Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Линейные дифференциальные уравнения и сиопеиы где число й есть кратность корня Л = о+ 1Я уравнения (32), й = О, если а+Дй не корень; 2с(Ф) н Я(Ф) — нношчяены степени ( ° г). Даказапгельопва. Так как еаи + е Ш' е Р' — е "н соз,бй = 2 ' 24 ип рг = то в (43) Г = У, + Дг, гле Д и Дг — фУнкции вида (40) с у = а+ ~Я и у = а — )Я соответственно. Решение уравнения ~(р) = А + Уг ра~но у~ + уг, где ~(уг) А Ъ(рг) = А Существуют частные решения у, и рг вида (41) с одним и тем же й (корни а ~,Я имеют одну и ту же кратность). Переходя от е1 +Р'К к е ' соя,Ж и е" сйп 8$, получаем (44). ° На практике для отыскания решения (44) можно пользоваться любым из двух способов.
1. Написав в (44) многочлены гс(с) и Я($) с буквенными коэффициентами, подставить это выражение в дифференциальное уравнение. Приравняв коэффициенты при подобных членах слева и справа, можно найти эти коэффициенты без использования комплексных чисел. Например, для уравнения р™+у = 2сси$ — 8$в1пс имеем у = 4 = Л,, й = 1, пг = 1, поэтому частное решение можно искать в виде р = $ [(ас+ Ь) см $ + (с$+ в) з1п $) . 2. В этом способе неизвестных коэффициентов вялое меньше, но они комплексные. Так как созфС = Кее'~, в1п)31 = 1ше~ = — Ке(йе~), то в (43) ,('(Ф) = Ке д(1), д(Ф) = (Р(1) — Щ(1)) е~~+~. 102 в 1Я.
Линейные уравнения с посяюлнмыми коэффициентами 'Пгк как линейное уравнение и-го порядка сводится к линейной системе, то в силу леммы 1 В 9 данное уравнение Ь(у) = у с функцией у(1) = Кед(1) имеет частное решение у = Ке л. Комплексные числа д,..., д уже найдены, а е1 +рО' = е~(сгж1й+ 1в1пф$), поэтому найти Ке х теперь нетрудно. Пример 13. Решить уравнение 1 1 у + у = 2 сов в - 8в в1п 1. 1 1 (45) Решение примера. Характеристическое уравнение Л +1 = О имеет корни Л, = в, Л = -в. Общее решение однородного уравнения у = с, сов Ф+ с яп Ю. Для каждого слагаемого правой части в (45) определяем числа гт = О, 15 = 1, у = а+ 1Я = в.
Для обоих слагаемых они одинаковы, поэтому надо искать частное решение сразу для данного уравнения, не разбивая его правую часть. Так как 2совФ вЂ” 81вшз= Ке(2+8Й)ен, то вместо (45) пишем у = Ке в, л + л = (2+ 8Й)е', (46) число 7 = 1 равно корню Л, кратности Ь = 1, степень многочлена 2+ 8Ы есть гп = 1. По теореме 9 ищем решение в виде л = $(аФ+ Ь)е". Подставляя зто л в уравнение (46), получаем ]2а+4(4ав+2Ь)]ен = (2+80)ен. Значит, 4ав = 8в, 2а+2Ы = 2. Отсюда а = 2, Ь = 1 и л = (2т~ + вс)е". Частное решение 103 Ищем решение л уравнения о(л) = д(1) в виде (41), где у = а+,Я. Для этого подставляем такое л в уравнение и находим комплексные коэффициенты дв, д„..., д .
Получаем л =1 гг(1)е ° Ж) = дев +дг1 + "° + д ° Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и спалены у, = Кс л = 21$ со$1 — 1$>п Ф. Общее решение уравнения (45) В=ВО+у! -с, со$1+с,вшФ+21 со$1-1$>ПФ. 2 ! Задачи для упражнений [12], 5 11, В 533-574, б07-б08; 5 23, В 68-73, 78-85, 87-90.
Пример 14. Уравнение упругих колебаний (без сопротивле- ! ! ! ния) под действиеи синусоидальной внешней силы ииеет > вид ! ! х +а х=Ь$>пый (а,Ь,ы) 0). (47) ! ! решение примера. Характеристическое уравнение Л! + оэ = 0 имеет корни Л, э — — хаэ'. Общее решение однородного уравнения хв = с, сов вФ+цэсэ сйп ас — это колебаниа пРи отсУтствии внешней силы, они наэываются собственными колебаниями. Для функции сбпы1 имеем 7 = ыэ. В случае и ф а уравнение (47) имеет частное решение вида х, = ссоэыс+ НшпМ. Подставляя это в (47), получаен (а — и )ссоэы1+(а — ы~)ав>пыл = Ьв!пыг. Так как 1ы1;е >а!, то с = О, И = Ь/(а — ы~). Общее решение уравнения (47) Ь х = хе + х, — с, сов ос+ сэ $>п ос+ — $>п ыФ.
Случай и = а, когда частота внешней силы совпадает с частотой собственных колебаний, наэываетсл резонансным. В этан случае согласно (44) надо искать частное решение в виде 104 в 11. Линейные уравнения с лослгояннымн козффициенлгами х, = 1(ссовис+ г(згпи1). Подставляя зто в уравнение (47) и учитывая, что и = а, получаем Ь отсюда И=О, с= —— 2ь! 2(иггсозиз-исзгпи$) = Ьз1пи1; Общее решение Ы х = хе + х, = с, сов и1 + с згп и1 — — сгж и1 2и представляет собой колебания с неограниченно возрастающей амплитудой.
В реальных физических системах колебания никогда не иогут расти неограниченно, так как колебания большого размаха или сдерживаются сопротивлением, или приводят к разрушению системы. г ! ! Пример 15. Пусть в электрической цепи (рис. 10) последа- ! вательно включены катушка самоиндукции б, конденсатор еикости С, сопротивление Н и источник переменного тока с напряжениеи У згпи1; з., С, Н, Г, и > О. Найти силу тока в цепи при установившемся режиме.
! 3 105 Обобщая этот пример, в математике называют резонансным любой случай, когда определяемое по правой части уравнения число у совпадает с корнем Л характеристического уравнения, независимо от того, имеет ли правая часть уравнения колебательный характер. При наличии сопротивления, пропорционального скорости, уравнение упругих колебаний имеет вид, отличающийся лишь Я=Уипис обозначениями от уравнения, рассмотрен- Рнс.
10 ного в следующем примере. Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сисгпемы Решение примера. Уравнения для силы тока 1($) и заряда конденсатора й(Ф): д Ад Ь вЂ” +В1+ — = У$1пыз, — = 1, аз С ' ас (о получении этих уравнений и применяемых физических законах см. [121, ф 1$, и.
5 или Щ, 8 13). Дифференцмруя первое уравнение, получаем 1 И" + В1' + — 1 = ыУ сов ыг. С (48) Характеристическое уравнение ЬЛ + ВЛ+ 1/С ж О имеет или комплексные сопряженные корни Л„Лз с вещественной частью -В/(21) < О, или вещественные отрицательные корни, так как Л, ° Л =1/С1, Л, +Лз- — -В/Ъ< О.
Поэтому решение однородного уравнения 1 (з) = с,е"" + с е"" стремится к нул» при $-+ оо. Чтобы найти частное решение 1,(1) уравнения (48), заметим, что созыв = Ке е~~, поэтому 1, = Кс х, гце Ьх" +Вх'+х/С= ыУе'"'. Было показано, что КеЛ, <О. Поэтому у = зы Л, и частное решение ищем в виде х = Ае~. Подставляя в уравнение получаем А -ы 1+йиВ+ — ) е~=ыУе~', А=, С) ','-„-1 -~4В Полагая А = 1А1е'", получаем х = ~А~ей +"1, 1,(1) = Кс х = ~А~ сов(ыс+ 1р).
Общее решение уравнения (48) есть 1(з) = 1 (1) + 1,(1). Так как 1в(1) — О при Ф -+ оо, то при любых начальных условиях через некоторое арене 1е(Ф) будет близко нулю и 1(1) будет очень 106 Я 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами мало отличаться от периодического решения 1г(1), не зависящего от начальных 1кловий.
Такое решение называется усгпаноаияшемся режимом, а процесс от начального момента до иомента, ко!2!а слагаемым 1(Ф) можно будет пренебречь — переходным процессом. В электротехнике важно знать наибольшее значение 1г(1), досппаемое на каждом периоде. Оно равно Щ, Тг !А1 = Графики Щ в зависимости от ы при разных В изображены на рис. 11. Линия 1 — при В = О, линия 2 — при малых В, линия 3 — при больших В.
Максимум !А~ достигается при ! Г! ~ы = ггй з то есть прн ы = шва иг,! = ~/ Ттг. Рассмагриваемая злектри- ! ческая цепь в случае мало- 1 ! 1 го В хорошо пропускает только ток определенной частоты ! ! ыв и близких к ней частот. ! Подобное устройство приме! ! няется в радиоприемниках (на! ! стройка приемника на опреде- 2! ленную частоту с помощью из- ! менения параметров Х, С, В). Уточнение. Для функции 1г(1) = !А! сов(ыс+ !р) период Рис. зз равен 2я/ьг, а частота в обычном смысле, т. е. число колебаний в единицу времени, равна ы/2я; число и называется круговой частотой.
107 Главп 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиапемы (Я Уравнение Эйлера аоаоУЬО+асх" 'УЫ О+... + а„схУ'+а,У = У(х) (ас — постоянные) (49) сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимого переменного х = е' при х ) 0 (или х = -е' при х < 0). Докажем это. Имеем при х ) 0 с Ус -с~ .
и Ас е Ухо е Ус -и о с У' = — =е У,'=А; У = — = =е" (Уа-рс). . х', ' *' ас, е' По индукции доискем, что уфс =е "Ь(у), Б(у) =Ьыус ~+Ьмус 1«+" +Ььд-с1~о (50) аоЛ(Л-1) ... (Л вЂ” н+1)+асЛ(Л-1)... (Л-и+2)+...+а„сЛ+а„= О. Таким обрамсм, в (49) каждое произведение хоусоз заменяется на произ- ведение Ь убывающих на 1 чисел: Л(Л вЂ” 1)... (Л вЂ” Ь + 1). 108 где все Ьы — постоянные числа. Предположим, чго (50) верно лля некоторого Ь. Обозначая е "Ь(у) через В, имеем <о+О, В,' е м(У(у))с — Ье мХ(у) <о+с>, Уи = «ас ес где з с(У) — сУмма пРоизвопных У,, У,,..., У', с постоЯнными ко- (о+О 04 эффициентами.
По индукции формула (50) доказана. Подставляя (50) для Ь = 1, 2,..., и в (49), получаем линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для этого уравнения характеристическое уравнение можно на- писать, не пересчитывая производные. Характеристическое уравнение для линейного уравнения с постояннымн коэффициентами получается, если подставить у = ем в левую часть уравнения и сократить на общий множитель ен, см. (31), (32). У нас е'. = х, е" = х", поэтому надо подставить у = х" в левую часть (49) и сократить на х".
Получаегся характеристическое уравнение $12. Линейные уравнения второго порядка Пример решения уравнения Эйлера с подробнымн пояснениями см. [12], 611, п.4. Задачи для упражненийг [12], 6 11, В 589-698, 606, 609, 610. б. Для линейных уравнений с постоянными козффнцнентамн деталь- П но исследовалось повеление решений в случаях, ннтересных для прнложеннй, например, в [4], гл. 2, 6 1О; [9], гл.б, 6 1, п. 2, прнмеры 2, 9, 10. Разрабатывались разанчные методы решения линейных уравнений с поспшннымн козффнцнентамн.
Об отысканнн решений с помощью рядов Фурье см. [9], гл.б, 61, п.З; [5], 018, и. 3'. Операцнонный метод, основанный на преобразованнн Лапласа, позволяет находить решение, удовлепюрякяцее заданным начальным условиям, не находя общего решения. Доступное изложение етого метода н прнмеры его применения см. в [5], 624, с. 205-211. 512. Линейные уравнения второго порядка ~Я Уравнение (51) можно привести к простейшему виду р" +9(г)у =о многнмн способамн, нз которых два основных. (52) 109 ° в Линейное однородное уравнение второго порядка имеет внд р,(1)у" + р,(1)р'+ р,(1)у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
