Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 23
Текст из файла (страница 23)
По теореме б нулевое решение неустойчиво. в,сО. Устойчиеосшь по первому приближению П 4. Вследствие трудностей прн подборе функции Ляпунова возникает вопрос о ее существовании — вопрос,'когда можно пытаться подбирать функцию е(х) или е(йх), удовлетворяющую условиям теорем 3 и 4 (или подобных теорем), а когда нет. Массера доказал, что для систем вида х' = у(х), х Е К', в окрестности асимптотическн устойчивого положения равновесия всегда существует функция Ляпунова е(х), а для систем х' = у(г, х) с периодической по $ функцией у — периодическая функция Ляпунова в(йх) ([34], 973). Лля устойчивого положения равновесия системы х' = у(г, х) существует функция Ляпунова «(г, х) ($28), гл. 4, $9), а функция е(х) может не существовать даже для системы х' = у(х) ((32), стр.
57). Однако не существует общих методов построения функции Ляпунова в случаях, когда решения системы неизвестны. Для нужд приложений разрабатывались методы построения функций Ляпунова для отдельных классов систем, например, в (21). $20. Устойчивость по первому приближению 1. В теореме 2 были получены условия асимптотической устой- П чивостн и условия неустойчивости для линейной системы с постоянными коэффициентами х' = Ах. Следующая теорема 7 утверждает, что в случае шах Ке Л, ~ О этн условия пригодны и для нелинейной системы х' = Ах+ р(г, х), где А — постоянная матрица, ~р(е,х)~ < 3Е'(х) = о(~х~) при х-+ О. К такому виду приводятся и многие другие системы.
Пусть х = хе — — (хне,...,х„е) — положение равновесия системы х' = у(х) (х Е И"), то есть у(хе) = О. Разлагая у(х) вблизи точки х = х по формуле Тейлора до членов первого порядка малости, полу- 17$ Глава 4. Автономные системы и устойчивость чаем систему х; = вп(х, — хш)+... +а,„(х„— хке)+юр,(х), 8 = 1,...,п, где а, = В1,/ВхД~, р,(х) = о(!х — хе!) при х -+ хе. Перенося начало координат в точку хе заменой х = хе+ у, получаем (в векторной записи) У = АУ+ Ре(У). 1Ре(У) = о(!У!) прн У -' О матрица А = (а, ),„, „, а," см.
выше. В более общем случае, когда матрица А зависит от г, теорема 7 не применима. Теорема 7 (еб устейчивести яе первому приближение). Рассмотрим систему х' = Ах+ р(4, х), х б К". (18) Пусть при Ф > О, !х! < ре функция 1р б С', !р(Ф, х)! < у(х)!х!, у(х) -+ 0 (х -+ 0). . 1) Если матрица А имеет есе Ке Лу < О, то нулевое решение асимптотически усп1ойчиво. 2) Если матрица А имеет хотя бы одно Л с Ке Л > О, то нулевое решение неустойчиво.
3) й «критическом» случае, то есть ковда шах Ке Л = О, наличие устойчивости или неустойчивости зависит не только от матрицы А, но и от функции р(Ф, х). Доказательство. Докажем теорему в случае, когда все КеЛу <О. Оценим столбцы матрицы е'". Эта матрица — фундаментальная для системы у' = Ау, ее столбцы ф'($),..., 17б в вО. Уавобчивоапь по первому приближению чт (т) — решения этой системы. Каждое решение имеет вид (11). Пусп а ) 0 такое, что все Ке Л < -а < О. Тогда Ке Л + а ~( -р < 0 для всех т'; У'.(1) — многочлен, поэтому ~У'(1)е1"~+ "~ < ~У~(1)/ен(~ — О при 1 -+ оо, значит, ~~у(1)е1ь')е" ~ < су (О < Ю < со), и ~У'(1)е")е ~ = ~У'(1)е1х~+~1'~е ~ (~ с е ()(.
1 Поэтому при некотором с = сопи имеем оценку (та~(Е)~ < се (и (й = 1, ..., а). (19) Функцию Ляпунова возьмем в виде и(х) = (е™х~ Йт. о (20) '('"х('=Ъ(т)~'=р.р=~;4"(т)хх б"(т)=Р(тМ(т). (б=) В силу (19) ~И,.~(т)~ < с~е т~. Пользуясь этим, из (20) полу- чаем В 00 (~)=т ь„.. р, ь„=~~,()ш ='ь„.. (г~) 177 Решение системы р' = Ар с начальным условием р(0) = х = (х,,..., х„)т, есть р(1) = е'"х = хф'(1) +... + х„)Ь" (1), так как ф~(1) — решение, у которого ф~(0) есть й-й столбец единичной матрицы.
Поэтому Глава 4. Аеоюнонные сисптены и уапойчиеоапь В силу оценки функций дй(т) интегралы от ннх, а значит и интеграл в (20), сходятся. Найдем до/~И в силу системы у' = Ар. Имеем 00 до(х) ~ ди(р($)) ~ д ( л ( )12 ~ ( ) 1е =де дь 1ю о дь У 1ю=о о где р(1) — решение системы 1/ = Ар с начальным условием р(0) = х, то есть р(Ф) = е'~х. Подынтеграаьное выражение равно !е™е'~х!~ = !е!'+'1"х!~. Переходя от т к е = т+ Ф, получаем, что выражение (22) равно — 1 !е'~х!~ де~ = —,!е'~х!~! = -!х!2.
(23) Теперь найдем до/д1 в силу системы (18) — = (раб о(х)) ° (Ах+ 12(Ф, х)) = до(х)! а (!В) = (йгад о(х)) ° Ах+ (рад о(х)) ° р(1, х). Первое слагаемое в силу (13) есть до/дй~,„„ы, значит, равно выражению (22) и (23). Оценим второе. Из (21) получаем, пользуясь неравенством Коши ($4) и считая !Ь; ! < Ь, 1,7' = 1,..., п, Э$ Е1 Ь2 ь ь !8гадо(х)! = ) ~ — ) (4Ь и !х!; !гр(Ф,х)! ~ (у(х)!х!. дх; 178 Позтому в той области, где у(х) < 1/(4Ьм). Кроме того, из (20) имеем и(0) = О, и(х) ) 0 при х ,-Е О.
Следовательно, и(х)— функция Ляпунова для системы (18), и нулевое решение асимптотически устойчиво по теореме 4. Доказательство утверждения 2) (о неустойчивости) не входит в программу курса. Оно имеется, например, в 1281, стр. 2б2-264. Утверждение 3) о критических случаях подтверждается примером 10. ~зД Решение примера.
Составляем характерипическое уравнение дяя линейной части системы По теореме Виета Л, + Лг — †-2 < О, Л, ° Лг — — а — 2а — 3 = (а — 3)(а + 1). 179 ! ! ! ! ! ! ! ! ! $ яй. усп!ойчивоапь по первому приближеншо — ~ <-!х ~ + 2Ьм!х~ "у(х) ф < --ф !?и(х) г ! г (!8) 2 Пример 9. При каких значенмях параметра а Е Ж нулевое ! решение системы х' = х + (2 — а)у, (24) у' = ах — Зу+ (а — 2а — 3)х ! ! асимптотически устойчиво? устойчиво? неустойчиво? ! 1-Л 2-а! г ! ~ = О, Л + 2Л+ а — 2а — 3 = О. а -3-Л~ Глава 4. Авпюномные сшпвиы и устойчпвосшь В зависимости от значения параметра а получаем 1) -1 < в < 3, тогда Л, ° Лз < О, существует корень Л > О.
По теореме У нулевое решение неустойчиво. 2) а<-1 или а>3, тогДа Л, Лз>0. УчитываЯ, что Л,+Лз= -2, получаем два случая. Если Л,, Л, вещественные, то Л,<0, Лз<0; еслм Л,з=а~Щто КеЛ,з —- а=-1. В обоих случаях нулевое решение асимптотически устойчиво по теореме 7. 3) а =-1 или в =3, тогда Л +2Л =О, Л, =О, Л =-2. Корни простые, а смстеиа (24) линейнал. В силу теоремы 2 нулевое решение устойчиво, но не асимптотически из-за наличия кормя Л, =О. Ю г Пример 10. Устойчиво ли нулевое решение системы х =у — сх, у =-Ьх — су 2 з ю з з 1 1 (25) 180 Решение примера.
При Ь = с = 0 систеиа линейна, Л,з — — О, жорданова клетка размера 2. По теореме 2 нулевое решение неустойчиво. При других Ь и с имеем критический случай, возможна как устойчивость, так и неустойчивость. При Ь > 0 возьмем н = 2у~+ Ьха, как в примере У. Тогда в ч — = -4Ьсх — 4су . а (251 Если с > О, то <Ь/~И < 0 (~х1 +!у~ ~ 0). По теореме 4— асимптотическая устойчивость. Если же с = О, то Ж/гВ ва О. По теореме 3 устойчивость, но не асимптотическая, так как н(х(1), у(1)) аа сопзг - О.
При Ь < О, с < 0 неустойчивость — как в примере В, 6 = ху. Як1. Особые лючки П 4. А. М.Ляпунов дал методы исследования устойчивости в основных критических случаях, см. [34], гл.4. Об исследованиях других критических случаев см. [19], гл. 3. Теорема об устойчивости по первому приближению обобщалась в разных направлеиияк, в частности, иа случай, когда систрма первого приближения имеет ие посюяниые, а периодические коэффициенты ([28], гл.4, б 12).
В различных работах оценивалась область устойчивости — область возможных начальных возмущений, для которой отклонение решения я(1) от р(1), см. (8), при всех $ > Гч остается ограниченным (или стремится к нулю при 1 - со). О частотных методах исследования устойчивости см. [27]. Список более поздних работ по теории устойчивости имеется в [35].
чм ай $21. Особые точки Изучается расположение траекторий системы хт — — ах~+ Ьхз, хз — — схт+ бхз (а, Ь,с, д Е К~), (26) вблизи особой точки (О, 0). Рассматривается также нелинейная система двух уравнений. ~ш Для исследования системы (26) сначала надо найти собственные значения Л„Л и собственные векторы матрицы А = с а Ь1 „~ . Возможны следующие случаи. с а/' А. Числа Л„Лз вещественны, различны и отличны от нуля. В базисе из собственных векторов матрица диагональна, система (26) приводится к виду т У вт — — Л,р„дз — — Лзрз, 181 1 7лава 4. Авогономные снапемы и усогог7чнвость Рмс.
16 Рмс. 17 182 и имеет общее решение у, = с,е"", у = се""; с, и с произвольные постоянные. Исключая 1, получаем уравнение траекторий 1 1 ~у 1В уз=сг ~ — / (при с, ~0) и у, =0 (при с! =0). (28) Ь,/ ! ! ! Если Л, и Л одного знака, то траектории сходны с дутами парабол, касающимися оси Оу, в точке (0,0) (если !Лг] ) гЛг~, рис. 1б и 17), или оси Оу (если !Л ~ < !Лг~); координатные полуоси тоже являются траекториями.
Особая точка называется узлом. По всем траекториям происходит движение к точке (О, 0), если Л„Лг < 0 (устойчивый узел, рис. 16), и от нее, если . Л„Л ) 0 (неустойчивый узел, рис. 17). Направление движения указывается стрелками на траекториях.
Уг Уг ! 821. Особые лючии Если же Л„Лт разных знаков, то траектории (кроме идущих по координатным полуосям) похожи на гиперболы, так как в силу (28) ~ут~ -+ оо при у, — О и у — О при ~у! ~ - оо (рис. 18). Особая точка называется седлом. Седло всегда неустойчиво, так как одно из Л, > О. Если Л, < О, Л > О, то по обеим половинам оси Оу, движение напра- Рис.
18 влено к точке О, так как у, = с,ехд — О ($ - оо), а по обеим половинам оси Оу от точки О, так как у2 — — с~с"", ~у!~ -+ оо (1-+ оо). Б. Если Л, = Лт ,-ь О, то матрица в жордановой форме может быть диагональной или нет. В первом случае система имеет у2 вид (27) с Л, = Л! н траектории (28) — полупрямые с концом в точке (О, 0) (рис. 19) вслучаеЛ,=Л <О.ЕслиЛ,=Л >О, то стрелки — в другую сторону.
Особая точка называется дикритическии узлом. Во втором случае система имеет вид у', = Лу, + у,, у', = Лу,. Общее решение у = с,ем, у, = с!е!!!+ с $е~. уравнения траекторий у = — у +-у!и — и у =О. с! 1 у2 ! 2 Л 2 2 183 Гяввв 4. Автономные системы и устойчивость Особая точка называется вырохсденным ужом (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
