Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Наружная граница кольца состоит из нескольких частей. В по- луплоскости у > Ь граница — дуга окружности (в+ т)'+ уз = Яг, К выберем позже. Тогда в силу (35) — [(х+ гп) + у~] = 2у(т — Р(у)) < О, 4т так как Е(у) > т при у > Ь. Аналогично, при у < -Ь берем дугу (х + Ь) + у~ = В~, рис. 30. На вертикальных отрезках МН и С27 имеем соответственно х' = у > О и х' = у < О, позтому через ннх траектории входят в К. Угловые козффициенты отрезков ВС и ЕН равны — <~ >, У 2Й Предельные циклы мы. Так как доказательство теоремы Бендиксона не приводилось, дадим для данного случая короткое доказательство. Рассматривая знак х' при у < 0 и р > 0 и знак р' на полуосях оси Оя, видим, что траектория из любой точки (х, 0) отрезка МС при возрастании Ф делает оборот вокруг точки (О, 0) и возвращается на МС в точку (р(х), 0).
Так как Р Е С', то различные траектории не имеют общих точек, поэтому функция р(х) возрастающая, и в каждую точку отрезка [р(хм), р(хс)[ (х — абсцисса точки М н т. п.) приходит одна траектория из какой-то точки отрезка МС. Значит, функция р(х) возрастает и не имеет скачков, поэтому непрерывна. Так как р(в) — а > 0 при я = х и р(я) — х < 0 при я = хс, то найлется такая точка я, Е [ям, яс[, что р(х,) = л,. Траектория, выходяшаа из точки (я„О), — замкнутая линия. Решение системы (35) с начальными условиями я(0) = я„у(0) = 0— периодическое. 4. Более подробно о предельных циклах см. [7[, б 28.
Другие физнче- П окне задачи с автоколебаниями разобраны в [15[, главы 3, 8. Известны различные достаточные условия существования замкнутых траекторий и предельных циклов, а также условия их единственности. Разработаны методы, позволяющие во многих случаях исследовать особенности расположения траекторий автономных систем на плоскости (особые точки, предельные циклы, сепаратрисы) и их качественные изменения (бифуркации) при малом изменении данной системы ([15[, [16), [17[, [191, главы 5, 6, [221).
Траектории в К", и > 3, изучены значительно меньше. ГЛАВА Дифференцируемость решения по параметру и ее применения 5 23. Дифференцируемость решения по параметру 1. Рассматривается система уравнений с параметром я П 4х — = У($, х, р), х(Фе) = а(р); (1) х = (х,,..., х„), у = ()„..., ~'„), При каждом р сисгема имеет решение. Оно зависит не только от $, но и от выбранного значения параметра я, поэтому обозначается х($, р). Теорема 1. Пусть при ($,х) Е Р, р Е М, (Р— область в К"+', М вЂ” интервал в И') все функции ф дЯдх;, д~;/др, 19б $ 23. Дофференцоруемасть решения па параметру а'(р) непрерывны. Пусть про всех р б М на отрезке 11, Ц Э $ решение х(1, р) задачи (1) существует и проходит в области 27. Тогда зта решение имеет производные дхз/др, непрерывные па (1, р).
Функции и; = дх;/др (1 = 1,..., и) удовлетворяют системе уравнений в вариациях ~ к.~„ад. 'асс — + — ', и;(1в)= ';(р) ('=1, " и). (2) / сП дх, У др ут! ,ца . с.с- ', о га г Пример 1. Найти дх/др при р = 0 от решения задачи 1 1 дх 2 ! — = х + 4р1+ р, х(1) = 2р — 1. Ж Решеное промера Условия теоремы 1 выполнены, так как функ- ции / = х~+ 4р$+ р~ и а(р) = 2р — ! непрерывны и имеют непрерывные производные по х и р. Дифференцируя (3) по р и 'обозначая х'„= и, получаем аи — = 2хи+ 41+ 2р, и(1) = 2. сП (4) 197 м.о ] фд,т ~ и1н з, ьхс(ра"~'' В (2) про зводные от /, зависят от аргументов 3, х, (1, р),..., х„(с, р), р, где х;($, р) — координаты решения х($, р) при том значении р, при котором разыскивается дх/др. Если решение х($, р) известно хотя бы при одном значении р, то системами позволяет найти дх/др при этом р.
Систему (2) можно не запоминать, она получается посредством дифференцирования обеих частей системы (1) по р; при этом считаем, что х = х($, р), и дх,/др обозначаем н,. Глава 5. Дифференцнруемосгпь решення по паремегпру Здесь 1з = О, а х — решение задачи (3) при р = О, то есть задачи Их/й = х~, х(1) = -1. Отсюда х = -1/$. Теперь (4) принимает вид Ии 2и — = — — +41, и(1) = 2. г(1 Решая зто линейное уравнение (выкладки пропускаем), получаем и = $~+ с$ ~. Из начального условия находим с = 1. Итак, 12 + 1-2 Дояазапельстпво гпеоремы.
Зафиксируем ~и б Ж. Имеем дх . х — х — = 1пп— др йл р-р' (5) где х = х(Ф, р) — решение задачи (1), но с р вместо р, то есть д«(1,Я Я,х,Я вЂ” Я,х,р) ~Ы Ф Ф а(Д вЂ” а(р) «(со Ж = Ф Ф (7) Ы й У($ х' р)' х($0) а(р)' (6) Обозначим дробь в (5) через «(1, Д. Идея доказательспза теоремы.
Составляем дифференциальное уравнение для «(1, р) при р ~ р. Его правая часть при р -+ 7з стремится к правой части уравнения (2). Поэтому и решение «(Ф,Д при р -+ р, то есть дробь в (5), стремится к решению уравнения (2). Значит, предел в (5), то есть дх/доз, сушествует и удовлетворяет уравнению (2).
Из уравнений (6) и (1), вычитая и деля на р — р, получаем а 23. Дифференцируенаапь решения па паранегпру Преобразуем первую дробь в (7). Положим Р(в) = У(1,*', р'), х = х+ в(х — х), и = и+ в(7г — и). Тогда Я, х, р) — у(4, х, 7г) = Р(1) — Р(0) = Р'(в) Вв, о Р~(в) = — (х — х) + — (7о — р) дУ вЂ” дУ— дх' др — есть матрица Поэтому из (7) имеем 1 Ие 1 — — ( Р'(в) г1в = а Р-р/ о ~Ь вЂ” = Н(1,'Де+ Ь(Ф, Д.
(9) ! 1 Ив — + ( —, Ив. (8) Г дЯ,х',1о') х — х Г ду дх' й — и / др,' о о Так как ду/дх, д~/дуг непрерывны по совокупности переменных, то подынтегральные функции непрерывны по Ф, х, х,н,7в,в, а интегралы — по $,х,х,гв,7Т. Из (1) х = х($,р) непрерывно по $. Из (б) по теореме 7 8 7 х непрерывно по ($, Д вЂ” по совокупности переменных. Поэтому последние два интеграла в (8) — непрерывные функции от ($, Д, включая значение ~и = р. Обозначая их Н(г, Д и 7г(Ф, Д, получаем Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру Функция «(3, Д была определена при р -„Ь р.
Доопределяем ее при р = р как решение уравнения (9) с начальным условием «(Фь, р) = а'(р), полученным из начального условия (7) при р -+ р. По теореме 7 97 функция «(1, Д непрерывна по,и, включая р = р. При р = р имеем х' = х = х($, р), р* = р, подынтегральные выражения в (8) не зависят от я. Тогда в (9) матрица Н и вектор /ь принимают значения б/ /Щ~ б/ Н(1,„)= =~ — '(, й(1,„)= —. бх ~,Ъ,(,.„, „' ' бр Таким образом, для «(1, р) уравнение (9) и начальное условие «(1ь,р) = а'(р) совпадают с (2), то есть «(1, р) удовлетворяет (2). В силу непрерывности «(1,Д существует 1ип «(1, Д = «($, р).
То есть в (5) существует производная дх/др = «(1, р) и координаты иг вектора «(1, р) удовлетворяют системе уравнений и начальным условиям (2). Теперь пусть р меняется на интервале И. Тогда правые части системы (2) (и производные д/ди. от них) непрерывны по ($, р). По теореме 7 В 7 решение системы (2), то есть производные дх;/др, тоже непрерывны по (1, р). ° [2.1 Дифферешшруемость решения ио начальным условиям (следствие теоремы 1).
Рассмотрим начальную задачу Их,. — ' = /,(1, х„..., х„), х;(1е) = хьз (1 = 1,..., и). (10) Пусть при (1,х) Е 27 все Функции /, и дл/дх непрерывны, и на отрезке ($,, $з) Э $ь решение задачи (10) существует и проходит в области Ю. Тогда при 1, < $ < 1, существуют непрерывные производные решения х,.($) (1 = 1,..., и) по начальным условиям хщ (м = 1,..., и). Функции и~ —— дх;/дхьь (1 = 1,..., и) 200 $23. Дифференцируемость решения по параметру удовлетворяют системе (П) Здесь /; = /г($, х (1),..., х„(1)), где х~(1),..., х„($) — решение задачи (10).
Доказательство. Пусть хьв — — р, а при 2 ~ й хю не зависит от р. Тогда система (10) удовлетворяет условиям теоремы 1. Следовательно, производные дх,/дх аа дх,/дзь = и, существуют, непрерывны и удовлетворяют системе (2), которая в этом случае превращается в (11). ! Задачи для упражнений: [12[, 518, Ф 1064-1073 и 526, %186-194, 196-199. Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, функиии /и а;(р), имеют непрерывные производные по х,,..., х„, р до порядка гп > 2 включительно, в том числе смешанные производные.
Тогда решение х(1, зз) имеет непрерывные по 1, р производные по 7ь до порядка пь включительно. Доказательство производится с помощью индукции по пь. Для гп = 1 угвержаение теоремы 2 следует из теоремы 1. Пусть упюрждение верно для производных до порядка пь — 1 > 1. Докажем, что оно верно и для производных порядка пь. Так как д'"х,/д7з™ = /рь ' и;/дзь~ ', а функции в, = дх;/др (2 = 1,..., и) удовлетворяют системе (2), то надо проверить, что правые части в (2) имеют непрерывные производные по и,, р до порядка пь — 1 включительно. 201 Глава 5.
Дифференцируемость решения яо параметру По условию, 1; Е С~ по х,..., х„, р, значит, в (2) дЦдх и д/,/др принадлежат С" ' по аргументам х,,..., х„,р. Но каждое х = хь(г„р) есть координата вектора х($„и), являющегося решением задачи (1), где 7 и а(р) принадлежат С, значит, принадлежат и С ' по х,,..., х„, ~и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
