Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Так как здесь [еы~ = 1, то это решение неограниченно, и нулевое решение неустойчиво, как выше. ° Замечание. Здесь доказана достаточность условий теоремы 2. Нетрудно доказать также ик необходимость. ! Задачи дяя упрткненибг [12), 524, за 156, 157. ° аиааааеввФ П Б. Кроме понятий устойчивости и асимптотической устойчивости, о которых говорилось выше, лвя приложений важно понятие устойчивости при постоянно действующих воьчущониях. Такая устойчивость 166 Я 1Р. Исследование уопойчивосгпи с помощью функций Ляпунова означает, что при й < й < со решение мало меняется не только из-за малых изменений начальных условий, но и из-за любых достаточно малых внешних воздействий, например, помех, действующих все время ([зв), Ото). Решение х = йг(й) системы (7) с начальным Условием Р(йь) = хь называется устойчивым при постоянно действукядих возмущениях, если для любого е > О найдутся такие б > О и О > О, что при любых хр и Л(й,х) Е С гаагов, что ~аь — хь~ < б, ~Л(й, х)~ < «1 при й > йь, ~х~ < е, каждое решение х(й) задачи Ы вй — =Я,х)+Л(й,х), х(й ) =а при й < й < со существует и удовлетворяет неравенству (8).
Условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость, часто обеспечивают и устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Таким является, в частности, условие 1) теоремы 2. 5 19. Иссиедование устойчивости с помощью функций Ляпунова (13) 167 [1 1 Производной функции о(й, х) в силу данной системы — =~(й,Х) (ХЕВЙ, й 61ч"), гйх (12) называется функция оо! дэ до д» вЂ” = — + — У+" + — У ° йй ~(пб дй дх дх„ где о и 1„..., у„зависят от й, х„..., х„. Формула (13) позволяет найти производную сложной функции о(й, х(й)) ав «(й, х,(й),..., х„(й)), Глава 4.
Автономные с«стемы «устойчнвость где х($) — любое решение системы (12), не зная решений системы. По теореме о производной сложной функции б де де Их1 де нх„ — е($,х2($),...,х„($)) = — + — — '+...+ — — ". (14) 61 ' ' ' ' " И дх, 64 дх„а Так как х(б) = (х,($),...,х„(1)) — решение системы (12), то бх</Ж = у;(й, х„..., х„) и сумма в (14) равна (13). [2Д Доназательство. Возьмем любое с > 0 и е, = пнп(е,р). Непрерывная функция е(х) на множестве Я(~х~ = е,) достигает в некоторой точке х' Е Я своего наименьшего значения ппп е(х) = е(х*). Так как е(х) > 0 на Я, то е(х') = п2 > О.
Функция е(х) непрерывна, «(0) = О, поэтому найдется такое б > О, что е(х) < пт при ф < б. Предположим, что решение х(1) с )х(1е)~ < б или существует не на всем интервале $е < $ < оо, или не остается в области ~х~ < е,. Тогда в силу следствия теоремы 4 5 б найдется такое 12 > йе, что ~х(Ф,)! = е„~х(1)~ < е, при 1е < Ю < 12. Тогда е(х(се)) < гв, е(х(1,)) > пв в силу выбора пг и 6. Эго невозможно, так как Ие(х($)) Ие ~ (12) 1б8 б ХУ.
Исследование устойчивосаи с помощью функций Ляпунова и «(х(с)) не возрастает. Итак, предположение неверно, и теорема доказана. Ю Доказхпельопво. Из предыдущей теоремы и ее доказательства следует, что нулевое решение устойчиво и что любое решение х(с) с 1х(се)! < б остается в шаре ~х~ < е, при $е < Ф < со. Докажем, что х(Ф) -+ О при $ -+ оо. В противном случае нашлись бы такие числа 9 > О и Ф„ст,...
-~ оо, что ~х($,)~ > и (б = 1,2,...). В замкнутой области 9 < ф < е, имеем «(х) > и > О, поэтому «(х(г;)) >,и > О (б = 1,2,...). Так как й«/Ж~О < О, то «(х(ь)) не возРастает; поэтомУ «(х(Ю)) > И пРи всех Ф > ье. (Если бы было «(х($)) < и при некотором с, то при всех Ф;, ббльших этого $, тоже было бы «(х(г,)) < и, а это противоречит предположению.) Возьмем такое б, > О, что «(х) < и в области ~х~ < б,. Решение х(с) не может войти в эту область, поэтому остается в замкнутой области б, < ~х~ < е,. Там ю(х) >,О > О, б«/аС~О < -р < О, поэтому 169 Глава 4.
Автономные системы и устойчивость но е(х) > О. Противоречие'показывает, что предположение х(с) - 0 неверно. Замечание. При выполнении условий этой теоремы нулевое ре- шение будет также устойчивым при постоянно действующих воз- мущениях ([34), 4 70). Пример В. Устойчиво ли нулевое решение уравнения ! ! ! х =в!их — х? ! Решение примера. Возьмем е = х . Тогда йе — = 2хх'= 2х(з1пх — х) < О (х ~0). <Ы По теореме 4 нулевое решение асимптотически устойчиво. Г Пример б. Устойчиво ли нулевое решение системы г з ! х =р — х, р =-х? ! ! (15) ! 170 А.
М.Ляпунов доказал более общие теоремы — с функцией е($, х) вместо е(х), удовлетворяющей некоторым другим ограничениям. Функция е(х) или е($, х), применяемая при доказательстве устойчивости, называется функцией Ляпунова. Для конкретных систем дифференциальных уравнений ее подбирать нелегко. Для несложных систем иногда можно брать функцию е(х) равной квадрату расстояния точки х от положения равновесия. Более сложные приемы подбора функции Ляпунова обычно не включаются в программу курса дифференциальных уравнений.
9 19. Исследование уапойчиеостпи с помощью функний Ляпунова Решение примера. Линейная часть системы имеет петрину А=( ). Для нее Л, = О, Лз = -1, собственные векторы о' = ~ 1/' е = ~ ~ лежат на пряных у — х = 0 и у = О. Возьмем 2 ~,0! и = (у — х) + уз. Тоща — ! = 2(у — х)(у' — х') + 2уу' = й~ 1(!5) з з = 2(у — х)(х — у — х ) — 2ух .
Это — мновчлен 2-д степени относительно у. Чтобы судить о его знаке, выделяем полный квадрат — = -2(у — х+ х ) — 2х (1 — х ). 3 3 4 2 йс (15) Это меньше нуля в области )х1 < 1, кроме точки (О, 0). По теорене 4 нулевое решение асимптотически устойчиво. < Для систем вила пх/Ж = 7(х) (х Е Ж") часто бывает удобнее вместо теоремы 4 пользоваться следузощед теоремой. Глава 4. Автономные системы и устойчивость 1йееаааааа~ Донпзшпельопво. При данных условиях выполнены также условия теоремы 3, поэтому нулевое решение устойчиво и все решения с 1х(0)1 < б остаются в шаре Я(1х! < е).
У любого такого решения х(1) по теореме 1 существует ы-предельное множество й С Я, состоящее из целых траекторий. Функция е(х(1)) не возрастает и существует 1цп е(х(1)) = 1. Любая точка Ь б й есть Вшх(11) ! ОР лля некоторой последовательности 1,. — оо. В силу непрерывности функции е из х(11) — Ь следует е(Ь) = йши(х(тг)) = 1. Точка Ь б й произвольна, поэтому на й всюду е(х) = 1.
В силу теоремы 1 существует решение «(1) б й с «(0) = Ь. Тогда е(«(1)) гв 1, и на траектории «(1) Ь! Не(«(1)) = — гв О. ат ~ а1 Значит, траектория «(1) содержится в множестве № Так как 1т не содержит целых траекторий, кроме точки х = О, то «(1) ш О, Ь = О. Так как Ь вЂ” любая точка из й, то множество й состоит из одной точки х = О. Значит, все решения с 1х(0)~ < б стремятся к нулю при 1 - оо, и нулевое решение асимптотически устойчиво. Г -1 Пример 7. Уравнение х" + ах'+ хз = 0 сводится к системе 1 1 1 х =у, у =-х — ау.
(16) 1 1 Исследуегь устойчиво лн нулевое решение системы. 1 1 1 Решение примера. В случае а = 0 нз (1б) следует ау/ах = -хз/у, 2ут+х = с. Беря е = 2у~+х~, получаем аи/а1~, ш О. По теореме 3 Оа1 нулевое решение 1лтойчнво. Асимптотической устойчивости нет, так как для любого ненулевого решения х(С), у(1) ннеен 2у~(1) +х (1) = сопят 0 прн 1- со. 172 я 1У. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова В случае а > О берем тоже о = 2у'+ х~.
Тоща до — =-а у <О, Об) Равенство достигается только на прямой у = О. На этой прямой имеем у = -хз ~ О при х ~ О. Следовательно, все решения, проходящие через точки пряной у = О, кроне нулевого решения, туг же сходят с нее. По теореме 5 нулевое решение асимптотически устойчиво.
В случае а < О система (16) заменой 1 и у на -1 и -у сводится к системе х' = у, у' = -х + оу, отличающейся от (16) только знаком перед а. По доказанному, все решения втой новой систены иэ некоторой области хт + уз < р стремятся к нулю при 1 -«оо. Значит, для системы (16) решения стренятся к нулю при т - -оо. В примере 2 было показано, что при наличии хотя бы одного решения, стремящегося к нулю при $ -« -оо, нулевое решение неустойчиво. «е««««««««я ~зД Теорема 6 (теорема Четаева об неустойчивости).
Пусть х(Ф) В Π— решение системы (12). Пусть область Р пространства х лежит в шаре Я(~х) < е), а ее граница Г = Ге 0 Гы О Е Го, 1х) < е на Го, )х! = е на Гы множество Г, может быть пустым. Пусть в Р О Г существует непрерывная функция е(х), е(х) = О на Го, а в Р имеем е Е С', е(х) > О, бе/а1~(, ) > ш(х) > О, ш непрерывна в Р ГТ Г. Тогда нулевое решение системы (12) неустойчиво. Доказапельство.
Предположим, что нулевое решение устойчиво. Тогда найдется такое б > О, что любое решение х(1) с начальным условием х(1 ) Е Р, ~х(1 )~ < б, остается в шаре Я при 1е < 1 < со. Пока х(1) Е Р, имеем <Ь(х(1))/мй > О, значит', и(х(1)) возрастает и э(х(1)) > е(х(1о)) = ео > О. 173 Глава 4. Авгпанамные системы и успгайчиагнэпь Та часп Р множества Р ц Г, где е(х) > ее — ограничен- ное замкнутое множестшэ (в его предельных точках имеем тоже х Е Р О Г, е(х) > >ее вследствие непрерывности «(х)).
Решение х($) не может выйти из Р, ибо на Гв е(х) = О, а на Г, решение не попадает, так как !х(1)! < е. На Эа имеем ег(х) >,6 > О, И вЂ” е(х(Ф)) > ш(х(Ф)) > б е(х(Ф)) -е(х(Фа)) > !8(Ф-2~) со (Ю- оо). Это противоречит ограниченности функции е(х) в Ре. Сле- довательно, нулевое решение неустойчиво. В Пример 8. Устойчиво ли нулевое решение системы ! ! х = пх + Ьу — у, у = сх + ггу — х ! ! (е, Ь, с, Н > 0)'Р г. ! ! ! (17) ! ! Задачи для упражненидг (12], а 15, г8 923-930. 1УМ Решение примера.
При малых х, у в 1-й четверти нмеен х' > О, г»о,~~ ~»»»» р~~ вам~» ~ю !»,о>, и е = ху в области Р (х > О, у > О, х~ + у~ < е~). Тогда — =ху+ху = аху+~ -у +~ +Йгу-х ='ег(х,у). де! г ю з э г з (гг! При малом е и 0 < х < е, 0 < у < е сумма подчеркнутых членов положительна, поэтому в Р га(х, у) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
