Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(51) У многих таких уравнений (напрнмер, у уравнения у" + 1'р = О, а = соом ) 0) решения не выражаются через элементарные функцнн н неопределенные интегралы. Ниже излагаются некоторые мепщы исследования свойств решений уравнений вида (5 1) без отыскания самих решений. Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и систены А. Линейная замена искомой функции. Подставляя у = а(1)н в. (51), получаем (предполагается, что ре, р~ Е С') рван» + 2рва~на + рва»н + раааа + р~а~и+ рзан 0 Чтобы уничтожить члены с и', полагаем 2реа'+р,а = О.
Отсюда получаем а(1) = с е нни'1, берем с ЗЬ О. Б. Замена независимого переменного. Считая х = Р(1), находим у,' = 1/1»(; 14 = у,",(р()'+ у,'~4. Подставляя в (51), получаем Роу (Уг) +Рой рй+Р~УМг+Ргу =О. Чтобы Уничтожить члены с У'„полагаем Реуй +Р~Р, '= О. Попинав порядок заменой у', = ф, находим сначала ф(1) = с е Гг'~г»а (берем с ~ 0), затем р(1). Другие способы приведения к виду (52) являются комбинациями этих двух. Например, можно сделать в (51) замену вида х = р(1) с какой-либо функцией Р Е Сз, у' ~ О, а затем в полученном уравнении уничтожить член с у,' заменой у = а(х)и. 2.
Исследование амауклестн графиков решеаий и вумй ренмний. Если П в уравнении (52) е(1) < 0 на интервале а < 1 <,6, то в области у > О, а < Ф < Д имеем у" = -е(1)у > О. Поэтому там графики всех решений выпуклы вниз, а в области у < О, а < 1 < Л имеем у" < О, н грзфики выпуклы вверх. В обеих областях графики выпуклы в сторону оси ОФ. Если же е(1) > 0 при т < 8 < б, то на интервале (у,б) имеем у" = -ау < О при у > О и у" > 0 при у < О.'Доэтому при у < Ф < б графики решений обращены вогнутосп ю к оси 01. Нулями решения у(С) называются такие С, цри которых у(1) = О. Лемма 7. Если у(Ф) М 0 — решение уравнения (51), у(ге) = О, лю '(Ф ) Ф О. Доказательство.
Если бы у(гь) = у'(ге) = О, то при этих начальных условиях существовало бы два решения: данное решение у(1) 110 $12. Линейные уравнения второго порядка и нулевое решение у (1) и О. Это противоречит теореме елинствен- ности. Лемма 3. Ненулевое решение у($) М О уравнения (51) не комет инеть бесконечно нного нулей но конечном отрезке. Докаэавельовво. Пусть на отрезке [а, Ь[ решение у($) т О имеет бесконечное множество нулей.
Вмберем из них сходящуюся последовательность 1« гэ,... -+ Гь. Тогда Фь Е [а, Ь[ и из у(эь) = О (Ь = 1, 2,...) и непрерывности у(Ф) следует у(еь) = О. Решение у(Ф) имеет производную у'(1). Следовательно, существует Вш У(') У(') =у'(эь). ь эь — эь Числитель равен нулю, значит, у'(се) = О. Это противоречит лемме 7. Теорема 10. йо отрезка эде о(1) < О, любое решение у(1) М О уравне- ния (52) не может оброщавьск е нуль Йлее, чен в одной точке. Докоэательство. Предположим, 'по у(эД = О, у(гэ) = О, Ф~ < 1д.
На отрезке [1« гэ[ по лемме 8 может быть только конечное число нулей. Возьмем два соседних нуля э = а и 1 = Ь > а. При а < Г < Ь у(э) не меняет знак, например, у(Ф) > О (если там у(Ф) < О, то рассмотрим вььесто у(э) решение уь(Г) = -у(1) > О). Тогда у(а) = у(Ь) = О и по лемме 7 у'(а) эь О. Так как у(1) > О на (а, Ь), то у'(а) > О и у" = -о(1)у > О «а (а, Ь). Значит, у'(1) не убывает н из у'(а) > О следует у'(Ф) > О на (а, Ь).
Тогда у(Ф) возрастает на [а, Ь[ и из у(а) = О следует у(Ь) > О в противоречии с выбором точки Ь. глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сисшены Даяазопельсгява. У зтих решений нет общих нулей (в точке Ф„где у~(ФД = уз(Г~) = 0 вронскнан %'(Г~) = О, а тогда решения были бы линейно зависимы по лемме 3). Предположим, что в промежутке (ФнФз) между двумя соседними нулями одного из решений, например уз, нет нулей решения уо Тогда на отрезке (Ю„сз1 имеем у1(г) ть О, гУ(Г) ~ О, производная ~ уг ( у!у2 у1у2 сохраняет знак и функция уз(Г)/у~(Г) строго монотонна Но зто невозможно, так как Уз(Г1) = Уг(сз) = О. Значит, в промежутке (Гост) есть нули решения уо Их— конечное число по лемме 8.
Если их более одного, то в промежутках между ними не было бы ни одного нуля решения уг, а зто невозможно по доказанному. Следовательно, в (Фоллз) есть ровно один нуль решения уо Доказвпельсглва. Предположим, что для решений у и в имеем у(и)=у(б)=0, у(г)ФО, в(Ф)~О (а<с<8).
112 $12. Линейные уравнения впгорохо порядка Будем считать, что на (а, Ь) имеем у(з) > О, х(з) > О (если не так, то вместо у и «можно рассмотреть решения у, = -у, х, = -«). Умножая уравнение (а) на з, (б) — на у и вычитая, имеем у"х-х"у+(у-®у«=О. (53) Так как у~« — «~у вт (у'« — уз')', то интегрируя (53) от Ф = а до ! = Ь, получаем Ф ы*-э! -н -и! - г !ю(6-вь!!и~ е4) Имеем у(а) = у(Ь) = О, поэтому левая часть равна 5~«~ — !/х~ Учитывая лемму 7 и неравенство у(!) > О на (а, Ь), имеем у'(а) > О, у'(Ь) < О. Тйк как «(!) > О на (а, Ь), то в силу непрерывности функции х имеем з(а) > О, з(Ь) > О.
Значит, левая часть в (54) неположительна. В правой части Д > е, ух > О на (а, Ь), поэтому она неотрицаттльнз. Если хотя бы одно из равенств х(а) = О, х(Ь) = О, ге(!) ва т(х) на (а,Ь) не выполшмтся, получаем противоречие. Теорема доказана. Пример 16. Оценить сверху и снизу расстояние между ссседниин нулаии дяа репений'уравнения 1 ! ! 1 у + д(!)у = О (55) 1 1 г ! на таком отрезке, на ксторси О < и! < О(Ф) < М . 1 1 Решение примере. Сравниваеи уравнение (55) с уравнением х +М«=О, ииеюв!ии репення « = с, соз МС + с, згп Мс еа йг з!и М(с+ Юг), (56) 113 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиапемы где си и,.
(! = 1, 2) — произвольные постоянные. Пусть Фе, 1, — соседние нули решения р(!). Беря а (5б) о = -Фе, ииееи з(йз) = О. Из теореим 12 пояучаеи, что следующий нуль Ф решения з яежвт иа вслуиитераале (Фе,г,]. Так как в силу(56) ! =Ф +а'/М,тс Ф,-! > ! -Ф =и/М. Сравииеаеи уравнение (55) с уравиеииеи и" + ш~и = О, ииеющии решения и =с, созигз+с шпиг! = и' з!пгл(!+Я. (57) Беря а = -ге, получаем из (57) соседние нули Фе и ! = 2е+ я/т.
Так как а(Ф) > эвз, го из теореим 12 следует, чю иувь Ф, решения р(!) лежит в пояуиитервале (1, !з). Значит, 3, — Фз < я/пв. Итак, получена оценка я/М < з, - ! < я/т. Из теоремы! О следует, что в случае д(Ф) < О прн Ф, < ! < со любое ненулевое решение уравнения (52) имеет на интервале (т„со) не более одного нуля, то есть является леколеблющимсл.
В случае е(Ф) > глз > О (Ф, < ! < оо) нз теоремм !2 и примера 1б следует, что любое решение уравнения (52) имеет на интервале (г„оо) бесконечно много нулей, т.е. является юмебеюягиигл. 3. Линейные уравнения 2-го парила давно исследовались, см., на- П пример, [23[, гл. б; [39[, гл. 11; [37[, т. 1, гл. 3.
Получены достаточные условия ограниченности всех решений уравнения (52) на интервале (г„оо), например, д(!) - со монотонно или а(!) = аз+ !г(!)+ Ф(Ф), о > О, ф(Ф) -+ О (Ф - оо), интеграл от [р[+ ~Р'! сходится, условия колеблемости (9(!) > (1/4+ ез)/зз) и неколеблемости (О(Ф) ~ 1/(4!з)) решений на интервале (8„оо). Изучалось асимптотическое поведение решений при Ф - со.
Для этого уравнение у" + 9(л)р = О (е(и) > О) с помощью преобразования Лнувилля ~-~м-/сыч~. е-и "к*>. приводится к уравнению и" + (! — дз — д' )и = О, 51( (!)) — И(.(!)) 114 в 13. Краевые задача Бо многих случаях, например, когда 9 = сал, и > -2, или когда 9 = е~, Л > О, при и - со имеем Ф - со и ]Лэ+ Л,'] < ст ', а = сопи > О. Топш имеем решения уз = Ф™[соа(г(я)) + О(г(а)) ], уэ = д нч [3$п(Ф)) + О(ФИ 3. Об асимптотике решений см. также ]П], гл.7.
Для некоторых дифференциальных уравнений 2-го порядка, имеющих важное значение для теории и приложений (уравнения Бесселя, Эйри, Матье, гипергеометрические уравнения и другие) детально изучены свойства решений (]5], $!8, п. 2", ]9], гл. б, 5 2, п. 2," ]37], т. 1, гл. 3, $4, бб) и составлены их таблицы — таблнцм специальных функций.
и чй 5 13. Краевые задачи 1. В предыдущих параграфах для уравнения и-го порядка рас- П сматривалась задача с начальными условиями, в которой все и условий задгются при одном и том же значении 1 = Фе. В краевой задаче задаются условия при двух (или более) значениях 1. Такие условия называются краевыми. Здесь будут. рассматриваться толысо линейные краевые.задачи, в которых дифференциальное уравнение и краевые условия линейны. Левые части краевых условий — линейные комбинации значений искомой функции и ее производных в заданных точках Ф,, а правые части — заданные постоянные числа.
Примеры линейных краевых условий: а) у(Ф,)=о; б) у'(1,) = Л; в) ау(йэ) + ~уу'(Фэ) = с (гт и ф заданы, ]а] + ])3] ~ 0); 115 глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы г) у(ге) — у(Е~) = а' д) у'(Фе) — у'(Ф,) = Ь; возможны и другие виды условий. Если постоянная в правой части краевого условия равна нулю, то условие называется однородным, если не равна нулю— неоднородным. Для уравнения и-го порядка задаются и условий. В разных точках $, условия могут быть одного типа или разных типов.
Краевая задача называется однородной, если дифференциальное уравнение и краевые условия линейны и однородны. В отличие от задачи с начальными условиями краевая задача может иметь одно или много решений, а может и не иметь решений. Например, задача у" + у = О, у(0) = О, у(п/2) = а имеет единственное решение у = аз!пФ, а задача у" + у = О, у(0) = О, у(1г) = Ь в случае Ь ~ 0 не имеет решений (так как все решения уравнения, для которых у(0) = О, имеют вид у = с за Ф и при 3 = и они равны нулю), а в случае Ь = 0 имеет бесконечно много решений у = с зш 8, с — любое. Теорема 13 (еб альтернативе). Рассмотрим уравнение ае(1)у~" + а,(Ф)у~" ' +... + а„(1)у = з(ь) (и ~ >2) (58) (все а,(с) и У(г) непРеРывны, аеЯ ЗЬ 0) с и линейными кРаевыми условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
