Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 20
Текст из файла (страница 20)
1 ! 152 Я 17. Авлюнонаые сиолемы Система (1) или (2) в каждой точке х = (х,,..., х„) фазового пространства определяет вектор ,г(х) = (~,(х„..., х„),..., 1'„(х,,..., х„)). В особой точке 7(х) = О. Если линия х = х(Ф) является траекторией системы, то в каждой своей точке, где х'(1) ~ О, она касается вектора у(х), так как вектор х'(1) = (х',(1),..., х'„(1)) касается линии, параметрически заданной уравнениями х, = х,(Ф), ..., х„= х„($), а х'($) = у(х(1)) в силу (1) или (2). Таким образом, автономная система задает векторное лазе в фазовом пространстве, а траектории — линии, которые во всех точках, где 7(х) ~ О, касаются векторов зтого поля. На траекториях принято ставить стрелки, указывающие направление движения точки х(1) при возрастании $.
[2Д Следующие утверждения описывают свойства траекторий. 1' Если х(г) — решение системы (2), то для любого с б Й функция р($) вз х($+ с) — тоже решение, и все эти решения имеют одну и ту же траекторию. Доказапельгтво. Так как х(1) — решение, то х'($) вл у(х($)). Заменяя $ на $+ с, имеем х'($+ с) вз у(х($+ с)), то есть р'(Ф) ьч у(р(Ф)). Значит, р(1) — решение. Эти решения имеют одну и ту же траекторию, так как через любую точку х' = х(1*) первого решения решение р(1) = х(1+ с) проходит при 1 = $* - с.
Таким образом, каждая траектория, не являющаяся точкой, изображает бесконечно много решений. 2' Две любые траектории или не имеют общих точек, или совпадают. 153 Глава 4. Автономные системы и устайчиваапь Доказательства. Пусть траектории решений х(з) и у(г) имеют обшую точку Ь. Тогда сушествуют такие $, и $з, что Ь = х(з,) = у(~,). Функш л(Е) = у(1+ Е, — 1,) — тоже решение, и х(з,) = у(с ) = х(г,).
По теореме единственности х(з) ед х(ь), то есть у(ь+ $з — $,) ге х(ь), и решения х(1) н у(г) имеют одну и ту же траекторию. Следствие. Решение автономной системы не мажет войти в осо- бую тачку за конечное ерема. Доказательства. Пусть а — особая точка, то есть х*(1) вз а— решение. Если траектории решений х($) и х*($) не совпадают, то они не имеют обшил точек.
Значит, х(з) ~ а при всех $. Решение х($) может приближаться к особой точке только при $ -+ +со нли при $ — -со. 3' Если х(Ф) — Решение, х(Е,) = х(Фз), 1з >1,, их(з) ~ сопзГ, то решение — периодическое, у него есть наименьший положительный период, а траектория — замкнутая кривая без самопересечений.
Даказательаава. Функция у($) = г(з+ $ — $,) — тоже решение по свойству 1', у(з,) = х(г ) = х(г,). По теореме единственности у($) зд х($), то есть х(г+ а) вз х($), период а' = $з — $, > О. Могут быть и другие периоды. Так как х(з) уь сопзг, то найдется такое з*, что х(з*) ~ х($,), то есть ~х(з*) — х(г,)~ = г > О.
В силу непрерывности х(1) найдется такое Л > О, что ~х(1) — х(з,)~ < г при 1, — Л < 1 < 1, + Л. Значит, х(ь) зь х(г*) при этих Ь. Но за время, 154 $ 17. Автономные системы равное периоду, решение х($) должно пройти через все точки своей траектории. Поэтому длина любого положительного периода не меньше, чем 2Ь, и нижняя грань их длин р > 2Ь. Если р не есть период, то имеется последовательность периодов рч -+ р + О, х($ + рь) ва х(г).
При р; -+ р получаем х($+ р) кз х($), то есть р — период. Траектория х($) (О < $ < р) — замкнутая кривая, так как х(р) = х(0). Если она имеет самопересечения, то х(81) х(82) при некоторых ~н т2 Е [О,р], [йй — Й2[ < р В силу доказанного выше, тогда решение х($) имело бы периац И = [$, — $з[ < р.
Это невозможно, так как р— наименьший положительный период. 4' Каждая траектория автономной системы является или точкой или замкнутой кривой без самопересечений, или незамкнутой кривой без самопересечений. Доказотельство. Если решение х(1) ва сопзг, то траектория— точка. Если х($,) уь х(сз) при любых $, и Ет зь г„то траектория — незамкнутая кривая без самопересечений. Если х(Ф) ге сопзг и х($,) = х($т) при некоторых $, и Фз ~ $,, то траектория — замкнутая кривая в силу 3'.
° 5' Предельные множества траекторий. Для траектории Т(х = р($), -оо < $ < оо) или для ее положительной полутраектории Т+(х = р($), $* < $ < оо) ы-предельной точкой называется такая т~~ка р, что сушествует ~ос~~д~~а~~л~~~с~~ $,, $з,... -+ оо, по которой ф;) — р при ь -+ со. Множеспю й(Т) всех ы-предельных точек траектории Т называется ее и-предельным множеством. Аналогично, но при $; -~ -оо, определяются а-предельные точки и множества. 155 глава 4.
Аашономиые системы и уогюйчоаооиь Например, для траектории х = 1 (х Е 1с') множество П(Т) пусто; для полуграектории Т+(х = е ', О < 3 < оо) множеспю й(Т+) — точка х = 0; для траектории х, =е~соа«/(1+е'), хг-- е'з!п1/(1+е') а-предельное множеспю есть точка х,=х =О, ы-пРедельное множество — окРУжность хг+ хг — — 1. г Дона«авель«тес. Для любой последовательности гг — со последовательность 1«(гг), 1 = 1, 2,..., ограничена, значит, имеет предельные точки и й(Т+) непусто.
Из ограниченности Т+ следует ограниченность Й(Т+). Замкнутость. Если рг б П(Т+). р, -+ р, 1 = 1, 2,..., то лля г1 = 2 ' найдется такое р,, что ~р, — р~ < г). Для этого р, существует последовательность 1,.„., у = 1, 2,..., такая, что р(1,„.) - рг (у -+ со), поэтомУ найдетса такое У' = У(1), что гсуа > 1, ~1е(1~» ) — Рг ~ < и. Тогда ~р(гсдй) - р~ < 2г1 = 2' ', гчй, > г со. Значит, р б П(Т+). Докажем, что П(Т+) состоит из целых траекторий, то есть что через любую точку а Е П(2"") проходит траектория Т,(х = «(1), -со < 1 < со), содержащаяся в й(Т+). По определению й(Т+) существует такая последовательность 1нгг,... - со, что 1«(1,) - а (1 — оо). Функции Хг(С) ш 1г(1,. +1) (г = 1,2,...)— решения по свойству 1, Хг(0) - а (1 - ос).
Обозначим через «(1) решение с «(0) = а, а через «' — замкнутую («/2)-окрестность полутраектории Т'. Точка 1 = О, х = а лежит внутри замкнутой неограниченной области Р(-оо < 1 < со, в б «Р). В силу следствия теоремы 4 5 б решение «(1) продолжается в кажаую сторону илн до выхода на границу области Р, или до,сколь угодно больших 156 $17.
Автономные системы ф. Предположим, что «(Ф) выищит на границу области Ю в точке Ф = г', х = «(«')' = Ь. Тогла Ь лежит на границе множества Р, следовательно, р(ь, т+) = е. (4) Согласно следствию теоремы б й 7 из у,(0) -+ о = «(О) следует: Х,(г') - «(г') = Ь (4 со). (5) Так как 3~,.(Ф') = р(«,. + Ф') Е У+ при г,. > г, — Ф', то (5) противоречит (4). Поэтому решение «(Ф) не может выйти на границу области .Р, следовательно, продолжается на интервал (-со, оо). А тогда, как выше, имеем для любого г р(«,.
+ Ю) = д,.(Ф) -+ «(Ф) (4 -+ ос). Следовательно, «(г) Е й(Т+) при всех г. Связность не доказываем, она ниже нигде не используется. ° Изучены и другие свойства предельных множеств автономных систем в Кз. В пространстве К", и > 3, структура предельных множеств может быть значительно более сложной и мало изучена. «вееюевааие б' хрупповое свойство автономной системы.
Обозначим через у(1, р) решение системы (2) с начальным условием 4«(0, р) = р. Тогда рй.р(1 р)) — = р(с +е,р) (б) на любом интервале, на котором определены обе части этого равенства. 157 Глава 4. Автономные системы и уппойчивость Дояозотельс~рао. Обе части равенства — решения (правая— по свойству 1 ). Оба решения при $ = 0 проходят через одну точку а = (р($„р). По теореме единственности онн ' совпадают прн всех $. Ю 7' Функция р(г,р) непрерывка по совокупности переменных (это следует из теоремы 7 в 7).
8' Пусть все решения системы (2) определены нри -со < г ( со и нх значения х(Г) заполняют множество Р. Тогда при любом постоянном р Е Р и переменном г точка и = р(Г, р) пробегает траекторию. При любом постоянном Г 6 й' н неременном р функция р(Г, р) определяет непрерывное отображение множества Р на себя, зависящее от параметра Г Е 11'.
Это отображение называется сдвигом ло траекториям за время Г. Семейство таких отображений сдвига составляет однопараметрическую коммутативную группу с групповой опера1гней, определяемой левой частью равенства (6) (носледовательное выполнение двух отображений из данного семейства есть также отображение, принадлежащее семейству).
Доказательство. Коммутативность и ассоциативность групповой операции следует из (6). Единица группы есть тождественное отображение у(б,р) ы р, а обратное отображение для р(г,р) есть р(-г, р). 3. Группа отображений множества Р на себя, обладающая свойства- П мн 6'-8', называется дииамической сисглемой. Динамические системы могут изучаться и вне связи с конкретным видом дифференциальных уравнений (1), то есть только на основе этих свойств (нанример, (36), главы 5 и 6). Результаты, полученные такими абстрактными методами, развивались с привлечением понятий из других отделов математики и применялись к конкретным задачам.
158 в Ы. Понятие устойчивости $18. Понятие устойчивости 1. Математическая теория устойчивости изучает поведение П решений системы дифференциальных уравнений при $ -+ со. Основной воцрос: в каких случаях можно утверждать, что решение мало меняется на всем бесконечном интервале $ < $ ( оо при любых достаточно малых изменениях начальных условий и функций, входящих в уравнения рассматриваемой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
