Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Пример 20. Решить систему х' = р+ $, р' = х — 2е'. ! $ ) г м р~р.иж~ ~ р.и чю~юю~ ю р= — г.пдаа~е р ур ю~ ~чю~ — 1= х-2е'. Решаем это уравнение методом а 11. Находим х = с,е'+ с е '-1е' — 1. Значит, р = х'-Ф = с,е'-с е ' — (1+1)е'-1. ~ (2. ~ Решение системы х' = Ах (х Е й") в случае, когда матрица А порядка и имеет н линейно независимых собственных векторов. Так будет в случаях, когда или уравнение йе1 (А-ЛЕ) = О не имеет кратных корней Л, или для каждого кратного корня Л ранг г матрицы А — ЛЕ равен н — и, где и — кратносп этого корня (так как уравнение (А — ЛЕ)о = О для собственных векторов о имеет и — г линейно независимых решений). Пусп Л вЂ” собственное значение, а о — собственный вектор матрицы А.
Тогда х = е о — частное решение уравне- М ния х' = Ах, так как х' = е"'Лю, Ло = Ао. Если собственные векторы е',..., и" линейно независимы, то имеем решения е""о',..., е"'о". Они линейно независимы, так как их вронскиан тт ~ О при1 = О (его столбцы о',...,о" линейно независимы). Следовательно, общее решение системы х' = Ах имеет вид х = с,евана~ +... + с„еэ ~о", где с„..., с„— произвольные постоянные. 225 Глава 3.
Линейные дифференциальные уравнения и сиояемы Докаэогяеяьсгпво. Имеем Ае~ = Л,е'. Равенство не нарушится, еслег в нем Л, и координаты вектора е' заменить сопряженными." Аб' = Л й', то есть Аег = Лгиг. Для вещественного Л координаты собственного вектора определяются из системы (А — ЛрЖ)и=О с бег(А — Л Е)=О и вещественными коэффициентами, поэтому вектор и можно взять вещественным и е ~ О.
Общее решение системы х' = Ах с вещественной матрицей А можно выразить через вещественные функции. Для этого надо взять такие собственные векторы, как в лемме 9, и затем заменить каждую пару комплексных сопряженных решений х' = е""и', хг = еьииг парой ~~еще~~~енных решений х +х , х — х г 1 г и = — = Ке х, иг — — —. —— 1т х, 2 ' 21 как в п. 1 5! 1. Получим вещественную фундаментальную систему решений и через нее выразим общее решение.
Пример 21. Решить систему х' = Зх — 2р, р' = х+ р. ц 3 126 б 2* Линейные сисшемы с посгполнными коэффициентами Решение примера. Составляем и решаем характеристическое урав- нение 3 — Л -2 =О, 1 1 — Л Л вЂ” 4Л+ 5 = О, Л = 2 ~ вг /а1 Для Л = 2+ в находим собственный вектор ~ (1 — в)а — 2Ь = О, 1 ° а — (1+в)Ь = О. Можно взять Ь = 1, а = 1+ в. Получаем частное решение х = (1+ в)е1 +1, у = е1 +О .
решениями данной системы являются вещественная и мнимая части этого частного решения: х = еи(сове- ип 1), х = е~(сов С+ вш Ф), и у=е сов$ у = е в1пФ. < 3. Ревшиие в обвгем случае. Упростим систему, приведя мат- П рицу А к простейшей форме — жоЬдановой. Известно, *по для лгобой квадратной матрицы А существует такая неособая мат- рица С, что матрица В = С 'АС вЂ” жорданова, то есть О Л; 1 Л; 1 Я2 О В= , Х,=(Л;) или Х,= О щ (71) 227 раааа 3.
Линейные дифференциальные уравнение и сиавены Клетки К, могуг быгь любых размеров; в каждой клетке на всей диагонали стоит одно и то же число Л,, а в разных клетках Л, могут быль различны или одинаковы. Так как С 'АС вЂ” ЛЕ = С '(А — ЛЕ)С и дег С ' дег С = 1, то дег'1С '(А — ЛЕ)С)=деГС ' деС(А-ЛЕ) дегС=деС(А-ЛЕ). Ф Поэтому матрицы С 'АС и А имеют одно и то же характеристическое уравнение, значит, одни и те же корни Л, с теми же кратностями. К системе х' = Ах применяем линейное преобразование координат х = Су, то есть х; = счу, +...
+ сыу„(з = 1,..., «), (72) где матрица С та же, что выше. Получаем Су' = АСу. Умножая слева на С ', имеем у' = С 'АСу, то есть у' = Ву, где матрица  — жорданова. Если первая клетка имеет размер й х а, вторая — 1 х 1 и т.д., то в первые й уравнений системы у' = Ву входят только неизвестные у,,...,у, в следующие 1 уравнений — только неизвестные у +,,..., у +,, и т.д. Значит, система распадается на подсистемы, каждую из которых можно решать отдельно.
Первая подсистема имеет вид (где Л = Л,) У, =ЛУ, +Уз, ! У2 — — ЛУз + Уз, (73) Ф у,, =Лу,,+у„ у,' = Лу,. Другие подсистемы отличаются только числами Л и й. Сделав в (73) замену у; = еых; (1 = 1,..., Й), получаем / / в, = л, л = л, ..., х , = а, ла —— О. (74) 128 Я 14. Линейные сиппемы с постоянными коэффициентами Решая эту систему, начиная с последнего уравнения, находим х» —— с», я, =с»1+с» „ 1»-1 1»-з 1 я~ = с» — + с», — +... + сз-+ с~. (й — 1)! (й — 2)! И Умножая на е"", получаем решение первой подсистемы ж$ р» =с»е ', »и р», -— (с»1+с»,)е ', р,= с» ° — +...+с — +с(е '. 'Р-Ю " 1! '/ Это решение — общее, так как получается из уравнений (73) с помощью тождественных преобразований.
Решения других подсистем имеют подобный же вид, лишь числа Л1, й = й. и произвольные посгоянные с; будут другими (Л. — число Л в 1-й клетке, 7» — ее размер). Собрав вместе решения всех подсистем, получаем общее решение всей системы р' = Вр. Возвращаясь от р к х в силу (72) получаем такой результат. Теорема 16.
Общее решение системы х' = Ах есть вектор- функция, у которой каждая координата х; имеет вид хь = ~ (Ф)е~и+...+Оь (1)е" ' ((= 1,...,п), (75) где Л„..., Л вЂ” различные собственные значения матрицы А, М~($) — алгебраический многочлен, апепень которого на 1 меньше размера наибольшей из жордановык клеток, содержащих Л .. 129 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы Козффиьуйенты многочленов М,"(1) (ь = 1,..., и; у = 1,..., пь) зависят от и произвольных постоянных. Решение конкретной системы х' = Ах можно получить и без приведения матрицы А к жордановой форме.
Для этого надо найти все собственные значения Л матрицы А из уравнения бес (А — ЛЕ) = О. Для каждого Л надо найти число иь линейно независимых собственных векторов по формуле пь = и — г, где и — порядок матрицы А — ЛЕ, 1 — ее ранг. В с)~учае пь = й, где й — кратность корня Л, этому корню соответствует решение х=се Ь +...+се ьЬ, где Ь',..., Ьь — линейно независимые собственные векторы. Если матрица А — вещественная, то надо воспользоваться леммой 9 и сказанным после нее. В случае иь < й надо искать решение х = (х„...,х„) в виде х, = (а+Ьз+...
+сМ')еы, х„= (р+ 9з+... + гс')е где в = й — пь. Подставляя эти выражения с буквенными коэффициентами а, Ь,... в данную систему, сокращая на е и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получаем систему линейных алгебраических уравнений для отыскания чисел а, Ь,.... Надо найти общее решение этой системы, зависящее от й произвольных постоянных. (Заметим, что в случае й > 4 все старшие коэффициенты в многочленах иногда оказываются равными нулю, но это не мешает найти решение.) Проделав это для каждого Л и сложив найденные решения, получим общее решение системы. 130 в 14.
Линейные системы с носпюянными коэффициентами Пример 22. Решить систему 1 9 У ! х =2х — 2у, у =з — у, з 1 1 1 .з Решение примере. Составляем и решаем характеристическое урав- нение 2 — Л -2 0 0 -1 — Л 1 2 0 -1 — Л ш-Л +ЗЛ вЂ” 2=0, з Л~ — — -2, Лзз = 1. Дяя вростопз корня Л=-2 находим собственный вектор(а, О, у) 4а-2р = О, о+7=0 2а+'у = О. Можно взять а = 1, ф = 2, у = -2. Имеем частное решение х=е, у=2е ~, я=-2е з'. (7б) 131 Если матрица А вещественная, то достаточно проделать описанное только для вещественных корней и для одного из каждой пары комплексных сопряженных корней Л = а ~ уй (1У ,-е 0), и от полученного решения взять вещественную и мнимую части.
НапРимеР, нз РешениЯ х' = (с, +сз1)ее полУчаютсЯ два РешениЯ: и~ = Ке х~ = (с, + сзе) сов з и и = (сз + с41) шп1 с новыми посто' янными с, с . (Обоснование такого метода требует детального анализа и изложено в [7], 5 34.) Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиапемы Для кратного корня Л =1 находии ранг иатрицы А-ЛЕ, число из собственных векторов и степень в нногочлена: Ищем решение в виде х = (а+ И)с', у = (с+гИ)с, л = (У+ус)с'. (77) Подставляем это в 'данную систему и сокращаен на с'. Приравниваем коэффициенты при подобных членах, начиная со старших: Ь=2И, 24=у, 2у=2Ь, -а+Ь=-2с, 2с+4=7, 27+у=2а. Надо найти общее решение этой системы. Кратность корня Л = 1 равна 2, поэтому все неизвестные а, Ь,... должны выразиться через два из ннх (пока не знаем, через какие).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
