Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Заменяем с на ф) и подставляем х = Х($)с($) в систему (2). Получаем Х'($)с(Ф) + Х($)с ($) = А($)Х($)с($) + ~($). Так как Х'($) = А($)Х($) (см. п. 3), то остается равенство Х($)с'($) = 7($). Умножая слева на обратную матрицу Х '($) (она существует, так как де1 Х($) ~ 0), получаем ю с'(8) = Х '(т)~(а), с(т) = с~+ Х '(вД(в) Ив, св — произвольный постоянный вектор.
Получаем решение с х(Ф) = Х(й)с(Ф) = Х(х)с + Х(й) Х '(вЦ(в) Ав. При решении конкретных систем, чтобы избежать лишних выкладок (не выписывать члены, которые должны взаимно уничтожаться), можно применить следующий прием. Решение однородной системы есть Х(г)с (Х($) — фундаментальная матрица, с — постоянный вектор), а неоянородной— 79 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы Х(Ф)с(1). Надо найти Х(Ф) и затем координаты вектора с(Ф) определить из системы Х(1)с'(1) = у(1).
Решение примера. Заненяем в (13) с1, с1 на с',, ~э~ и полученную сумму приравниваем неоднородной части системы Отсюда находим с', = ф, ~ = -1. Следовательно, с! —— 1п япс+ сн, сз — — -Ф+ сш. Подставляя эти с1,с2 в (13), полу- чаем общее решение неоднородной системы р с!ис 1пв1п$+Ып3 ' созс ' -в(пс яеааавеааив» П б. Для линейных систем я' = А(Ф)в (л Е К") при различных предположениях о матрице А(1) исследовалось повеление решений при Ф - со. Устанавливавнсь достаточные условия для ограниченности решений на интервале (йм со) для стремления к нулю всех решений прн Ф -+ со. В случае, когда А(г) = Ае+ ГА! + Г~А1 +... при Ф ) Ф! и собственные значения матрицы Ае простые, доказывалось существование 80 1 Пример 3.
Зная общее решение 1 однородной системы и' = р, р' = -и, найти общее системы х' = р, р' = -и + -„13 (О < Ф < и). 1 соз $ ~ — а(п $ 1/а(п Ф 1 ! 1 (13) 1 1 решение 1 1 1 л 10. Линейные уравнения любого парадна 910. Линейные уравнения лк)бого порядка ] ] 1. На интервале гг < $ < б рассматривается уравнение ав($)у("»+ а2($)у(" ) +... + а„®у = у®.
(14) Считаем, что при а < $ <,6 все функции а~(1) (з = 0,1,...,и) и у(Ф) непрерывны и ае(1) ~ О. Ниже доказывается, что решения этого уравнения обладают свойствами, подобными свойствам решений линейных систем, рассмотренным в й 9. Для этого уравнение (14) приводится к системе нормального вида с помощью замены (25) $5, т.е. с помощью введения новых неизвестных функций (15) 81 У х2 =У, х2= У, И хз = у, (в-1) хв =у (в-2) фунааментальной системы, состоящей из решений вила х~(г) = ем(Я(ам+Гам+1 ~оьз+...), ам 140, аы Е В", 1= 1,2,..., и =1,...,п [23], гл.2, п.7-9.
При более общих условиях (ограниченность и непрерывность А(г) ) исследовались свойства характеристических показателей решений (чисел, сравнивающих скорости роста или убывания решений при г -+ со с функцией е ) (2б]. К системам применялись методы аналитической теории дифференциальных уравнений, когда независимое переменное Ф вЂ” комплексное, а элементы а;,(Ф) матрицы А(г) — аналитические функции.
Это позволяет изучать поведение решений вблизи точек, в которых функции ао(г) имеют особенности (30], главы 4 и 5. Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и актены Как в у 5 показывается, что в силу замены (15) и уравнения (14) функции хи..., х„удовлетворяют системе уравнений ( 1 ( х( =хз( хз=хз ° ° ° ° > х» ( =х», а» а» ( а( / (16) х» — — — — х( — — хг — ... — — х„+ —, во ао ао во и обратно, каждому решению хы..., х„системы (16) в силу замены (15) соответствует решение уравнения (14).
Так как система (16) линейна и функции а;/ао и //ао непрерывны при а < $ ( 15, то система (16) обладает свойствами, рассмотренными в у 9. В частности, каждое решение уравнения (14) может быть продолжено на интервал (а,р), и при любых начальных условиях для $о б (а,,д) у(1о) = уо у'(1о) = 34 " у" ' (Зо) = уо" (17) уравнение (14) на интервале (а, ф) имеет единственное решение. Далее, если уы..., Уь — решения линейного однородного урав- нонна, 7ы " °,7ь — числа, то 7(у(+...
+7ьуь — Решени~ того же уравнения. Если и — решение однородного уравнения Ьа = О, и( и из — решения неоднородного уравнения Ье = /, то а+и(— решение того же неоднородного уравнения, а и( — ез — решение однородного уравнения Ьа = О. (Левая часть уравнения (14) кратко обозначается Ьу.) Рассмотрим линейное однородное уравнение ао($)У1"1 + а(($)У1™ +...
+ а»(1)у = О (18) с непрерывными коэффициентами а((Ф) и ао(Ф) ,-Е О. 82 У 10. Линейные ураенения любого порядка Доказавельапео. Пусть решения рн..., рь, уравнения (18) линейно зависимы, то есть найдутся такие постоянные с~,..., сь, из которых хоть одно не равно нулю, что (19) с~у~+... +сер» из О. Дифференцируя это равенспю а — 1 раз, получаем с~у~ + ...
+ сер~~ ш О, (20) с~у~~" 1+... + сьрь1" 1 вз О. При замене (15) решение р; уравнения переходит в решение х' системы; здесь х' = (х',,..., х'„)г, т.е. х' — вектор- столбец с координатами х'„...,х'„(лля удобства записи координаты записаны в строку и поставлен знак транспони. рования Т). Таким образом, после замены (15) равенства (19) и (20) можно записать в виде одного векторного равенства с~х'+... +сьх взО (Лс; зеО). (21) Следовательно, решения х,..., х системы линейно зави- 1 ь симы. ,Обратно, пусть решения х',..., х~ системы линейно зависимы. Тогда имеет место (21). Беря от каждого вектора х' первую координату х', и переходя от нее к решению р; в силу (15), получаем (19). То есть решения рн..., рь линейно зависимы. Из леммы следует, что линейно независимые решения пе-' реходят в линейно независимые.
[2.) Линейное однородное уравнение (18) при замене (15) переходит в линейную однородную систему (16) с 1 вз О. Такая 83 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы система (см. 5 9, в частности, теорему 2) имеет и линейно независимых решений х',..., х" и общее решение х = с~х'+...+с„х". Следовательно, и уравнение (18) имеет и линейно независимых Решений Ун..., У„(то есть 4УндаментальнУю системУ Решений) и справедлива следующая теорема об общем решении.
Уь У Уп У~ Ф У1 (23) (ь-б (ь-й У! " Уп Если Функции уы..., У„линейно зависимы, то столбцы детерминанта линейно зависимы, и он тождественно равен нулю. Детерминантам Вронского (еронскианом) для и функций уы..., У„класса С" ' называется детерминант При замене (15) детерминант (23) переходит в детерминант Вронского для и вектор-функций (99). По лемме 5 эта замена сохраняет линейную зависимость (или независимость) решений, поэтому из свойств решений системы (пункты 2-4 $9) следуют 'подобные свойства решений уравнения (18).
Если для решений у!,..., у„уравнения (18) вронскиан ИТ равен нулю хотя бы при одном значении Ф, то решения линейно зависимы и 1Г(1) вз О. Замечание. Если же функции уг,..., у„ не являются решениями такого уравнения или их число меньше порядка уравнения, то из Иг(Ф!) = О не следует линейная зависимость функций. ! ! х! ! ! Задачи для упражнений: [12], $12, ЗД 664-669. 88 Я 10. Линейные уравнения любого порядка Пример 4. Для функций у! = 1, уз —— !$ ~ при всех 1 имеем ! и (1) = "' "', = ', [' [ вз О.
Однако для любого а ) О на интервале -2а < Ф < 2а ! зги функции линейно независимы, так как из равенства ! с,с~+сгЯ аз О при Ф = а следует с!+ег = О, а при 1 = -а ! следует -с! + сг — — О. Поэтому с! — — сг = О, и функции ! линейно независимы. Г Пример б. Для решений у! —— Ф, уз = 11 уравнения у'" = О ! вронскиан И'(Ф) = Ф~ равен нулю при Ф = О, но зги решения линейно независимы (так как И'(1) 61 О на любом интервале). "! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Гяава 3.
Линвйныв дифференииольные уравнения и сисееиы Формула Лиувилля и Остроградского для решений уравне- ния (18): гт (1) = И'(1о) ехр — / — Йт . (24) Г а~(т) ао(т) Доназавельство. Вронскиан Ж(3) для решений уравнения (18) тот же, что для решений системы (16) с у($) вт О, а для системы справедлива формула (11). В системе (16) имеем аи = О (о = 1,...,и — 1), а„„= -а~/ао. Поэтому в (11) теперь в(т) = — а,(т)/ао(т), и из (11) следует (24).
° иь ( у о кч 1 %1 (25) — О. (в-О (ь-0% (~-О *" %и, У (в) (в) (и) ип (у Ф Покажем это. Здесь функции ип..., и„известны, у — неизвестная функция. Разлагая детерминант по элементам последнего столбца, получаем ао($)у(") + а1(1)у(" ') +... + а„($)у = 0 — линейное однородное уравнение. Коэффициенты а;($) непрерывны, так как выражаются через непрерывные функции и( ) (у = 1,..., и; )г = О, 1,..., и); ао($) вз ФГ(1) оо 0 на интервале (а,)У). Функции ип..., и„являются решениями этого 86 ~ЗД Построение линейного о)шородиого уравмиия ио фувдамеи- талыюй системе решений.
Пусть иы...,и„— функции класса С", н их вронскиан И'($) оо 0 при а < $ < ф. Тогда требуемое уравнение можно написать в виде Я 20. Линебные уравнения любого порядка уравнения, так как при р($) = и ($) детерминант имеет два оди- наковых столбца, поэтому равен нулю. ! Задачи для упражненидй [12], $ 12, Р- 674-б80; $ 22, В 52. Понижение порядка линейного однородного уравнения при известном частном решении. Пусп для уравнения (18) известно частное решение р~($) ~ О (а < $ < )3).
Покажем, что тогда уравнение можно свести к линейному уравнению (и-1)-го порядка. Для этого сделаем замену искомой функции р = р,я. Производные выражаются по формуле Лейбница р =(у~я) =~вр~я +Сйрр +...+ьвр, я, Й=1,...,в. (й) Рд 0 (й) ~ ю (й-О й (й) Подставляем эти выражения в уравнение (18). Так как х,х', ..., «1") войдут только в первой степени, то получится линейное однородное уравнение относительно х, Ь,®"")+Ь,®""-')+...+Ь„® =О. (26) Уравнение (18) имело частное решение р = 81.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
