Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 27
Текст из файла (страница 27)
й 24. Асинппютические методы решения уравнение (28) при малых р имеет и другое решение с периодом 2я. Оно близко к неустойчивому положению равновесия хз — — -1 м отыск(~вается аналогичным способом. Можно доказать, что оно неустойчиво. ! Задачи длл упражненийг [12], ф 18, В 1079-1083. ° ееееее9 П Б. Естественно возникает вопрос, в каких случаях разложения по степеням параметра р, полученнме в следствиях теорем 2 и 3, можно продолжить до бесконечного ряда Тейлора, сходящепкя к искомому решению при малых р. Этот вопрос решается с помощью теоремы Пуанкаре об аналитической зависимости решения от параметра, см. [13], гл. 1, б 6, теорема 1 3 и [2], гл 6, 9 2, теорема 6 2. 1' и $3, п.
1. О методах исследования устойчивюти периодических решений, получаемых методом малого параметра, см. [2], гл. 7, 83 и [33], гл. 3, 9 10-15. В частности, при условиях теоремы 3 асимптотическая устойчивость периодического решения при достаточно малых ]7з] обеспечена, если двя матрицы А все собственные значения Л,.
имеют Ке Л,. ( О, а неустойчивость — если есть хотя бы одно Ке Л,. ) О. Поэтому в примере 4 при малых р решение (30) асимптотически устойчиво, а периодическое решение, близкое к я = -1 (для него Л = -1 х ч3), — неустойчиво. Метод отыскания периодических решений при резонансе, то есть когда условие (19) не выполнено, изложен в [13], гл. 2, ф 8, пункты 2 и 3; примеры там же; в [2], гл. 5, б 3, п.
2 и в [33], гл. 2, 9 6, 7. Об отыскании периодических решений автономной системы х' = ля+ рУ(в, р) в случае, когда при р = 0 периодическое решение известно, см. [13]„гл.2, 98, пункт 4; [2], гл.5, 83, п.3 и [33], гл.2, 9 11-13. Метод малого параметра применялся к широкому кругу задач, в частности, в [33], главы 4-8. Методы последовательных приближений для уравнений с малым параметром разработаны в [24]. 211 Глава 5. Дифференцируемоопь решения ло параметру Существенно отличнмм от предыдущих является случай, когда малый параметр является множителем при производной, например, рх' = Г(х, р), р' = у(х, р).
Здесь нет непрерывной зависимости от р при р -+ О, и решения имеют другие свойства, см., например, [13], гл.4, $б и [!5], гл. 10, $3,4. Известно много работ, в которых подробно исследуются такие случаи. ° е~~~~~~мв 5 25. Первые интегралы Первые интегралы применяются при исследовании н решении систем дифференциальных уравнений. Знание одного первого интеграла позволяет уменьшить число неизвестных функций в данной системе. Знание» независимых первых интегралов системы х! — — Гг(8, х!,..., х„), з = 1,..., » (($, х!,..., х„) Е Ре, г !, ..., г„б С ) (31) позволяет получить решение этой системы без интегрирования. В прикладных задачах первые интегралы часто имеют физический смысл".
закон сохранения энергии, закон сохранения количества движения — зто первые интегралы уравнений движения механической системы. ~1.] Первым интеералом системы (31) в области Р С Ре называется функция е(г, х,,..., х„) е С, сохраняющая постоянйое значение вдоль каждой проходящей в Р интегральной кривой системы. (Иногда первым интегралом называют не функцию е($, х„..., х„), а соотношение е(г, х„..., х„) = с, где с — произвольная постоянная.) 212 я е5. Первые «нвегралы Геометрический смысл первого интеграла. Пусть д«/дх, ~ 0 для некоторого,з и с — любое из значений, принимаемых функцией «в области 23.
Тогда равенспю «($, х„...,х„) = с определяет в пространстве $, х„..., х„и-мерную поверхность, целиком состоящую из интегральных кривых системы (31). То есть через каждую точку поверхности проходит интегральная кривая, лежащая на поверхности. Докажем это. Пусть точка р лежит на поверхности « = с. Тогда в этой точке « = с.
На интегральной кривой, проходящей через эту точку, первый интеграл «сохраняет постоянное значение — значение с. Значит, эта кривая лежит на поверхности «-= с. Требование, чтобы функция «класса С', сохраняла постоянные значения вдоль интегральных кривых системы (31), равносильно тому, что ее полная производная в силу системы (31) равна нулю, то есть д«д« д« + Л(1 х~"" хп)+...+ — Я,(1,х,,...,х„)=О. (32) Любой первый интеграл системы (31) удовлетворяет уравнению (32). Знание первого интеграла, у которого д«/дх; ~ 0 для какого-нибуды, позволяет свести систему (31) к системе с меньшим числом неизвестных функций.
Для этого разрешаем равенство «(1, х„..., х„) = с (возможно, в меньшей области) относительно х; и подставляем полученное выражение х, через остальные переменные в уравнения системы (31), кроме 1-го уравнения. 12.3 Для любой функции р Е С' и первого интеграла «(или нескольких первых интегралов «,,...,«а) сложная функция ~р(«(1, х,,..., х„)) (соответственно, р(«„..., «а)) тоже посто- 213 Глава 5.
Дифференцируемость решения по параметру анна вдоль каждой интегральной кривой системы, значит, является первым интегралом. Поэтому первых интегралов бесконечно много. Первые интегралы оы..., оь системы (31) называются независимыми (или функционально независимыми) в области Р, если в каждой точке этой области ранг матрицы (Ж;/В*.),, равен й. Функциональная независимость отличается от линейной. Из линейной зависимости функций е„..., и следует их функциональная зависимость (тогда строки матрицы, см. выше, линейно зависимы и ее ранг меньше Тг). Обратное неверно, например, функции е, = $ — х, и еэ —— (с — х~) функционально зависимы, но линейно независимы в любой области.
Следующая известная теорема неоднократно применяется в Я25,26. Теорема о неявных функциях. Дона система уравнениИ 1ог(У„...,У„; х)=О, 1=1,...,н (хбй", пь)~1). (33) Функции р; Е С в окрестности точки М(у, = ую,..., у„= уын х = хе), а в этой точке равенства (33) выполняются и якобиан бег (Вр;/Вуу) „, „,-ь О. Тогда в некоторой окрестности точки хе сиппему (33) можно разрешить относипмльно уп...,у„, точнее, существуют такие непрерывные функции у,(х),..., у„(х), чпю для 1 = 1,..., н ~рг(у,(х),..., у„(х), х) ьл О, у,(хе) = уяп в = 1,...,н.
Такая система функций у,(х),..., у„(х) единственна и у; Е С', ь 1» '»н' в 25. Первые интегралы Даназапельопва. Для любой точки (ге, с,,..., с„) Е Ре по теореме 2 а 5 существует единственное проходящее через эту точку решение системы (31) х;=у;($,сн...,с„), 1=1,...,и. (34) В силу следствия теоремы 1 5 23 ~рг Е С'. Так как у;(го ст " ° се)=с! 1=1 " то при Ф = 1 матрица (ду,/дс );„, „— единичная и ее детерминант — якобиан функций р„...,~р„— равен 1. По теореме о неявных функциях, где теперь надо взягь р, =с,, ь = 1,...,и, х = (1,х,,...,х„), систему(34) можно разрешить относительно с,,..., с„в некоторой окрестности точки М с; = ег($, х„..., х„), ь = 1,..., и. (35) Покажем, что функции е; — независимые первые интегралы системы (31).
По теореме о неявных функциях е; Е С'. Числа с,,..., с„— одни и те же во всех точках интегральной кривой, проходящей через точку ($е, с„..., с„). Значит, функции е~ постоянны вдоль интегральных кривых и являются первыми интегралами. При любом фиксированном 1 (вблизи ге) системы функций (34) и (35) взаимно обратны, позтому произведение их якобианов равно единице: оЧ гь2=1~ Ь, = деà — '; Ьг = бег 215 Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру Значит, Ь ~ О, ранг матрицы (до,/дх ) равен», и первые интегралы е,,..., о„независимы. И Теорема Б (о получении решения с помоп1ьш первых интегралов). Пусть о,,..., о„— независимые первые интегралы системы (31) в области Р. Пусть точка М(1е, хм,..., хпе) Е Р и с; = ог(М), б = 1,...,».
Тогда решение системы (31) с начальными условиями х,(1е) = хм, б = 1,..., », определяепкя, как неявная функция, системой уравнений иг($,х„...,х„) =с;, 4=1,...,». (36) Доказтпельство. Эти уравнения удовлетворяются в точке М, и в этой точке бег (до;/дх ),З, „„-ь О в силу независимости первых интегралов. По теореме о неявных функциях систему (36) в некоторой окрестности точки М можно разрешить относительно х„..., х„: хЗ— - «З(1,с„...,с„), з =1,...,». (37) Функции (37) удовлетворяют системе (36), так как получены из нее.
С другой стороны, решение системы (31) удовлетворяет (36) при 1 = $ в силу выбора постоянных с,,..., с„. Оно удовлетворяет (36) и при друтих 1, так как первые интегралы постоянны вдоль решения. Вследствие единственности неявной функции это решение имеет координаты х;, совпадающие с функциями (37). ! Задачи для упрткнении: [12], $ 19, 1П 1061-1064, 1066. Теорема 6.
Нсяи е„..., и„— независимые первые интегралы системы (3!) в окрестности ТТ точки М'(1ь, х*„...,х'„), 216 в 25. Первые анаегралы Доказхвельсвва. Пусть точка М(го, х,о,...,, х,ц>) Е б' и с; = е;(М), 1 = 1,..., и. Тогда, как в доказательстве теоремы 5, система (36) определяет решение (37) системы (31). Такие решения заполняют некоторую окрестность 77, С 77 точки М'. Вдоль каждого из этих решений имеем ов = сопзг, то есть ~и(1, 1а~($, с,,..., с„),..., 1о„($, с,,..., с„)) аа — = '®(го 1о~(1о с~ " ° си) ".
9'в(1о ср". сп)). Обозначим правую часть через Р(с„..., с„), тогда Р Е С'. Переходя от с,, ...,с„к х,,...,х„и к е,,...,е„согласно (37) и (36), получаем е(Ф, х,,..., х„) вз вз Р(е,(1,х„..., х„),..., е„(1,х,,х„)). 3. Первые интегралы автономией системы. Система П х', = 1,.(хн..., х„), 1 = 1,..., о (Уы..., 3'„Е С') (38) удовлетворяет условиям теоремы 4 и поэтому в окрестности любой точки имеет и независимых первых интегралов вида (35), Так как в системе (38) функции 7; не зависят от 1, то часто бывают нужны первые интегралы, не содержащие $.
217 Глава 5. Дифференцкруемоопь решен«л по парамегпру Доказапельсглео. Пусть точка В(х,,..., х„е) — неособая, то есть в ней хотЯ бы одно 7, ~ О, напРимеР, 7„(хм,..., х„е) те О. Тогда /„~ 0 и в некоторой окрестности У этой точки. Деля на а-ое уравнение остальные уравнения системы (38), получаем в У 4хг /г(хо ° ° °, х„) По теореме 4 эта система в некоторой окрестности точки В имеет и — 1 независимык первых интегралов «;(х„..., х„), 3 = 1,..., и-1.
Они постоянны вдоль решений системы (39), то есть вдоль траекторий системы (38). Значит, они являются первыми интегралами системы (38). Независимость первых интегралов «, системы (39) означает, что ранг матрицы (д«г/дх );, „, равен и — 1. Отсюда следует, что и для системы (38) эти первые интегралы независимы. Замечание. В теореме У нельзя отбросить условие «в окрестностн неособой точки». Например, при и = 2 в окрестности особой точки типа узла нлм фокуса не существует нн одного первого интеграла вида «(х,,х ). В самом деле, у такой точки Р есть окрестность $г С Ж', через каждую точку которой проходит траекторня, стремящаяся к Р прн Ф - оо (нлм прн Ф вЂ” -оо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
