Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 24
Текст из файла (страница 24)
20 в случае Л < 0). Узлы двух последних типов, как и рассмотренные выше узлы с Л, ~ Лз, являются устойчивыми, если Л,, Л < О, и неустойчивыми, если Л„Лз ) О. В соответствии с этим ставятся стрелки на траекториях. В. В Л„= +Рь,РМО, то собственные векторы комплексные, линейно независимые (так как Л, ~ Лз). Пусть т — собственный вектор для Рис. 20 Л, = а + бь', то есть Ат = (а+ рь)т. Заменяя все числа, включая координаты вектора т, на сопряженные, получаем А1и = (а-рь)Ж, то есть т — собственный вектор для Лз — — а-Вь. Пусть е = и+ 1о, где векторы и и е — вещественные. Тогда т = и — ьв. Векторы и = (т+ че)/2 и е = (в — че)/(2ь) линейно независимы, так как получаются из че и т невырожденным линейным преобразованием. Вектор-функция х = се» +РО'че, где с — любое число, является решением системы (26).
Подставляя с = ре~, т = и+ Ы, получаем х = ре "'~+ (и+ ье) = (р,(Ф) + ьр (с))(и+ ье), (29) р,(Ю) = ре~ сов (»92+ й), р (с) = ре зш (фа+ й). Матрица А — вещественная, поэтому решением системы (26) является также Кех = ир,(С) — ерз(2). Вещественное решение Кех в вещественном базисе и, -е имеет координаты р,($), рз(2), см. (29). Переходя к полярным координатам г, р, то есть полагая р, = г см»е, рз = г сйп р, получаем г = ре~, »р = »92+ д, (30) 184 в л1.
Особые мочки где р > 0 и д — произвольные постоянные. Формула (30) дает все вещественные решения, так как начальная точка решения р,(0) = р сов И, рз(0) = р з'и Р Уг есть произвольная точка плоскости у~ уз. В случае а = О, то есть Л, з — — ~,91, траектории (30)— окружности г р сопзг (рис. 21). Особая точка называется иел- У~ >ЩАМ. В случае а Ф 0 траектории (30) — логарифмические спирали р = — 1п -'+ И (О < г < со), в Рис. 21 о р делающие бесконечно много оборотов вокруг начала координат (рис.
22). Особая точка называется 4юкусам. Фокус устойчивый, как на рис. 22, если а < О, и неустойчивый, если а > О. Г. Если матрица А имеет одно или два собственных значения, равных нулю, то ее жорданова форма имеет один из трех видов 0 Л ' 0 0 ' 0 0 Так как бег А = О, то система ах~ + Ьхз —— О, се, + Вез —— 0 имеет бесконечно много решений, значит, особых точек у системы (26) бесконечно много. Система с такой матрицей легко решается. Рисунки здесь не приводятся, так как при добавлении в такую систему слагаемых, малых по сравнению с линейными, картина траекторий обычно резко меняется.
185 Гг еха 4. Аетоиомные сиапемы и усоюйчиеоппь Рис. 22 Рис. 23 ~2Д Рисунки 16-22 изображают траектории в координатах р„рз. Они связаны со старыми, координатами х„хз линейным преобразованием. На плоскости х„х траектории мотут иметь, на- 18б аи1. Особые лично Пример 11. При каких значениях параметра а особая точка ! ! системы ! ! х' = 2х — 4у, у' = ах — бу, ! ! ! ! только одна и является седлом? узлом? фокусои? Дать чертеж траекторий при а = 8.
! ! Решение примере. Пишем уравнение дяя Л„Лз и его дискриии- нант. дискриминант 23 = 64 — 16а. По теореме Виета Л, +Лз =-4, Л! Лз = 4а-12= <О при а<3, =0 при а=3, >О при а>3. 187 пример, такой вид, как на рис. 23. Стрелки могут быть направлены в ту или другую сторону в зависимости от данной системы. Чтобы выяснить расположение траекторий в координатах х„хз, не нужно находить зто преобразование.
Тип особой точки и ее устойчивость или неустойчивосп» определяипся по собственным значениям Л„Лз матрицы А. Прямолинейные траектории всегда идут по направлениям собственных векторов, а кривые в случае узла с Л, ,-е Л, касаются в точке (О, О) того собственного вектора, у которого 1Л~ меньше. В случае фокуса недо в точке х, = 1, хз = 0 (илн х, = О, хз = 1) построить вектор скорости (х'„хз). Траектория, проходящая через зту точку, касается в ней этого вектора.
Далее она делает обороты вокруг особой точки, приближаясь к ней в случае устойчивости и удаляясь в случае неустойчивости. Глава 4. Авгпононные сисгпемы и устойчивоопь Замечание. Интегральные кривые уравнения пу сх + ву Ых ах+ Ьр являютсл траекториями системы (26). Чтобы исследовать зто уравнение, надо исследовать систему (26) и не включать в окончательные выводы заключения об устойчивости (или неустойчивости) и о направлении движения по траекториям. ! Задачи для упражнений: [12], 6 16, РД 961-980; $ 25, ЗД 161-173. 3. Для автономной системы П г 1 х~ = зг(хо аз), хз = зз(хохз) (31) >О при а<4, Л,,Л вЂ” вещественные различные, Р= =0 при а=4, Лу Лз — — -2, < 0 при а > 4, Л„Л вЂ” комплексные. Следовательно, при а < 3 имеем Л, ° Л < О, особая-точка седло; при а = 3 ммеем Л, = О, Л = -4, особых точек много; прм 3 < а < 4 корни вещественные, Л, Лз > 0 — узел (при а = 4 вырожденный, Л, = Лз — †-2), узлы устойчивые, так как Л, + Лз = -4 < 0; при а > 4 корни Л,, Л комплексные, Ке Л = -2 < 0 — упойчивый фокус.
У При а = 8 имеем х' = 2х -4у, р' = Вх — бр, особая точка — устойчивыд фокус. В точке х = 1, у = 0 имеем х' = 2, р' = 8,значит, траектория из точки (1, 0) идет сначала в область у > О, совершает обороты против часовой стрелки, приближаясь к точке (О, 0) Рис. 24 вследствие устойчивости (рис. 24). глава 4. Автономные системы и устойчивость ° ееееаеееи [ [ 4. Известны методы, позволяющие исследовать особые точки более сложных систем, в частности, систем вида х' = Р(х, р), у' = Я(и, р), где Р, ь) — апгебранческне многочлены илн сходящиеся в окрестности особой точки (О, 0) степенные ряды ([14[; [19[, гл.
5; [16[, 920-22). Изучены условия, прн которых систему вняв (32) в окрестности особой точки (О, 0) можно привести к линейной системе с помощью днфференпнруемого преобразования координат (см., в частности, [2[, гл. 6, 98). Изучались нормальные формы, к которым можно привести систему в тех случаях, когда онв не приводится к линейной системе ([19[, гл. 5; [2[, гл.8). Для особых точек систем и' = Аи+ р(х), х б К"-, о > 2, р(и) = О(~х~~) (и -+ 0) изучались множества решений, стремящихся к особой точке при 1 - со нлн прн 1 -+ -сс.
Имеются методы, позволяющие получить приближенные представления таких решений [25[. МЬааааюв46 5 22. Предельные циклы [1.~ Замкнутые траектории автономных систем на плоскости чаще всего бывают двух типов. А. Имеется бесконечное множество замкнутых траекторий, вложенных друг в друга и заполняющих некоторую область. Пример: траектории вблизи особой точки типа центр. Б. Отдельные замкнутые траектории, к которым все близкие траектории неограниченно приближаются (необязательно монотонно) при 1 — +со или при 1 -+ -оо. Такие замкнутые траектории называются предельными циклидги. Предельные циклы бывают устойчивые — к которым все близкие траектории приближаются при 1 -+ +оо (рис.25), неустойчивые — к которым траектории приближаются при Ф -+ -оо 190 322.
Предельные Нинлы Рис. 25 Рис. 26 Рис. 27 (рис. 2б), и лолуустойчивыв — когда с одной стороны от цикла траектории приближаются при 2 -+ +со, а с другой — при 2 -+ -со (рис. 27). Таким образом, здесь устойчивость понимается в ином смысле, чем в 218. 1 Пример 12. Систена (в полярных координатах) 1 1 * 1 1 г =сг(1 — г ), гр =1 (тп ЕМ) 1 1 ! имеет заикнутую траекторию г = 1. В случае с > О и нечетного тп > 1 в области О < г < 1 ииееи !' > О, з(Ф) 1 возрастает, а в области ! > 1, напротив, т < О, т(Ф) г 1 ! Глава 4.
Автономные системы и устойчивость г ! убывает. При $ — +со траектории с обеих сторон при- ! ближаются к окружности г = 1. Она является устойчивым ! предельным циклом. Аналогично показывается, что в случае ! с ( 0 и нечетного и! > 1 цикл г = 1 неустойчивый. В случае с ~ О и четного гм > 2 цикл полуустойчивый. ! 2. Предельные циклы были обнаружены Пуанкаре при ис- П следовании некоторых дифференциальных уравнений. Позднее физики обнаружили физические системы, в которых устойчивые периодические движения воз- В никают без воздействия М Ь С периодической внешней силы. Эти движения назывшотся автоколебаниями.
А.А. Андронов показал, что такие системы Рнс. 23 описываются дифференциавьными уравнениями, имеющими устойчивые предельные циклы. 'Примеры таких систем: часы, генераторы электрических колебаний высокой частоты, имеющиеся в радиопередатчиках. Простейший ламповый генератор (рис. 28) состоит из радиолампы с нитью накала, анодом и сеткой, колебательного контура ЬС1с, связанного индуктивностью М с сеткой, анодной батареи и батареи накала. Сила тока з, проходящего через сопротивление Я и катушку самоиндукции Х, удовлетворяет уравнению ГС2" + КСà — 1(М2')+ У = О ~2' = — ~, (ЗЗ) И'1 192 я 22.
Предельные циклы где ~(е) — характеристика лампы (рис. 29), выражающая зависимость силы анодного тока 1, от напряжения е на сетке. Функция у(е) Е С, возрастает при е1 < е < 92, У(е) = О (е < е$), ,г(е) =1, = сопзг (э > ез). Замена $~IХС = т, л($)— У(0) = х(т) приводит уравнение (33) к виду 0 Рис.
29 хн + У(х') + х = 0 х' =— Йт/ у(у) =л~ — у-у ( — у1+у(о). = ~ь ~,Еьг (34) Здесь лл(0) = О. От уравнения (34) переходим к системе х' = у, у' = -х — л'(у). (35) Положение равновесия только одно: х = у = О, то есть 1(ь) ке у(0) =. соим. С помощью теоремы 7 получаем, что в случае Р'(О) > 0 оно асимптотически устойчиво, а в случае л" (О) < 0 неустойчиво. ~ЗД 193 Глава 4.
Авгпононные сиппемы и уппойчиеоапь секаюших эти отрезки, ф = — — '. в+У(м т Здесь 1у( < Ь, Г(у) ограничено. Выбирая К достаточно большим, мм увеличиваем ~х~ иделаем Д < — —. е ь Тогда траектории через эти отрезки будут входить в К. Таким образом, из замкнутой кольцевой области К без особых точек не выходит ни одна траектория системы (35). Из теоремы Бендиксона ($17, п. 2, 5') следует, что в К имеется замкнупш траектория систе- а на траекториях, пере Рис. ЗО Дояоэомолызпео. На плоскости *, у построим замкнутую кольцевую область К без особых точек, из которой не выходят решения системы (35). Внутренняя граница колыш К вЂ” окружность х + у = г, где 2 2 2 г такое, что уЕ(у) < О при О < !у( < г. Так как при ~у! < г в силу системы (35) ~о(хг + уз) = -2уЕ(у) > О, то решении системы (35) не могут выходить из Х внутрь крута аз+уз < гз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
