Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Короче, 1(В) = йа81 У(К,),..., У(К,)1; <~1а8 (,е~к, (86) У(В) = йа811(Л,),..., У(Л„В е = б1а8 (ем',..., ео' ). (87) Найдем е~, где К вЂ” жордаиова клетка размера л х м, л > 2, то есть К = ЛЖ+ Р, Р определено в (85). Имеем пг ил+юг ил и' 1 с помощью (87) или (81) получаем е =йа8(е,...,е ) =е Е. Матрицы Р~, Рз, ... имеют вид, сходный с Р, но у каждой следующей косой ряд из единиц сдвигается на одно место вправо. При пь > й имеем Р = О. Поэтому ряд (81) для А = ФР обрывается, е =Я+ — Р+-Р +...+ — Рь М' 1 1 2 1 -Д-1 1! 2! (м — 1)! ~ 143 В частности, если каждая клетка К, состоит только из одного числа Л,, матрица В называется диагональной.
Тогда 1(В) тоже диагональна; глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сисглеиы $ ~Р зь-г 1! 2! (й — 1)! зь-г 1! (й — 2)! 1 (88) О Замечание. Для треугольной матрицы собственными значениями являются числа, стоящие на главной диагонали, и только они. Поэтому для матрицы е'в (значит, и для ега) собственными значениями являются числа е"", где Л; — собственные значения матрицы А. Пусть для матрицы А известная матрица С, приводящая А к жордановой матрице В = С 'АС. Тогда А = СВС ', А = СВС ' ° СВС ' = СВ С ', Ам =СВ С '.
Подставляя это в (81) и вынося слева С, а справа С ', получаем е =С~В+-В+-В +...(С =Се С г $ $ г ~г — гв 1! 2! Эта формула и (86), (88) дают еще один способ отыскания е'". Пример см. 18), $22. Матрица е'к = е'"е'~ получается умножением всех элементов найденной матрицы ег~ на число е'". Из клеток е'к' составляется матрица е'в, см. (8б). й 2б. Линейные сисглемы с периодическими «оэффицненглами ° ювавеаеФ П ь. Друны фуввцмв матриц (доказательства нмекзтся в (2), гл.4, $4). Пусть функция у(х) определена степенным рядом у(х) = а + а,х + а х~ +..., сходяшнмся в круге 14 < г.
Тогда для лхзбой квадратной матрнцы А, у которой все собственные значения лежат внутри круга 1Л! < г, ряд аоЕ+а,А+а,А'+... сходится н его сумма прнннмастся за У(А). Если матрица А = СВС ', то У(А) = СУ(В)С '. Для жордановой матрицы В=дна(К,,...,К,) имеем У(В) =йад(У(Х,),...,У(К)). Для жордановой клетки К = ЛЕ+ Р (Р см. в (85)) размера а х й у(Л У'(Л) У"(Л) У '(Л) У(Л) И 2.
° (й — 1) У(Л) у'(Л) у'-'(Л) 11 (й — 2)! у(л) О У(Л) ° ы~ююаае ° 51б. Линейные системы с периодическими коэффициентами ° аааа аюа» Линейные системы н линейные уравнения и-го порядка с перноднческими коэффициентами — важный для приложений класс днфференцнальных уравнений н систем. Решения уравнений н систем этого класса 145 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы могут быль исследованы известнмми методами.
При таком исследовании используется понятие логарифма матрицм. 1. Логарифм матрицы. Логарифмом вегцественного или комплексного П числа х называется такое число и = 1п з, что е = х. Так как е ни = е (соа)у + 1 ил)у), то для числа а = г(сов р+йипр) имеем е +~ = з тогда, когда е = г, Д = р+ 2»й, й — любое целое.
Поэтому 1п л = 1п г+ 1(р+ 2яй), где г = 14, р = агй х. Таким образом, )па — многозначная функция. Если х ~ О, то 1п з существует. Логарифмам квадратной матрицы А называется такая матрица Х, что е =А. Теорема 17. Длл люйой кеодравной матрацы А, имеющей дег А Ф О, существует 1п А. Доказательство. Сначала найдем логарифм жордановой клетки Н = лЕ+Р = й(Е+Н), где й ~ О, Н = Л 'Р, матрицу Рсм. в(85). Покажем, что )п (Е + Н) = Ф, где Н = Н вЂ” Нз(2+ Нз/3 По определению логарифма, для этого надо показать, что е» = Е + Н или, учитьптя (82), что Я = Н, где Я=~)- ",~ — Н' ю 1/ т ( !)1-1 Лг (89) ьо ' 1ю Если Н вЂ” число, !Н! < 1, то Я = еи1'+лЗ вЂ” 1 = Н.
Так как ряд (89) остается сходяшимся и после замены всех членов их мопулями, то в ряде можно переставить члены и объединить члены с одинаковыми степенями Н, то есть Я = с Н+ с Н'+ с Н~ +.... Каждое с получается из конечного числа коэффициентов в (89) и не зависит от Н. Так как Я = Н при 1Н1 < 1, то с, = 1, с„= О (гп > 2). Пусть тецерь Н вЂ” матрица йхй, Н = й 'Р, тогда Н™ = О при пз > й. Ряды в (89) превраптются в конечные суммы, перестановка 146 $1б.
Линейные системы с периодическими коэффициенгпоми и группировка членов законны, и И = с1Н+ сгн'+ ". +,,Н' '. Коэффициенты с получаются с помощью тех же действий, что и в случае, когда Н вЂ” число, поэтому с те же самые: с, = 1, с = 0 (т > 2). Значит, и в случае Н = Л 'В имеем Я = Н, то ь 1п (В+ Н) = Н. Рассматривая данную жорданову клетку берем всегда одну и туже ветвь логарифма При Л ~ 0 е~ьмн = е~ы. е" = ЛВ. (В+ Н) = ЛВ+ Р Поэтому при Л ~ 0 для жордановой клетки К = ЛВ + У имеем 1п К = В 1п Л + Н = =В1пЛ+ -Р— — Р + — Р ...+ ' Рь '. 2 1 3 ( 1) „-1 Л 2Лз ЗЛз (й — 1)Л" ' Если жорданова матрица В состоит из клеток К,,...,К,, и все Л,. зе О, то 1п В есть матрица Р, состоящая нз клеток 1п Кги 1 = 1,...,1, так как е" состоит из клеток ем а', то есть из клеток Х,, значит, е" = В. Для любой матрицы А с бег А ~ 0 существует такая матрица С, что матрица В = С 'АС жорданова, и бег В ~ О.
Тогда А СВС-~ С ьвс-~ (ь~)с ~ то есть 1пА = С(1пВ)С '. Сущестщ>ванне матрицы 1пА дока- зано. Логарифм вещественной матрицы А может быть комплексным. Однако если матрица А с бегА;а 0 равна квадрату вещественной матрицы, то существует вещественный 1п А (7], 5 33.
2. Рассмотрим линейную систему в векторной записи П х' = А(Ф)х (х Е й"). (90) Предполагается, что матрица А(1) — непрерывная функция от 1 с периодом У. 14г Глава 3. Линейнь(д дифференциальные уравнения и системы Пусть Х(1) — любая фундаментальная матрица системы (90). Тогда матрица У(Ф) ге Х(1+ Т) — тоже фундаментальная, так как бег У(1) ~ 0 н У'(1) = Х'(1+ Т) = А(1 + Т)Х(1 + Т) = А(1)1'(1). По теореме 3 (59) существует такая неособая матрица М, что У(1) = Х(1)М, то есть Х(1+ Т) = Х(1)М.
(91) Матрица М называется матрицей моподромии, а ее собственнме значения — мультипликаторами. Из (91) следует, что для любого целого й (92) Х(Ф+ йТ) = Х(1)М . Докозхпальопео. Если Я(1) — другая фундаментальная матрица, то по теореме 3 найдется такая неособая постоянная матрица С, что Я(1) = Х($)С. Тогда аналогично (91) Я(1 + Т) = Я(1) М,, (93) М, =Я '(1)Я(1+Т) =С Х '(Ф)Х(Ф+Т)СтС 'МС.
И' Теомезрическнй еммсл матрицм моводромии и мультивликатеров. Пусть Х(1) — фундаментальная матрица с Х(0) = Е. Для любого хь Е й' функция х(Ф) = Х(Ф)хь есть решение системы (90) с начальным условием х(0) = хь. В силу (91) г(Т) = Х(Т)хь = Мх . То есть сдвиг по интегральным кривым системы за промежуток времени 0 < 1 < Т 14В и 16. Линейные сисшемы с периодическими козффициеншами есть линейное преобразование х(Т) = Мх(0) с матрицей М.
Вследствие периодичности системм (90) сдвиг за время следующего периода Т ~ Ф ~ 2Т есть такое же преобразование: х(2Т) = Мх(Т) и т.д. Пуси ю — собственный вектор для М и Мю = рю. Тогда х(1) = Х(1)ю — решение с х(0) = ю. В силу (91) х(1 + Т) = Х(1 + Т) ю = Х(1)Мю = Х(1) рю = рх(Ф).
То есть за каждый промежуток времени длины Т это решение увеличивается в р раз (если р ) 1), точнее, умножается на р. ~ЗД Дсказавельоиао. Пусть Х(Ф) — любая фундаментальная матрица. В силу (91) имеется такая неоссбая матрица М, что Х(Ф + Т) = Х(1)М. По теореме 17 существует такая матрица В, что етв = М. Возьмем матрицу К(1) = Х(С)е~. Она непрерывна, К'(1) тоже. Покажем, что она имеет период Т. Имеем К(1+Т) = Х(1+Т)е ~~+1в= Х(1)Ме гве ~. (95) Так как Ме тв = Л, то выражение (95) равно Х(1)е ~ = К(1). То есть К(1 + Т) вз К(1), и теорема доказана. ' 4. Изложенные результатм позволяют исследовать решения системы 90 на бесконечном интервале.
Если на отрезке длины Т найдены (например, на ЭВМ) н линейно независимых решений системы (90), то есть известна матрица Х(1) на этом отрезке, то можно найти матрицу М. Тогда формулы (92) н (94) позволяют судить о поведении всех решений Глава 3. Линеиные дифференциальные уравнения и гиппены системы на бесконечном интервале. Например, дня стремления всех решений к нулю при г -+ со необходимо н достаточно, чтобы модули всех мультипликаторов были меньше единицы (тогда в (92) Мь - О прн й -е оо). В случае, когда система (90) получена из уравнения р" + р(Ф)р = О с периодической функцией р(г), А. М.
Ляпунов получил условия оценнченностн всех решений при -со < Г < со ([2], гл.7, 5 2, п. 2). «$ еееееавмя ГЛАВА Автономные системы и устойчивость Эти вопросы соединены в одну тему, так как при изложении вопросов устойчивости используются понятия и результаты теории автономных систем, а при исследовании особых точек нужны методы теории устойчивости. Разумеется, вопросы устойчивости излагаются не только для автономных систем. 5 17. Автономные системы ея,. — ' = у;(л„..., х„), 1 = 1,..., и, или, в векторной записи, ех — = у(х), я = (х„..., х„) (2) 1б1 11.) Система дифференциальных уравнений называется еето- номаей, если в нее не входит явно независимое переменное.
Например, Глава 4. Аетононные системы и устойчивость — автономная система нормального вида. Автономность системы приводит к тому, что решения системы можно изображать линиями в пространстве меньшей размерности. Это облегчает исследование решений. -, Фазоеым пространством автономной системы (1) называется множество, на котором определены координаты х,,..., х„и задана система (1). Фазовое пространство может быть, например, областью в Й" или гладкой поверхностью, например, боковой поверхностью цилиндра. Далее считаем, что в (1) функции ~', и ду,/аху определены и непрерывны в области 0 С К". Тогда 0 — фазовое пространство.
Каждое решение системы (1) х, = х!($), ..., х„= х„(1) определяет в фазовом пространстве линию (или точку, если все функции х1($) постоянны). Эта линия или точка называется траекторией (иногда азизовой траекторией). Точка х = а является траекторией тогда и только тогда, конга в этой точке все функции 3; равны нулю, то есть в (2) Г(а) = О.
Такая точка называется особой или стационарной, или пологкением равновесия. Пример 1. Автоноиная система х', = хг, х~г — — -х, имеет ! 1 2' 2 1 решения 1 1 1 1 х, = с, з!п(1+сг), хг = с,соз(1+~). (3) 1 ! 1 В пространстве $, х,, хз функции (3) изображаются винтог выми линиями, а в фазовом пространстве (здесь оно является 1 плоскостью х,, х ) — окружностями хг+ хг г— — сг. Каждая 1' 2 1 1' окружность изображает бесконечно мнопг решений, отлича- 1 ющихся только значениями с . Точка х, = х = О тоже 1 2 является траекторией (особая точка).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
