется в [31).
Условие непрерывности функций у по р заменяется условием $8. Уравнения, не разрешенные относительно лроизеодноб Еще более общие результаты получены чехословацкими математиками, главным образом, Я. Курцвейлем. в ° $8. Уравнения, не разрешенные относительно производной (1Д Основные свойства уравнений вида Р(х, у, у') = О отличаются от свойств ранее рассмотренных уравнений у' = у(х, у).
Пример 4. Уравнение (у') — 4х = О можно свести к двум уравнениям." у'=2х и у'=-2х. 1 1 1 Их решения у=х +с и у=с — х 2 2 (рис. 6). Через каждую точку плоскости х, у проходит не менее двух решений: по одному из каждого семейства решений. Имеются также решения, составленные из кусков решений этих семейств. Такие составные функции являются решениями только тогда, когда они всюду имеют производную, то есть когда в точке стыка два соединяемых куска имеют общую касательную.
Например, на рис. б функция Рис. б Глава л. Оуществование и общие свойапва решений АВОК вЂ” не решение, так как не имеет производной в точке В, а функции АВСМ и АВСК вЂ” решения. Для того чтобы выделить единственное решение уравнения л.(х,р,р')=О, вообще говоря, надо задавать не только 1 точку (хо, ре), но и значение ре (не произвольно, а так, чтобы тройка чисел хе, рв, ре удовлетворяла данному уравнению: Р(хе,уе, ре) = О). Для уравнения (р')з — 4хз = О через точку В(хе = -1, ре — — 1) проходят два решения: р = хз (РВО, рис. 6) и р = 2 — х~ (АВС, рис. 6); если задать еще ре — — -2 или ре — — 2, получаем одно из этих решений.
Точки касания решений — точки нарушения единственности (точки оси Ор на рис. 6). Решение, пришедшее в такую точку, можно продолжить за нее более, чем одним способом. 'а Доназаоельство. По теореме о неявной функции в некоторой окрестности У точки (хе, ре) существует единственная непрерывная функция у(х, р), удовлетворяющая условиям Р(х, р, ~(х, р)) вз О, У(хе» ре) = ре~, (38) при этом У Е С'. По теореме 2 $5 уравнение р' = у(х, р) на некотором отрезке ]хе — 4, хо + 4] 4 ) О, имеет един- о8 Я д. Уравнена»ь не разрешенные относительно производной ственное рещение у(х), удовлетворяющее начальному условию у(хе) = уе.
Так как у'(х) ш /(х, у(х)), то из (38) следует Р(х, у(х), у'(х)) ш О, у'(ха) = /'(хе, уе) = у»'. То есть у(х) удовлетворяет уравнению (Зб) и условиям (37). ° ° «««««««ч»» Должкам единственность решения. Так как дР(х, у, р)/др ~ О в точке (хе, уе, уе»), то дР/др сохраняет знак в некоторой окрестности втой точки, то есть при (х, у) Е У С г/, !р-»/е! < е. Здесь У вЂ” окрестность точки (гы уь), е > О. Значит, при (х, у) Е У функция Р(х, у, р) монотонна по р на интервале !р- у~! < е, и там Г(х, у, р) = О только при р = /(х, у).
Уменьшим окрестность У, чтобы в У было !/(х, у) — у',! < е/2. Тогда для (х, у) Е У значения р, для которых Р(х, у,р) = О, распадаются на два такие множества А и В (В мажет быть пустым), что Р /(х у) !Р-уо! < — (РЕ А): 2 (39) Р~/(х«У)> (Р-Уг! Л е (УЕВ). Лля ля»бого решения у(х) залачи (Зб), (37) при х = хе имеем у (х) = уо = /(хо, уе) Е А.
Пока (х, у(х)) Е г', производная у'(х) не может перейти из А в В, так как по теореме анализа производная принимает все промежуточные значения, а в силу (39) она не может принимать значений р, для которых е/2 < !р — ~4! < е. Значит, при малых !х — хе! производная у'(х) остается в А и у'(х) = /(х, у(х)). А зто уравнение, так как / Е С', при условии у(хе) = уь имеет единственное решение. «в«««««««» ° Глава й. Сущеспгвование и общие свойсгпва решений Например, для уравнения (у') — 4х = 0 таковы точки (хо, уо) с хо ~ О. Уравнение р — 4хоц = 0 имеет два различных корня ргд = ~2хо, лля обоих дР/др; = 2р; ~ 0 и через такую точку в ее окрестности проходят ровно два решения (рис.
6). Если же через точку (хо, уо) в сколь угодно малой ее окрестности проходит более одного решения и хотя бы два из них имеют в этой точке одну и ту же производную у'(хо), то говорят, что в такой точке нарушается единственность. Для уравнения (у') — 4х~ = 0 таковы точки (хо, уо) с хо —— О. 2. Дискриминавтиая кривая. Из сказанного вытекает, что если П для уравнения (36) с л' б С' в точке (хо, уо) нарушается един- ' ственность, то при некотором уо выполняются два условия Р(хо. уо, уо) = О, = О.
(40) дй'(хо. уо. уо) ауо Так как уо заранее не известно, то для отыскания точки (хо, уо) надо из уравнений (40) исключить уо. Получим уравнение ~р(хо, уо) = О, определяюшее некоторое множество на плоскости х,у. Это множество называется дислриминаптлой кривой. Дискриминантная кривая содержит все точки нарушения единственности, но может содержать и некоторые другие точки. Пример 5.
Найдем днскрннннантную кривую для уравнения 1 гг З 1 1 (у) — 4у (1 — у) = О. 1 г 1 Решение примера Дяя этого пншен два уравнения (40): бл' л' ьв (у') — 4уэ(1 — у) = О, — ае 2у' = О. 1 бО б 8. Уравнения, не разрешенные аглнаситвльна производной Из второго уравнения ииееи у' = О. Подставляя в первое, находим дискрииинантную кривую 4уз(1-у) = О. Имеем две ветви: у = О и у = 1.
В нашем случае они обе являются решенияии данного дифференциального уравнения, Чтобы выяснипь где нарушается единственность, найден дружре~ню,ирю юру~~ею ну'=~2рн/ИТу-р2. Решая зги уравнения с разделяюЩииися переиенныии, получаем решения (рис.7) 1 у — ( +с)з+1р у=О, у=1. На прямой у = О не нарушается единствен- ность, а на пряной у = 1 — нарушается. Рис. 7 г 1 Пример б.
Найдем дискрининантную кривую для уравнения 1 р 2 ! Р ж (у-1)(у') + 2у' — 1 = О. 1 $ 1 Решение примера. Здесь дР/ду' ез 2(у — 1)у'+ 2 = О. ИсЬюКпену не и с р~ю~енвр» р~ уюр=р.рнем ~- ется решением данного уравнения. Найден другие решения. Из данного уравнения, как из квадратного, получаем у' = — „-Я~. Так как 1-у = (1- (у)(!+ (у), то У' = Т~'-„у.
РешаЯ зто УРавнение с Разйеллющииисл пеРеиен- В отличие от рассмотренного примера далеко ие всегда дискримииантиая кривая является решением. Глава 2. Существование и общие свойства решений ными, находим у х ууу = х+ с (рис. 8). днскриминантная кривая у = О является геометрическии местом точек заострения интегральных кривых. Особым решением называется такое решение, в каждой точке которого его касается другое решение, отличное от рассматриваемого решения в сколь угодно малой окрестности этой Р точки. В примере 5 особым является решение у = 1, в примерах 4 и б особых решений нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
